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2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理 科 数 学
P(AB)= P(A)·P(B)
参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)= P(A)+P(B) 如果事件A、B独立，那么 。
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题。每小题5分共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、复数z满组(z-3)(2-i)=5（z为虚数单位），则z的共轭复数z为
(A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i
2、已知集合A=0,1,2，则集合B= x- y xÎA,yÎA 中元素的个数是
(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 9
1
3、已知函数 f(x)为奇函数，且当x>0时， f(x)= x2 + ,则 f(-1)=
x
(A) -2 (B) 0 (C) 1 (D) 2
9
4、已知三棱柱ABC-ABC 的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为 3的正三角形，若P为底面
1 1 1 4
ABC 的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为
1 1 1
5p p p p
(A) (B) (C) (D)
12 3 4 6
p
5、将函数y =sin(2x+j)的图象沿x轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则j的一个可能取值
8
为
3p p p
(A) (B) (C) 0 (D) -
4 4 4
ì2x- y-2³0，
ï
6、在平面直角坐标系xOy中，M 为不等式组íx+2y-1³0, 所表示的区域上一动点，则直线OM
ï
3x+ y-8£0
î
的斜率的最小值为
1 1
(A) 2 (B) 1 (C) - (D) -
3 2
7、给定两个命题 p,q. 若Øp是q的必要不充分条件，则 p是Øq的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
8、函数y = xcosx+sinx的图象大致为
y y y y
p p p p
O x O x O x O x
第1页 | 共20页(A) (B) (C) (D)
9、过点(3,1)作圆(x-1)2 + y2 =1的两条切线，切点分别为A,B，则直线AB的方程为
(A) 2x+ y-3=0 (B) 2x- y-3=0 (C) 4x- y-3=0 (D) 4x+ y-3=0
10、用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为
(A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 279
1 x2
11、抛物线C : y = x2(p>0)的焦点与双曲线C : - y2 =1的右焦点的连线交C 于第一象限的点M. 若
1 2p 2 3 1
C 在点M 处的切线平行于C 的一条渐近线，则 p=
1 2
3 3 2 3 4 3
(A) (B) (C) (D)
16 8 3 3
xy 2 1 2
12、设正实数x,y,z满足x2 -3xy+4y2 -z =0.则当 取得最大值时， + - 的最大值为
z x y z
9 开 始
(A) 0 (B) 1 (C) (D) 3
4
第Ⅱ卷（共90分） 输入e(e>0)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
F =1,F = 2,n =1
13、执行右图所示的程序框图，若输入c的值为0.25，
0 1
则输出的n的值为_______.
14、在区间[-3,3] 上随机取一个数x，
F = F + F
1 0 1
使得 x+1+ x-2 ³1成立的概率为______.
uuur uuur F = F + F
15、已知向量AB与AC的夹角为1200， 0 1 0
uuur uuur uuur uuur uuur
且AB=3,AC =2.若AP=lAB+ AC，
n = n+1
uuur uuur
且AP^ BC，则实数l的值为____________.
ì0, 0< x<1, 否
16、定义“正对数”：ln+ x=í 现有四个命题： 1
îlnx, x³1. £e
F
1
①若a>0,b>0，则ln+(ab)=bln+ a；
是
②若a>0,b>0，则ln+(ab)=ln+ a+ln+b；
n
输出
a
③若a>0,b>0，则ln+( )³ln+ a-ln+b；
b
第2页 | 共20页
结 束④若a>0,b>0，则ln+(a+b)£ln+ a+ln+b+ln2.
其中的真命题有__________.（写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分.
17、（本小题满分12分）
7
设DABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，且a+c=6,b=2,cosB= ..
9
（Ⅰ）求a,c的值；
P
（Ⅱ）求sin(A-B)的值.
F
E
H
G
B
C
18、（本小题满分12分） A D Q
如图所示，在三棱锥P-ABQ中，PB^平面ABQ，
BA= BP= BQ，D ,C,E,F 分别是AQ ,BQ,AP,BP
的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，
PC与FQ交于点H ，连接GH .
