文档内容
2013 年浙江省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2013•浙江）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（ ）
A．[﹣4，+∞） B．（﹣2，+∞） C．[﹣4，1] D．（﹣2，1]
考点： 交集及其运算．
756122
专题： 计算题．
分析： 找出两集合解集的公共部分，即可求出交集．
解答： 解：∵集合S={x|x＞﹣2}=（﹣2，+∞），T={x|﹣4≤x≤1}=[﹣4，1]，
∴S∩T=（﹣2，1]．
故选D
点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（ ）
A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i
考点： 复数代数形式的乘除运算．
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专题： 计算题．
分析： 直接利用多项式的乘法展开，求出复数的最简形式．
解答： 解：复数（2+i）（3+i）=6+5i+i2=5+5i．
故选C．
点评： 本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．
3．（5分）（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
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专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 当“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，得到“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必
要条件．
解答： 解：∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，
当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α= 等，
∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，
故选A．
点评： 本题主要考查了必要条件，充分条件与充要条件的判断，要求掌握好判断的方法．
4．（5分）（2013•浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
考点： 空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．
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专题： 计算题；空间位置关系与距离．
第1页 | 共12页分析： 用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的
判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．
解答： 解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；
B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；
C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．
D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；
故选C．
点评： 本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力．
5．（5分）（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．108cm3 B．100 cm3 C．92cm3 D．84cm3
考点： 由三视图求面积、体积．
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专题： 空间位置关系与距离．
分析： 由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥
（长方体的一个角）．据此即可得出体积．
解答： 解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱
锥（长方体的一个角）．
∴该几何体的体积V=6×6×3﹣ =100．
故选B．
点评： 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．
6．（5分）（2013•浙江）函数f（x）=sinxcos x+ cos2x的最小正周期和振幅分别是（ ）
A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2
考点： 两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．
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专题： 计算题；三角函数的图像与性质．
分析： f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的我三角
第2页 | 共12页函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域，确定出振幅，找出ω的值，求出函数的最小正周期
即可．
解答：
解：f（x）= sin2x+ cos2x=sin（2x+ ），
∵﹣1≤sin（2x+ ）≤1，∴振幅为1，
∵ω=2，∴T=π．
故选A
点评： 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练
掌握公式是解本题的关键．
7．（5分）（2013•浙江）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（ ）
A．a＞0，4a+b=0 B．a＜0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜0，2a+b=0
考点： 二次函数的性质．
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专题： 函数的性质及应用．
分析： 由f（0）=f（4）可得4a+b=0；由f（0）＞f（1）可得a+b＜0，消掉b变为关于a的不等式可得a＞0．
解答： 解：因为f（0）=f（4），即c=16a+4b+c，
所以4a+b=0；
又f（0）＞f（1），即c＞a+b+c，
所以a+b＜0，即a+（﹣4a）＜0，所以﹣3a＜0，故a＞0．
故选A．
点评： 本题考查二次函数的性质及不等式，属基础题．
8．（5分）（2013•浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则
该函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
考点： 函数的图象．
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专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．
解答： 解：由导数的图象可得，函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，图象是下凹型的；在[0，1]上增长速
度逐渐变小，图象是上凸型的，
故选B．
点评： 本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．
9．（5分）（2013•浙江）如图F 、F 是椭圆C ： +y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C 、C 在第二、
1 2 1 1 2
四象限的公共点，若四边形AF BF 为矩形，则C 的离心率是（ ）
1 2 2
第3页 | 共12页A． B． C． D．
考点： 椭圆的简单性质．
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专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
不妨设|AF |=x，|AF |=y，依题意 ，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即
1 2
可求得C 的离心率．
2
解答：
解：设|AF |=x，|AF |=y，∵点A为椭圆C ： +y2=1上的点，
1 2 1
∴2a=4，b=1，c= ；
∴|AF |+|AF |=2a=4，即x+y=4；①
1 2
又四边形AF BF 为矩形，
1 2
∴ + = ，即x2+y2=（2c）2= =12，②
由①②得： ，解得x=2﹣ ，y=2+ ，设双曲线C 的实轴长为2a，焦距为2c，
2
则2a=，|AF |﹣|AF |=y﹣x=2 ，2c=2 =2 ，
2 1
∴双曲线C 的离心率e= = = ．
2
故选D．
点评： 本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF |与|AF |是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
