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高三 10 月份月考数学试题
（满分150分 时间120分钟）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合 ，根据集合的特征求出集合 ，然后利用集合的运算即可
求解.
【详解】集合 或 ，
集合 ，
所以 ，则 ，
故选： .
2. 如图，在平行四边形 中， 为对角线的交点， 为 的中点， 为 的中点，若
，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量的线性运算法则，求得 ,进而求得 的值，进一步计算即可.【详解】如图：
因为
,
所以
故选：
3. 设等比数列 的公比为q，则 是 为单调递增数列的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】通过做差，结合充分条件、必要条件的定义判断即可
【详解】
若 ,则 ,则 为单调递减数列
所以 是 为单调递增数列的不充分条件
若 为单调递增数列,则 ,则
即 或 ,所以故 是 为单调递增数列的不必要条件
故 是 为单调递增数列 的既不充分也不必要条件
故选：D4. 已知向量 ， ，向量 在向量 上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据投影向量的定义计算即可.
详解】由题意易知 ， ，
【
而 在 上的投影向量为： .
故选：B
5. 八卦是中国古老文化的深奥概念，如图示意太极八卦图．现将一副八卦简化为正八边形 ，
设其边长为 ，中心为O，则下列选项中不正确的是（ ）
A. B.
C. 和 是一对相反向量 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【详解】对于A中，由正八边形 中，可得 ，
则 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以A正确；对于B中，由正八边形 中，可得 ， ，
则 ，
所以B正确；
对于C中，由 和 方向相反，但长度不等，因此不是一对相反向量，所以C错误；
对于D中，由 ，可得 ，
所以D正确.
故选：C.
6. 阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳一高楼平安金融中心的阻尼
器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”，由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可
近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（单位；cm）和时间t（单位：s）的函数关系式为
，若振幅是2，图像上相邻最高点和最低点的距离是5，且过
点 ，则 和 的值分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由振幅得到 ，再由最高点和最低点的距离为 结合勾股定理可得 ，从而求得 ，再将 代入即可求得 ，问题得解.
【详解】根据题意，由振幅是2易知 ，
故 ，则 是 的最高点，
不妨记 相邻的最低点为 ，连接 ，过 作 轴，过 作 ，交点为 ，如图，
则 ， ， ，故 ，得 ，
又因为 ，故 ，得 ，所以 ，
因 为 是 的 点 ， 故 ， 得 ， 即
，
因为 ，所以 ，
故 ， .
故选：A.
.
7. 已知定义在 上的函数 满足 ，且 是偶函数，当 时，，则 （ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据 是偶函数和 得到 是 的一个周期，然后利用周期性求函数值
即可.
【详解】因为 是偶函数，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 是 的一个周期，
因为 ，所以 ， ，
.
故选：C.
8. 已知 ， 是方程 的两根，且 ， ，则 的值为
（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】由韦达定理得 ，即 ，得 ，
再根据两角和的正切公式解决即可.
【详解】由题知， ， 是方程 的两根，
所以 ，即 ，因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
故选：B
二、多项选择题：
9. 已知函数 则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在 上单调递增
C. 直线 是 图象的一条对称轴
D. 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到
【答案】BC
【解析】
【分析】化简函数解析式，根据正弦型函数的性质判断ABC，结合函数图象变换判断D.
【详解】 可化为 ，
函数 的最小正周期为 ，A错误；
当 时， ，因为 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，B正确；
当 时， ，
所以直线 是 图象的一条对称轴，C正确；
函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，D错误.
故选：BC.
10. 已知定义在 上的奇函数 ， ，且当 时， ，
则（ ）
A.
B. 有2个零点
C. 在 上为减函数
D. 不等式 的解集是
【答案】AD
【解析】
【分析】根据赋值法可判断A，根据奇函数的性质可判断CB,结合 的性质得 的图象，数形结
合即可判断D.