（Ⅰ）求证：AB//GH ；
（Ⅱ）求二面角D-GH -E的余弦值。
19、（本小题满分12分）
1
甲、乙两支球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是
2
2
外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 。假设各局比赛结果相互独立。
3
（Ⅰ）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率；
（Ⅱ）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、
对方得1分。求乙队得分X 的分布列和数学期望。
第3页 | 共20页20、（本小题满分12分）
设等差数列a 的前n项和为S ，且S =4S ,a =2a +1.
n n 4 2 2n n
（Ⅰ）求数列{a }的通项公式；
n
a +1
（Ⅱ）设数列{b }的前n项和为T ，且T + n =l（l为常数）。令c =2b ,(nÎN*)，求数
n n n 2n n 2n
列{c }的前n项和R 。
n n
21、（本小题满分13分）
x
设函数 f(x)= +c（e=2.71828… 是自然对数的底数，cÎR）
e2x
（Ⅰ）求 f(x)的单调区间、最大值；
（Ⅱ）讨论关于x的方程 lnx = f(x)根的个数。
22、（本小题满分13分）
x2 y2 3
椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别是F ,F ，离心率为 ，过F 且垂直于x轴
a2 b2 1 2 2 1
的直线被椭圆C截得的线段长为1.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF ,PF 。设ÐFPF 的角平分线PM 交C
1 2 1 2
的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点。设直线
第4页 | 共20页1 1
PF ,PF 的斜率分别为k ,k ，若k ¹0，试证明 + 为定值，并求出这个定值.
1 2 1 2 kk kk
1 2
一、选择题
1．（5分）（2013•山东）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数 为（ ）
A．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i
考点： 复数的基本概念．
3253948
专题： 计算题．
分析： 利用复数的运算法则求得z，即可求得z的共轭复数 ．
解答： 解：∵（z﹣3）（2﹣i）=5，
∴z﹣3= =2+i
∴z=5+i，
∴ =5﹣i．
故选D．
点评： 本题考查复数的基本概念与基本运算，求得复数z是关键，属于基础题．
2．（5分）（2013•山东）已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
考点： 集合中元素个数的最值．
3253948
专题： 计算题．
分析： 依题意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0，1，2}，从而可得答案．
解答： 解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，
∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；
当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；
当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；
∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．
故选C．
点评： 本题考查集合中元素个数的最值，理解题意是关键，考查分析运算能力，属于中档题．
3．（5分）（2013•山东）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时， ，则f（﹣1）=（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
考点： 函数的值．
3253948
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： 利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．
解答：
解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+ ，
∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，
第5页 | 共20页故选A．
点评： 本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．
4．（5分）（2013•山东）已知三棱柱ABC﹣A BC的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为 的正三角形，若P为
1 1 1
底面ABC的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（ ）
1 1 1
A． B． C． D．
考点： 直线与平面所成的角．
3253948
专题： 空间角．
分析： 利用三棱柱ABC﹣ABC的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA为PA与平面ABC所成角，即为∠AP
1 1 1 1 1 1 1
A为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA，再利用正三角形的性质可得AP，在Rt△AA
1 1 1 1
P中，利用tan∠APA= 即可得出．
1
解答： 解：如图所示，
∵AA⊥底面ABC，∴∠APA为PA与平面ABC所成角，
1 1 1 1 1 1 1 1
∵平面ABC∥平面ABC，∴∠APA为PA与平面ABC所成角．
1 1 1 1
∵ = = ．
∴V = = ，解得 ．
三棱柱ABC﹣A1B1C1
又P为底面正三角形ABC的中心，∴ = =1，
1 1 1
在Rt△AAP中， ，
1
∴ ．
故选B．
点评： 熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．
5．（5分）（2013•山东）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一
个可能的值为（ ）