1 2
10．（5分）（2013•浙江）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：
a∧b= a∨b=
若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（ ）
A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2
考点： 函数的值．
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专题： 计算题；新定义．
分析： 依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可．
解答：
解：∵a∧b= ，a∨b= ，
正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，
∴不妨令a=1，4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；
再令c=1，d=1，满足条件c+d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D；
故选C．
第4页 | 共12页点评： 本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11．（4分）（2013•浙江）已知函数f（x）= ，若f（a）=3，则实数a= 10 ．
考点： 函数的值．
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专题： 计算题．
分析： 利用函数的解析式以及f（a）=3求解a即可．
解答：
解：因为函数f（x）= ，又f（a）=3，
所以 ，解得a=10．
故答案为：10．
点评： 本题考查函数解析式与函数值的应用，考查计算能力．
12．（4分）（2013•浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的
概率等于 ．
考点： 古典概型及其概率计算公式．
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专题： 概率与统计．
分析：
由组合数可知：从6名学生中任选2名共有 =15种情况，2名都是女同学的共有 =3种情况，由古典概
型的概率公式可得答案．
解答：
解：从6名学生中任选2名共有 =15种情况，
满足2名都是女同学的共有 =3种情况，
故所求的概率为： =
故答案为：
点评： 本题考查古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用，属基础题．
13．（4分）（2013•浙江）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于 4 ．
考点： 直线与圆的位置关系．
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专题： 计算题；直线与圆．
分析： 求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可．
解答： 解：圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的圆心坐标（3，4），半径为5，
圆心到直线的距离为： ，
因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，
所以直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长为：2× =4 ．
故答案为：4 ．
点评： 本题考查直线与圆的位置关系，弦长的求法，考查转化思想与计算能力．
第5页 | 共12页14．（4分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于 ．
考点： 程序框图．
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专题： 图表型．
分析：
由题意可知，该程序的作用是求解S=1+ + + + 的值，然后利用裂项求和即可求解．
解答：
解：由题意可知，该程序的作用是求解S=1+ + + + 的值．
而S=1+ + + +
=1+1﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ = ．
故答案为： ．
点评： 本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能．
15．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x、y满足 若z的最大值为12，则实数k= 2 ．
考点： 简单线性规划．
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专题： 计算题；不等式的解法及应用．
分析： 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=kx+y对应的直线进行平
移．经讨论可得当当k＜0时，找不出实数k的值使z的最大值为12；当k≥0时，结合图形可得：当l经过
点C时，z =F（4，4）=4k+4=12，解得k=2，得到本题答案．
max
解答：
解：作出不等式组 表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，
第6页 | 共12页其中A（2，0），B（2，3），C（4，4）
设z=F（x，y）=kx+y，将直线l：z=kx+y进行平移，可得
①当k＜0时，直线l的斜率﹣k＞0，
由图形可得当l经过点B（2，3）或C（4，4）时，z可达最大值，
此时，z =F（2，3）=2k+3或z =F（4，4）=4k+4
max max
但由于k＜0，使得2k+3＜12且4k+4＜12，不能使z的最大值为12，
故此种情况不符合题意；
②当k≥0时，直线l的斜率﹣k≤0，
由图形可得当l经过点C时，目标函数z达到最大值
此时z =F（4，4）=4k+4=12，解之得k=2，符合题意
max
综上所述，实数k的值为2
故答案为：2
点评： 本题给出二元一次不等式组，在目标函数z=kx+y的最大值为12的情况下求参数k的值，着重考查了二元
一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
16．（4分）（2013•浙江）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于 ﹣1 ．
考点： 函数恒成立问题．
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专题： 转化思想；函数的性质及应用．
分析： 由题意，x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，考察（x2﹣1）2，发现当x=±1时，其值都为0，再对照不
等式左边的0，可由两边夹的方式得到参数a，b满足的方程，从而解出它们的值，即可求出积
解答： 解：验证发现，
当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0；
当x=﹣1时，将﹣1代入不等式有0≤2﹣a+b≤0，所以 b﹣a=﹣2
联立以上二式得：a=1，b=﹣1
所以ab=﹣1
故答案为﹣1
点评： 本题考查函数恒成立的最值问题，由于所给的不等式较为特殊，可借助赋值法得到相关的方程直接求解，
本题解法关键是观察出不等式右边为零时的自变量的值，将问题灵活转化是解题的关键
17．（4分）（2013•浙江）设 、 为单位向量，非零向量 =x +y ，x、y∈R．若 、 的夹角为30°，则
的最大值等于 2 ．
考点： 数量积表示两个向量的夹角．
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专题： 平面向量及应用．
分析：
由题意求得 = ，| |= = ，从而可得
第7页 | 共12页= = = ，
再利用二次函数的性质求得 的最大值．
解答：
解：∵ 、 为单位向量， 和 的夹角等于30°，∴ =1×1×cos30°= ．
∵非零向量 =x +y ，∴| |= = = ，
∴ = = = = ，
故当 =﹣ 时， 取得最大值为2，
故答案为 2．
点评： 本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（14分）（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB= b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．
考点： 正弦定理；余弦定理．
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专题： 解三角形．
分析： （Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的
度数；
（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由
sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．
解答： 解：（Ⅰ）由2asinB= b，利用正弦定理得：2sinAsinB= sinB，
∵sinB≠0，∴sinA= ，
又A为锐角，
则A= ；
（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，
∴bc= ，又sinA= ，
