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如皋市 2024 届高三 1 月诊断测试
数学参考答案
2024.01
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B B A D A A A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分.
题号 9 10 11
答案 ACD BCD ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
题号 12 13① 13② 14
答案
或
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分）
（1） ，则 ，
又 ，故可得 ，解得 ；
（2）由 可知， ， ，
令 ，解得 ， ，
又 函数定义域为 ，故可得 在区间 和 单调递减，在区间 单调递增.
故 的极大值为 ， 的极小值为16. （15分）
（1） 的可能取值为1，2，3， ， ， ，
故抽取次数X的概率分布为：
X 1 2 3
P
（2）每次检验取到新球的概率均为 ，故 ，所以
17. （15分）
（1）证明：因为 ，所以 ，
因为 ，所以
在 中， ，即 ，
所以 ，即
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面ABC，
所以 平面
又 平面 ，所以 ，在 中， ， ， ，
所以 ，即 ，
所以
而 ， 平面ABC， 平面ABC， ，
所以 平面
又 平面 ，所以平面 平面
（2）在平面ABC中过点C作AC的垂线CE，
以C为坐标原点，分别以CA，CE， 所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，
平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
则直线 与平面 所成角的正弦值为：，
18. （17分）
（1）解：设直线 AB 的方程为 ，与 联立得 ， ，得
，设 ， ， ，则 ， ，
所以 ，
由题意知 ，因为 ， ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即点C的坐标为 ， 代入抛物线E的方程得： ，解得 ，
满足条件 ，
所以直线AB的方程为
（2）证明：设直线BC的方程为 ，与 联立得 ，
，所以 ， ， ，
所以由 知 ，所以 ，
即点A的坐标为
又点A在抛物线 上，所以 ， 所以 ，
又 ，所以 ， 所以点A的横坐标 ，
同理可证，B，C两点的横坐标也小于
所以 三个顶点的横坐标均小于
19. （17分）
（1）解：对于①，设 ，则可得 ，所以 线性相关；
对于②，设 ，则可得 ，所以 ，
，所以 线性相关；
对 于 ③ ， 设 ， 则 可 得 ， 解 得
，所以 线性相关；
（2）解：设 ，
则 ，
因为向量 ， ， 线性无关，所以 ，解得 ，
所以向量 ， ， 线性无关，
（3）① ，如果某个 ， ，2，⋯，m，
则 ，
因为任意 个都线性无关，所以 ， ，⋯ ， ，⋅⋅⋅， 都等于0，
所以这些系数 ， ，⋅⋅⋅， 或者全为零，或者全不为零，②因为 ，所以 ， ，⋅⋅⋅， 全不为零，
所以由 可得 ，
代入 可得 ，
所以 ，
所以 ，⋯， ，
所以