第6页 | 共20页A． B． C．0 D．
考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
3253948
专题： 计算题；三角函数的图像与性质．
分析：
利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移 个单位后的解析
式，利用其为偶函数即可求得答案．
解答： 解：令y=f（x）=sin（2x+φ），
则f（x+ ）=sin[2（x+ ）+φ]=sin（2x+ +φ），
∵f（x+ ）为偶函数，
∴ +φ=kπ+ ，
∴φ=kπ+ ，k∈Z，
∴当k=0时，φ= ．
故φ的一个可能的值为 ．
故选B．
点评： 本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．
6．（5分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组 所表示的区域上一动点，则直线OM
斜率的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
考点： 简单线性规划．
3253948
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0
，0）构成的直线的斜率的最小值即可．
解答：
解：不等式组 表示的区域如图，
当M取得点A（3，﹣1）时，
z直线OM斜率取得最小，最小值为
k= =﹣ ．
故选C．
第7页 | 共20页点评： 本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等
式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．
7．（5分）（2013•山东）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
3253948
专题： 规律型．
分析： 根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件
的定义得到答案．
解答： 解：∵¬p是q的必要而不充分条件，
∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，
其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，
则p是¬q的充分不必要条件．
故选A．
点评： 本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是¬p的充分不
必要条件，是解答的关键．
8．（5分）（2013•山东）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
考点： 函数的图象．
3253948
专题： 函数的性质及应用．
分析： 给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可
求．
解答： 解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，
由当x= 时， ，
当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．
由此可排除选项A和选项C．
第8页 | 共20页故正确的选项为D．
故选D．
点评： 本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题．
9．（5分）（2013•山东）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（
）
A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0
考点： 圆的切线方程；直线的一般式方程．
3253948
专题： 计算题；直线与圆．
分析： 由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．
解答： 解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，
所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；
另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．
故选A．
点评： 本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习
．
10．（5分）（2013•山东）用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．243 B．252 C．261 D．279
考点： 排列、组合及简单计数问题．
3253948
专题： 计算题．
分析： 求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可．
解答： 解：用0，1，2，…，9十个数字，所有三位数个数为：900，
其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位
数再从余下的8个中选一个，所以共有：9×9×8=648，
所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648=252．
故选B．
点评： 本题考查排列组合以及简单计数原理的应用，利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力．
11．（5分）（2013•山东）抛物线C ： 的焦点与双曲线C： 的右焦点的连线交C 于第一
1 2 1
象限的点M．若C在点M处的切线平行于C 的一条渐近线，则p=（ ）
1 2
A． B． C． D．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质．
3253948
专题： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数
在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交
点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．
解答：
解：由 ，得x2=2py（p＞0），
所以抛物线的焦点坐标为F（ ）．
第9页 | 共20页由 ，得 ， ．
所以双曲线的右焦点为（2，0）．
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为 ，