则S = bcsinA= ．
△ABC
点评： 此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
19．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a }中，已知a =10，且a ，2a +2，5a 成等比数列．
n 1 1 2 3
（Ⅰ）求d，a ；
n
（Ⅱ） 若d＜0，求|a |+|a |+|a |+…+|a |．
1 2 3 n
考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．
756122
专题： 等差数列与等比数列．
第8页 | 共12页分析： （Ⅰ）直接由已知条件a =10，且a ，2a +2，5a 成等比数列列式求出公差，则通项公式a 可求；
1 1 2 3 n
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{a }的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d
n
＜0时|a |+|a |+|a |+…+|a |的和．
1 2 3 n
解答：
解：（Ⅰ）由题意得 ，即 ，整理得
d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．
当d=﹣1时，a =a +（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．
n 1
当d=4时，a =a +（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．
n 1
所以a =﹣n+11或a =4n+6；
n n
（Ⅱ）设数列{a }的前n项和为S ，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a =﹣n+11．
n n n
则当n≤11时， ．
当n≥12时，|a |+|a |+|a |+…+|a |=﹣S +2S = ．
1 2 3 n n 11
综上所述，
|a |+|a |+|a |+…+|a |= ．
1 2 3 n
点评： 本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的
数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．
20．（15分）（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD= ，PA= ，
∠ABC=120°，G为线段PC上的点．
（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC；
（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；
（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求 的值．
考点： 直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．
756122
专题： 空间位置关系与距离；空间角．
分析： （Ⅰ）由PA⊥面ABCD，可得PA⊥BD；设AC与BD的交点为O，则由条件可得BD是AC的中垂线，故
O为AC的中点，且BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．
（Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可
得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．
第9页 | 共12页（Ⅲ）先证 PC⊥OG，且 PC= = ．由△COG∽△PCA，可得 ，解得GC的值，可得
PG=PC﹣GC 的值，从而求得 的值．
解答： 解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD．
∵AB=BC=2，AD=CD= ，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且
BD⊥AC．
而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．
（Ⅱ）若G是PC的中点，则GO平行且等于 PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，∴GO⊥OD，
故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．
由题意可得，GO= PA= ．
△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，
∴AC=2 ，OC= ．
∵直角三角形COD中，OD= =2，
∴直角三角形GOD中，tan∠DGO= = ．
（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，
∴PC⊥OG，且 PC= = ．
由△COG∽△PCA，可得 ，即 ，解得GC= ，
∴PG=PC﹣GC= ﹣ = ，
∴ = = ．
点评： 本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角，空间距离的求法，属于中档题．
21．（15分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
756122
专题： 导数的综合应用．
分析： （Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方
程；
（Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值．
解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x2﹣12x+6，所以f′（2）=6
∵f（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x﹣8；
（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．
f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a）
令f′（x）=0，得到x =1，x =a
1 2
当a＞1时，
x 0 （0，1） 1 （1，a） a （a，2a） 2a
f′（x） + 0 ﹣ 0 +
第10页 | 共12页f（x） 0 单调递增 极大值3a﹣1单调递减 极小值 单调递增 4a3
e2（3﹣a）
比较f（0）和f（a）=a2（3﹣a）的大小可得g（a）= ；
当a＜﹣1时，
X 0 （0，1） 1 （1，﹣2a） ﹣2a
f′x） ﹣ 0 +
f（x） 0 单调递减 极小值3a﹣1 单调递增 ﹣28a3﹣24a2
∴g（a）=3a﹣1
∴f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值为g（a）= ．
点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，考查分类讨论
的数学思想，属于中档题．
22．（14分）（2013•浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ） 过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小
值．
考点： 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．
756122
专题： 综合题；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的
标准方程；
（II）由题意，可A（x ，y ），B（x ，y ），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程
1 1 2 2
联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．
解答：
解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则 =1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y
（II）设A（x ，y ），B（x ，y ），直线AB的方程为y=kx+1
1 1 2 2
由 消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0
所以x +x =4k，x x =﹣4，从而有|x ﹣x |= =4
1 2 1 2 1 2
第11页 | 共12页由 解得点M的横坐标为x = = = ，
M
同理可得点N的横坐标为x =
N
所以|MN|= |x ﹣x |=| ﹣ |=8 | |=
M N
令4k﹣3=t，t不为0，则k=
当t＞0时，|MN|=2 ＞2
当t＜0时，|MN|=2 =2 ≥
综上所述，当t=﹣ 时，|MN|的最小值是
点评： 本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求
解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题
最后求最值时引入变量t，就起到了简化计算的作用
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