试卷第1页，共4页
2023 年硚口区高三年级起点考高三数学答案
一、选择题：
1. A
2. D
3. B
4. B
5．C
6.A
7. A
8.B
二、选择题：
9. ACD
10.ACD
11. BCD
12．AB
三、填空题：
13. 24
14. 8
15.
16.
四、解答题：
17. (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，因为a3＝7，a5＋a7＝26，
所以a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，（2 分）解得a1＝3，d＝2.（3 分）因为an＝a1＋(n－1)d，
Sn＝n（a1＋an）
2
，所以an＝2n＋1，（4 分），Sn＝n(n＋2)．（5 分）
(2)因为an＝2n＋1，所以an2－1＝4n(n＋1)．（6 分）因此bn＝
1
4n（n＋1）
＝1
4
1
n－1
n＋1 .
（7 分）. 故Tn ＝b1 ＋b2 ＋… ＋bn ＝1
4
1－1
2＋1
2－1
3＋…＋1
n－1
n＋1 ＝1
4
1－1
n＋1 ＝
n
4（n＋1）
.所以数列{bn}的前n 项和Tn＝
n
4（n＋1）
.（10 分）
18. (1)由a－c
b＋c
＝
sin B
sin A＋sin C
得(a－c)(sin A＋sin C) ＝(b＋c) sin B，
由正弦定理得(a－c) (a＋c) ＝(b＋c) b，（2 分）即a2－c2＝b2＋bc，由余弦定理a2＝b2
＋c2－2bc cos A，得cos A＝－1
2 .（4 分）由于0<A<π，所以A＝2π
3
.（5 分）
(2)由(1)可知A＝2π
3
，所以∠CAD＝2π
3
－π
2
＝π
6
.根据正弦定理，在△CAD 中，有
CD
sin π
6
＝
b
sin ∠ADC
，（6 分）在△BAD 中，有
BD
sin π
2
＝
c
sin ∠ADB
，（7 分）又∠ADB
＋∠ADC＝π，所以sin ∠ADB＝sin ∠ADC.又BD＝3CD，所以b＝2
3 c，（8 分）所以
由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bc cos A＝4c2
9
＋c2－2×2c2
3
× －1
2
＝19
9 c2，（10 分）
则a＝19
3
c，所以cos C＝a2＋b2－c2
2ab
＝7 19
38
.（12 分）
19.
（1）设AD 的中点为E ，连接PE ，因为PAD
为等边三角形，所以PE
AD
，
又因为平面PAD 平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD
AD
，且PE 平面PAD ，
所以PE 平面ABCD ，因为AB 平面ABCD ，所以PE
AB
，（2 分）
又PD
AB
，
,
PD
PE
P
PD PE
，
平面PAD ，所以AB 平面PAD ，（3 分）
又因为MD 平面PAD ，所以AB
MD
，因为在等边三角形PAD
中，M 为PA 的
中点，所以MD
AP
，因为
，
,
AB AP 平面PAB ，所以MD 平面
PAB ，（4 分）因为MD 平面MCD ，所以平面MCD 平面PAB ；（5 分）
{#{QQABJQYAogCoAABAARhCUQFQCgIQkBCACIgOgAAAMAAAiANABAA=}#}
试卷第2页，共4页
（2）连接CE ，由（1）知，AB 平面PAD ，因为AD 平面PAD ，所以AB
AD
，
因为
//
AD BC ，
2
AD
BC
，
2
CD
AB
，所以四边形ABCE 为矩形，
即CE
AD
，BC
AE
DE
，
2
2
CD
AB
CE
，所以
30
CDE
，设BC
a
，
2
AD
a
，
tan 60
3
PE
AE
a
，
3
tan30
3
a
AB
CE
DE
，以E 为原
点，分别以EC 、ED 、EP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，（6 分）
所以
0,
,0
A
a
，
0,0, 3
P
a ，
3 ,0,0
3
a
C
，
3 ,
,0
3
a
B
a
，
0, ,0
D
a
，
3
0,
,
2
2
a
a
M
，所以
3
3
,
,
3
2
2
a a
a
MC
，
3
3
0,
,
2
2
a
a
MD
，
3 ,
,
3
3
a
PB
a
a
，
3 ,0,
3
3
a
PC
a
，（7 分）设平面MCD 和平面PBC
的法向量分别为
1
1
1
1
,
,
n
x y z
，
2
2
2
2
,
,
n
x
y
z
，则
1
1
1
1
1
1
1
3
3
0
3
2
2
3
3
0
2
2
a
a
a
n MC
x
y
z
a
a
n MD
y
z
，
2
2
2
2
2
2
2
3
3
0
3
3
3
0
3
a
n
PB
x
ay
az
a
n
PC
x
az
，即
1
1
1
1
3
3
x
y
z
y
，
2
2
2
0
3
y
x
z
，取
1
1
y
，2
1
z
，则
1
3,1, 3
n
，（9 分）
2
3,0,1
n
，
（11 分）所以
1
2
1
2
1
2
3 3
3
2 210
cos
,
35
7
10
n n
n n
n
n
，
所以平面MCD 与平面PBC 夹角的余弦值为2 210
35
.（12 分）
，
球的概率
）从第二个箱子取出黄
解：（
15
8
5
2
3
1
5
3
3
2
1
.