即 ①．
设该直线交抛物线于M（ ），则C在点M处的切线的斜率为 ．
1
由题意可知 ，得 ，代入M点得M（ ）
把M点代入①得： ．
解得p= ．
故选D．
点评： 本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的
切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．
12．（5分）（2013•山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当 取得最大值时， 的最大值为（
）
A．0 B．1 C． D．3
考点： 基本不等式．
3253948
专题： 计算题；压轴题；不等式的解法及应用．
分析：
依题意，当 取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）= + ﹣ ，利用配方法即可求得其最大值．
解答： 解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，
∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，
∴ = = ≤ =1（当且仅当x=2y时取“=”），
∴ =1，此时，x=2y．
∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，
∴ + ﹣ = + ﹣ =﹣ +1≤1．
∴ 的最大值为1．
故选B．
第10页 | 共20页点评：
本题考查基本不等式，由 取得最大值时得到x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．
二、填空题
13．（4分）（2013•山东）执行右面的程序框图，若输入的ɛ值为0.25，则输出的n值为 3 ．
考点： 程序框图．
3253948
专题： 图表型．
分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出n的值
．
解答： 解：循环前，F=1，F=2，n=1，
0 1
第一次循环，F=1，F=3，n=2，
0 1
第二次循环，F=2，F=4，n=3，
0 1
此时 ，满足条件 ，退出循环，输出n=3，
故答案为：3．
点评： 本题主要考查了直到循环结构，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题
型，属于基础题．
14．（4分）（2013•山东）在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为 ．
考点： 几何概型；绝对值不等式的解法．
3253948
专题： 不等式的解法及应用；概率与统计．
第11页 | 共20页分析： 本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间[﹣3，3]的长度求比值即得
．
解答： 解：利用几何概型，其测度为线段的长度．
由不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥1 可得 ① ，或② ，
③ ．
解①可得x∈∅，解②可得1≤x＜2，解③可得 x≥2．
故原不等式的解集为{x|x≥1}，
∴|在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为P= = ．
故答案为：
点评： 本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积
）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
15．（4分）（2013•山东）已知向量 与 的夹角为120°，且 ， ．若 ，且
，则实数λ= ．
考点： 数量积表示两个向量的夹角；向量的模．
3253948
专题： 计算题；压轴题；平面向量及应用．
分析：
利用 ， ，表示 向量，通过数量积为0，求出λ的值即可．
解答：
解：由题意可知： ，
因为 ，
所以 ，
所以
=
=
=﹣12λ+7=0
解得λ= ．
故答案为： ．
点评： 本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查转化数学与计算能力．
16．（4分）（2013•山东）定义“正数对”：ln+x= ，现有四个命题：
第12页 | 共20页①若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=bln+a；
②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；
③若a＞0，b＞0，则 ；
④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+2．
其中的真命题有 ①③④ （写出所有真命题的序号）
考点： 命题的真假判断与应用．
3253948
专题： 综合题；压轴题；新定义．
分析： 由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不
一样，故需要对a，b分类讨论，判断出每个命题的真假
解答： 解：对于①，由定义，当a≥1时，ab≥1，故ln+（ab）=ln（ab）=blna，又bln+a=blna，故有ln+（ab）=bln+
a；
当a＜1时，ab＜1，故ln+（ab）=0，又a＜1时bln+a=0，所以此时亦有ln+（ab）=bln+a．由上判断知①正确
；
对于②，此命题不成立，可令a=2，b= ，则ab= ，由定义ln+（ab）=0，ln+a+ln+b=ln2，所以ln+（ab）≠
ln+a+ln+b；由此知②错误；
对于③，当a≥b＞0时， ≥1，此时 ≥0，当a≥b≥1时，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb=
，此时命题成立；当a＞1＞b时，ln+a﹣ln+b=lna，此时 ，故命题成立；同理可验证当1＞a
≥b＞0时， 成立；当 ＜1时，同理可验证是正确的，故③正确；
对于④，可分a≤1，b≤1与两者中仅有一个小于等于1、两者都大于1三类讨论，依据定义判断出④是正确
的
故答案为①③④
点评： 本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，本题考查了分类讨论的思想
，逻辑判断的能力，综合性较强，探究性强．易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入
手致错
三、解答题
17．（12分）（2013•山东）设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2， ．