【详解】在 中，令 ，得 ，故A正确；
又 为 上的奇函数， ， ，∴ 至少有三个零点，故B错误；
设x， ，且 ，则 ， ，
1，
∴ 在 上是增函数，由于 为奇函数，∴ 在 上也是增函数，
故C错误：
由题意，画出 的图象如图，
等价于 或 ，
由图可知不等式的解集为 ,故D正确.
故选:AD
11. 已知 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ， ，若点P
是边BC上一点，Q是AC的中点，点O是 所在平面内一点， ，则下列说法正
确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 在 方向上的投影向量为 ，则 的最小值为
的
C. 若点P为BC 中点，则
D. 若 ，则 为定值18
【答案】ACD
【解析】【分析】对于 ，根据向量加法的运算法则及三角函数的诱导公式化简计算；对于B，易知当
时， 取得最小值，计算可得；对于C，根据向量加法结合律律及平行四边形法则计算可得；对于D，
根据向量数量积运算律计算即可.
【详解】解：如图，设BC的中点为E，连接QE，∵ ，由余弦定理可得：
，∴ ，∴ ，
又 ，∴ ，∴ ，∴ ，
对A选项，∵ ，∴ ，∴ ，又E为中点，
∴ ，又 ，∴ ，
∴ ，故A选项正确；
对B选项，∵ 在 方向上的投影向量为 ，∴ ，又Q是AC的中点，P在BC上，∴当
时，PQ最小，此时 ，故B选项错误；
对C选项，若点P为BC的中点，即P与E点重合，∵ ，∴ ，
∴ ，故C选项正确；
对D选项，∵ ，∴ 的平分线与BC垂直，
∴ 是以BC为底边的等腰三角形，∴ ，又由A选项分析知 ，
∴根据向量数量积的几何意义知 ，
∴ ，故D选项正确．故选：ACD．
12. 已知函数 ，则（ ）
A. 当 时，函数 的最小值为
B. 当 时，函数 的极大值点为
C. 存在实数 使得函数 在定义域上单调递增
D. 若 恒成立，则实数 的取值范围为
【答案】AD
【解析】
【分析】由函数极值的求解以及极值点的辨析即可判断AB，由 在 上恒成立即可判
断C，分离参数，构造函数 求得其最小值，即可判断D.
【详解】因为函数 ，则 ，其中 ，
当 时，则 ，令 ，可得 ，
当 时， ，则函数 单调递减，
当 时， ，则函数 单调递增，
当 时， 有极小值，即最小值 ，故A正确；当 时，则 ，令 ，可得 ，
当 时， ，则函数 单调递减，
当 时， ，则函数 单调递增，
当 时，函数 有极小值，则 为极小值点，故B错误；
假设存在实数 使得函数 在定义域上单调递增，
则 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，因为 的值域为 ，
所以函数 无最小值，
故不存在实数 使得函数 在定义域上单调递增，故C错误；
若 恒成立，即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ，则 ，令 ，则 ，
当 时， ，则函数 单调递减，
当 时， ，则函数 单调递增，
当 时， 有极小值，即最小值 ，所以 ，故D正确；
故选：AD
三.填空题（共4小题）
13. 已知向量 ，则 与 夹角的大小为_____________．
【答案】【解析】
【分析】根据题意可得 ，结合平面向量数量积的定义计算即可求解.
【详解】由 ，得 ，
由 ，得 ，
即 ，得 ，
所以 ，又 ，
所以 ，即 与 的夹角为 .
故答案为： .
14. 已知 ，若 ， ，则 = ．
【答案】
【解析】
【详解】因为 ，所以 ，又 ，
，整理得
解得 或 （舍去）
因此 ，因为 ，所以 ，
，15. 已知函数 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】先求导函数，解出 的值，代入函数即可求得 .
【详解】由已知， ，则
所以， ，
所以， .
故答案为： .
16. 已知 ， ，则 ______.
【答案】 0.75
【解析】
【分析】利用同角三角函数的平方关系及商数关系计算即可.
【详解】由同角三角函数的平方关系及已知条件可知：
，
当 ，此时 ，不合题意；
当 ，符合题意；所以 .