20
2
P
（3 分）
;
75
38
5
2
)
15
8
1(
5
3
15
8
3
P
的概率
从第三个箱子取出黄球
（5 分）
，
）由题意可知，
（
5
2
5
1
)
1(
5
2
5
3
2
1
i
i
i
i
P
P
P
P
（8 分）
，
)
2
1
(
5
1
2
1
1
i
i
P
P
（9 分）
，
又
3
2
1
P
（10 分）
{#{QQABJQYAogCoAABAARhCUQFQCgIQkBCACIgOgAAAMAAAiANABAA=}#}
试卷第3页，共4页
，
6
1
2
1
1
P
，
1
)
5
1
(
6
1
2
1
i
iP
，
2
1
5
6
1
1
i
iP
（11 分）
.
2
1
5
6
1
19
20
P
（12 分）
21. 解：
（1）由离心率为3
6 可知
2
:
1
:
3
:
:
2
2
2
c
b
a
，
（1 分）设椭圆方程C：
1
3
2
2
2
2
b
x
b
y
，
将点
）
，
（
3
3
3
2
2
代入方程，可得
1
2
b
，（3 分）故方程为
.1
3
2
2
x
y
（4 分）
（2）设
2
:
ny
x
lAB
，
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
B
y
x
A
，联立方程
3
3
2
2
2
x
y
ny
x
，代入消元得
0
9
12
)1
3
(
2
2
ny
y
n
，由
0
得
.0
1
2
n
1
3
12
2
2
1
n
n
y
y
，
，
1
3
9
2
2
1
n
y
y
（6 分）原点到
AB
l
的距离
2
2
1
2
1
2
0
0
n
n
h
，（7 分）
，
2
1
2
1
y
y
n
AB
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
4
)
(
1
2
1
2
1
y
y
y
y
y
y
n
y
y
n
S AOB
，
2
2
2
2
2
2
)1
3
(
)1
(
36
1
3
36
)
1
3
12
(
n
n
n
n
n
（10 分）
令
，
0
1
2
n
t
2
3
16
24
9
6
)
4
3
(
36
2
t
t
t
t
S AOB
，当且仅当
3
1
,
3
4
2
n
t
即
时，
面积取到最大值.（12 分）
22. （1）
sin π
3
1 ln
1
f x
x
x
x
，所以
1
πcos π
3
3ln
1
1
x
f
x
x
x
x
，
（2 分）所以
0
π
3
f
，又因为
0
0
f
，（3 分）
所以
f
x 在
0
x
处的切线方程为
π
3
y
x
.（4 分）
（2）依题意得
在
0,1 上有两个不等的
1
2
,
x x ,而
，（5 分）
令
,则
2
2
2
2
6
3
3
9
π sin π
π sin π
1
1
1
x
G
x
x
x
x
x
x
，
因为对任意的
0,1
x
，sin π
0
x
,所以任意的
0,1
x
，
0
G
x
恒成立，所以
，
在[0,1]上单调递减,而
，
{#{QQABJQYAogCoAABAARhCUQFQCgIQkBCACIgOgAAAMAAAiANABAA=}#}
试卷第4页，共4页
由零点存在性定理，存在
0
0,1
x
，使得
，
于是
0
0,
x
x
，
，
0,1
x
x
，
，
因此�(�)在
0
0, x
上单调递增，在
0,1
x
0,1
x
上单调递减，
在
0
x
x
取到极大值
，（7 分）
又因为
，由零点存在性定理和�(�)的单调性，当且仅当
0
0
0
0
sin π
3
1 ln
1
m
x
x
x
时，
在
0
0, x
上和
0,1
x
上各恰有一个零点，
即为
1
2
,
x x ，不妨设
1
2
x
x
,
由（1）可得，�(�)在
0
x
处的切线方程为
π
3
y
x
.
令ℎ(�) = �(�) −(�+ 3)�，则,
令
H x
h x
，则
0
H
x
G x
，所以
h x
H x
在
0,1 单调递减,
而
所以对任意的
0,1
x
，
0
h x
，所以
h x 在
0,1 单调递
减，又因为
，所以对任意的
0,1
x
，
0
h x
.
即当
0,1
x
时，
，（9 分）
同理可计算得，
在
1
x 处的切线方程为
π
3ln 2 1
y
x
令
，则.
令
K x
k
x
，则
0
K
x
G x
，所以
k
x
K x
在
0,1 单调递减
而
，所以对任意的
0,1
x
，
0
k
x
，所以
k x 在
0,1 单调
递增,又因为
，所以对任意的
0,1
x
，
0
k x
.即当
0,1
x
时，
，（11 分）考虑
π
3 x
m
和
π
3ln 2 1
x
m
的零点，分别为
3
π
3
m
x
和
4
1
π
3ln2
m
x
,因为
，所以
3
1
x
x
，
因为
，所以
4
2
x
x
,
于是
3
1
2
4
x
x
x
x
，所以
1
2
4
3
2
1
1
π
3ln 2
π
3
π
3
m
m
m
x
x
x
x
.（12 分）
{#{QQABJQYAogCoAABAARhCUQFQCgIQkBCACIgOgAAAMAAAiANABAA=}#}