（1）求a，c的值；
（2）求sin（A﹣B）的值．
考点： 余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数；正弦定理．
3253948
专题： 解三角形．
分析： （1）利用余弦定理列出关于新，将b与cosB的值代入，利用完全平方公式变形，求出acb的值，与a+c的值
联立即可求出a与c的值即可；
（2）先由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a，b及sinB的值，利用正弦定
理求出sinA的值，进而求出cosA的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入
计算即可求出值．
解答：
解：（1）∵a+c=6①，b=2，cosB= ，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣ ac=36﹣ ac=4，
第13页 | 共20页整理得：ac=9②，
联立①②解得：a=c=3；
（2）∵cosB= ，B为三角形的内角，
∴sinB= = ，
∵b=2，a=3，sinB= ，
∴由正弦定理得：sinA= = = ，
∵a=c，即A=C，∴A为锐角，
∴cosA= = ，
则sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB= × ﹣ × = ．
点评： 此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定
理及公式是解本题的关键．
18．（12分）（2013•山东）如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP
，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．
（1）求证：AB∥GH；
（2）求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．
考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的性质．
3253948
专题： 空间位置关系与距离；空间角．
分析： （1）由给出的D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，利用三角形中位线知识及平行公理得到DC平行
于EF，再利用线面平行的判定和性质得到DC平行于GH，从而得到AB∥GH；
（2）由题意可知BA、BQ、BP两两相互垂直，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，设出BA、BQ、BP的长度
，标出点的坐标，求出一些向量的坐标，利用二面角的两个面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D﹣G
H﹣E的余弦值．
解答： （1）证明：如图，
第14页 | 共20页∵C，D为AQ，BQ的中点，∴CD∥AB，
又E，F分别AP，BP的中点，∴EF∥AB，
则EF∥CD．又EF⊂平面EFQ，∴CD∥平面EFQ．
又CD⊂平面PCD，且平面PCD∩平面EFQ=GH，∴CD∥GH．
又AB∥CD，∴AB∥GH；
（2）由AQ=2BD，D为AQ的中点可得，三角形ABQ为直角三角形，
以B为坐标原点，分别以BA、BQ、BP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设AB=BP=BQ=2，
则D（1，1，0），C（0，1，0），E（1，0，1），F（0，0，1），
因为H为三角形PBQ的重心，所以H（0， ， ）．
则 ，
， ．
设平面GCD的一个法向量为
由 ，得 ，取z=1，得y=2．
1 1
所以 ．
设平面EFG的一个法向量为
由 ，得 ，取z=2，得y=1．
2 2
所以 ．
所以 = ．
则二面角D﹣GH﹣E的余弦值等于 ．
第15页 | 共20页点评： 本题考查了直线与平面平行的性质，考查了二面角的平面角及其求法，考查了学生的空间想象能力和思维
能力，考查了计算能力，解答此题的关键是正确求出H点的坐标，是中档题．
19．（12分）（2013•山东）甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获
胜的概率是 ，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 ．设各局比赛结果相互独立．
（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；
（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙
队得分X的分布列及数学期望．
考点： 离散型随机变量的期望与方差．
3253948
专题： 概率与统计．
分析： （1）甲队获胜有三种情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出
相应的概率，最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率；
（2）X的取值可能为0，1，2，3，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，
最后根据数学期望公式解之即可．
解答： 解：（1）甲队获胜有三种情形，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜
①3：0，概率为P=（ ）3= ；
1
②3：1，概率为P=C （ ）2×（1﹣ ）× = ；
2
③3：2，概率为P=C （ ）2×（1﹣ ）2× =
3
∴甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率： ．
（2）乙队得分X，则X的取值可能为0，1，2，3．
由（1）知P（X=0）=P+P= ；
1 2
P（X=1）=P= ；
3
P（X=2）=C （1﹣ ）2×（ ）2× = ；
P（X=3）=（1﹣ ）3+C （1﹣ ）2×（ ）× = ；
则X的分布列为
X 3 2 1 0
P
E（X）=3× +2× +1× +0× = ．
点评： 本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望与分布列，同时考查了分类讨
论的数学思想，属于中档题．
20．（12分）（2013•山东）设等差数列{a }的前n项和为S，且S=4S，a =2a+1．
n n 4 2 2n n
（1）求数列{a}的通项公式；
n