故答案为：
四.解答题（共6小题）
17. 如图，平行四边形 的对角线AC和BD交于点M，E在BC上，且 ，直线DE与
AB的延长线交于点F，记 ， ．
（1）试用 ， 表示 、 ；
（2）试用 ， 表示 ．
【答案】（1） ， ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用向量加法的平行四边形法则求出 ，再利用向量减法法则求出 作答.
（2）利用平行线的性质探求出 ，再利用向量减法法则求解作答.
【小问1详解】
平行四边形 的对角线AC和BD交于点M，
，.
【小问2详解】
点E在BC上，且 ， ，则 ，
于是 ，即 ， ，
.
所以
18. 已知在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
（1）求角A的大小；
（2）若AD平分 并交BC于D，且 ， ，求 的面积．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）变形给定的等式，再利用余弦定理求解作答.
（2）根据给定条件，结合（1），利用三角形面积定理求出 ，进而求出 计算作答.
【小问1详解】
因 ，则 ，整理得： ，
在 中，由余弦定理得： ，而 ，
所以 .
【小问2详解】在 中，AD平分 并交BC于D，则 ，而 ，
显然有 ，即 ，
则 ，整理得： ，又 ，
由（1）知， ，即有 ，而 ，解得 ，
所以 的面积 .
19. 设数列 的前n项和为 ，已知 ， ， 成等差数列，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）若 ， 的前n项和为 ，若对任意正整数n，不等式 恒成立，求
的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 ， ， 成等差数列，可得 ，再根据 与 的关系求通项即可；
（2）利用裂项相消法求出 ，从而可求得 的范围，即可求出 的范围，即可得解.
【小问1详解】
解：因为 ， ， 成等差数列，
所以 ，即 ，当 时， ，
即 ，
由 ，得 ，
所以数列 是以 为公比的等比数列，
则 ，即 ，所以 ，
所以 ；
【小问2详解】
解： ，
则 ，
因为 恒成立，所以 ，
所以 的最小值 .
20. 已知数列 的前 项和为
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义可得数列 是等差数列，从而求得 ，然后利用
求得 ；
（2）利用错位相减法求解即可.
【小问1详解】
因为 ， ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
则 ，所以 ，
当 时， ，
当 时，上式也成立，
所以 ；
【小问2详解】
，
，
，
两式相减得，
所以 .
21. 已知函数 存在两个极值点 .
（1）求 的取值范围；
（2）求 的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据极值点的定义可知 ，即 有两个不等正根，由一元二
次方程根的分布可构造不等式组求得 的取值范围；
（2）由（1）可知 ，由此化简 为 ，令
，利用导数可求得 ，即为所求的最小值.
【小问1详解】
由题意知： 定义域为 ， ；
令 ，则 有两个不等正根 ，
，解得： ， 实数 的取值范围为 .【小问2详解】
由（1）知： ， 是 的两根，则 ；
；
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增；
，
即 的最小值为 .
22. 设函数 ．
（1）讨论 的单调性;
（2）若 ，求证： ．
【答案】（1）单调性见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导可得 ，再 和 两种大情况讨论，在 时根据导
函数的两根的大小关系讨论分析即可；
（2）整理所证不等式为 ，再根据（1）结论得出 ，再构造证明 即可
【小问1详解】
由题，
①当 时， ，令 则 ，故当 时， ， 单调递增；当
时， ， 单调递减；
②当 时，令 则 ， ：
当 ，即 时，在当 和 时， ， 单调递增；当
时， ， 单调递减；
当 ，即 时， ， 单调递增；
当 ，即 时，在当 和 时， ， 单调递增；当
时， ， 单调递减；
综上所述，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减
【小问2详解】由题，即证 ，即 ，
得 .
由（1）可得当 时 在 上单调递减，
在 上单调递增，故 ，
当且仅当 时取等号.
设 ，则 ，故在 上 ， 单调递减；
在 上 ， 单调递增.故 ，即 ，
故 ，故 即得证
【点睛】本题主要考查了求导分类讨论分析函数单调性的问题，同时也考查了构造函数证明不等式的问题，
需要联系前问的结论化简不等式再证明，属于难题