（2）设数列{b}的前n项和为T 且 （λ为常数）．令c=b （n∈N※）求数列{c}的前n项和R．
n n n 2n n n
第16页 | 共20页考点： 等差数列的通项公式；数列的求和．
3253948
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）设出等差数列的首项和公差，由已知条件列关于首项和公差的方程组，解出首项和公差后可得数列{
a}的通项公式；
n
（2）把{a}的通项公式代入 ，求出当n≥2时的通项公式，然后由c=b 得数列{c}的通项公
n n 2n n
式，最后利用错位相减法求其前n项和．
解答： 解：（1）设等差数列{a}的首项为a，公差为d，由a =2a+1，取n=1，得a=2a+1，即a﹣d+1=0①
n 1 2n n 2 1 1
再由S=4S，得 ，即d=2a②
4 2 1
联立①、②得a=1，d=2．
1
所以a=a+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
n 1
（2）把a=2n﹣1代入 ，得 ，则 ．
n
所以b=T=λ﹣1，
1 1
当n≥2时， = ．
所以 ， ．
R=c+c+…+c= ③
n 1 2 n
④
③﹣④得： =
所以 ；
所以数列{c}的前n项和 ．
n
点评： 本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列的求和，训练了错位相减法，考查了学生的计算能力，属中
档题．
21．（13分）（2013•山东）设函数 ．
（1）求f（x）的单调区间及最大值；
（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数．
考点： 利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．
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专题： 压轴题；导数的综合应用．
第17页 | 共20页分析： （1）利用导数的运算法则求出f′（x），分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0即可得出单调区间及极值与最
值；
（2）分类讨论：①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣ ﹣c，②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣ ．利
用导数分别求出c的取值范围，即可得出结论．
解答：
解：（1）∵ = ，解f′（x）＞0，得 ；解f′（x）＜0，得 ．
∴函数f（x）的单调递增区间为 ；单调递减区间为 ．
故f（x）在x= 取得最大值，且 ．
（2）函数y=|lnx|，当x＞0时的值域为[0，+∞）．如图所示：
①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣ ﹣c，
c= =g（x），
则 = ．
令h（x）=e2x+x﹣2x2，则h′（x）=2e2x+1﹣4x＞0，∴h（x）在x∈（0，1]单调递增，
∴1=h（0）＜h（x）≤h（1）=e2﹣1．
∴g′（x）＜0，∴g（x）在x∈（0，1]单调递减．
∴c ．
②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣ ，得到c=lnx﹣ =m（x），
则 = ＞0，
故m（x）在[1，+∞）上单调递增，∴c≥m（1）= ．
综上①②可知：当 时，方程|lnx|=f（x）无实数根；
当 时，方程|lnx|=f（x）有一个实数根；
当 时，方程|lnx|=f（x）有两个实数根．
第18页 | 共20页点评： 本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值最值、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法等基
础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力及其化归思想方法．
22．（13分）（2013•山东）椭圆C： 的左右焦点分别是F，F，离心率为 ，过F且垂直
1 2 1
于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF，PF，设∠FPF的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的
1 2 1 2
取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF，PF的斜率分别为
1 2
k，k，若k≠0，试证明 为定值，并求出这个定值．
1 2
考点： 直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．
3253948
专题： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
（1）把﹣c代入椭圆方程得 ，解得 ，由已知过F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段
1
长为1，可得 ．再利用 ，及a2=b2+c2即可得出；
（2）设|PF|=t，|PF|=n，由角平分线的性质可得 ，利用椭圆的定义可得t+n=2a=4，
1 2
消去t得到 ，化为 ，再根据a﹣c＜n＜a+c，即可得到m的取值范围；
（3）设P（x，y），不妨设y＞0，由椭圆方程 ，取 ，利用导数即可得到切线的斜
0 0 0
率，再利用斜率计算公式即可得到k，k，代入即可证明结论．
1 2
解答：
解：（1）把﹣c代入椭圆方程得 ，解得 ，
∵过F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，∴ ．
1
又 ，联立得 解得 ，
∴椭圆C的方程为 ．
（2）如图所示，设|PF|=t，|PF|=n，
1 2
由角平分线的性质可得 ，
第19页 | 共20页又t+n=2a=4，消去t得到 ，化为 ，
∵a﹣c＜n＜a+c，即 ，也即 ，解得 ．
∴m的取值范围； ．
（3）证明：设P（x，y），
0 0
不妨设y＞0，由椭圆方程 ，
0
取 ，则 = ，
∴k= = ．
∵ ， ，
∴ = ，
∴ = =﹣8为定值．
点评： 本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、角平分线的性质、利用导数的几何意义研究切线、斜率
计算公式等基础知识，考查了推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．
第20页 | 共20页
