平许济洛2023-2024学年高三第一次质量检测数学参考答案(1)_2023年10月_0210月合集_2024届河南省平顶山许昌济源洛阳四市高三上学期第一次质量检测

平许济洛 2023-2024 学年高三第一次质量检测 数学参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B C C A D B 二．选择题 9 10 11 12 ABD CD ACD BC 三．填空题 13. 11 14. 75 2 30 15. 16. 11 3 四、解答题 17.解：（1）∵(c2 −a2 −b2)sinBcosB=abcos(A+B)， c2 −a2 −b2 cos(A+B) ∴ = ……………….…….. ……….………….………….……1分 ab sinBcosB −2cosC ∴−2cosC = ,……………….………….………….………….………….…..3分 sin2B ∵C是锐角，∴cosC ≠0， ∴sin2B＝1， π ∵0＜B＜ ，即0＜2B＜π， 2 π π ∴2B＝ ，即B＝ ；………………. ……….………….………….………….……..5分 2 4 2 （2）∵sinB＝ ， 2 1 2 ∴S ＝ acsinB＝ ac，……………….…………….………….………..……..6分 △ABC 2 4 {#{QQABAYKUogCgAAJAAAhCQwHACgAQkBGACCoGgBAIsAAAgRNABAA=}#}2 ∵b＝2，cosB＝ ， 2 2 ∴由余弦定理得：22＝a2+c2﹣2ac× ≥2ac﹣ 2 ac，……………….…..……..8分 2 ∴（2﹣ 2 ）ac≤4，即ac≤2（2+ 2 ）， 2 2 ∴S ＝ ac≤ ×2（2+ 2 ）＝ 2 +1， △ABC 4 4 当且仅当a=c= 4+2 2 时，等号成立， ∴△ABC的面积的最大值为 2 +1．……………….………….………….……..…..10分 n2 +n+1 n2 +n+4−S 18. 解： (1)由 = n ，得S 2 −(n2 + n + 4)S +3(n2 + n +1) = 0， S 3 n n n 即(S n −3)  S n −(n2 + n+1)  = 0，解得S n =3(舍)或S n = n2 +n+1，……….…2分 当n =1时，a = S =3， 1 1 当n  2时，a = S −S = n2 +n+1−(n−1)2 −(n−1)−1= 2n，……….…….4分 n n n−1  3,n =1, 所以，a =  . ………….………….………….……..……………………5分 n 2n,n 2 (2)T =(a −1)2a 1 +(a −1)2a 2 +(a −1)2a 3 +(a −1)2a 4 +...+(a −1)2a n n 1 2 3 4 n = 223 +324 +526 +728 +...+(2n−1)22n =16+342 +543 +744 +...+(2n−1)4n =12+141 +342 +543 +...+(2n−1)4n……….………….……..…………………7分 令R =141 +342 +543 +...+(2n−1)4n，① n 则4R = 142 +343 +544 +...+(2n−3)4n +(2n−1)4n+1，② n ①-②得：−3R = 4+242 +243 +...+24n −(2n−1)4n+1 n {#{QQABAYKUogCgAAJAAAhCQwHACgAQkBGACCoGgBAIsAAAgRNABAA=}#}32(1−4n−1) = 4+ −(2n−1)4n+1 1−4 32 2 = 4− + 4n+1 −(2n−1)4n+1 3 3 20 5 = − +( −2n)4n+1…………………………………………………………..……….10分 3 3 20 2n 5 所以R = +( − )4n+1， n 9 3 9 20 2n 5 128 (6n−5) 所以T =12+ +( − )4n+1 = + 4n+1,nN*. ………..……….12分 n 9 3 9 9 9 19.解：（1）补全的2×2列联表如下： 不喜爱 喜爱 合计 男性 30 90 120 女性 25 55 80 合计 55 145 200 零假设为 H ：性别与对活动的喜爱程度无关． 0 200(3055−9025)2 300 根据表中数据，计算得到2 = = 2.706 5514512080 319 根据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H 不成立，因此我们可以认为H 0 0 成立，即认为对该场活动的喜爱程度与性别无关．.……………………………..….4分 （2）①记“戏迷甲至少正确完成其中3道题”为事件A，则 3 31 3 4 189 P(A)=C3   +C4   = 4 4 4 4 4 256 ．……………………………. ……………………….7分 ②X的可能取值为2，3，4 C2C2 15 3 C1C3 40 4 P(X =2)= 2 6 = = P(X =3)= 2 6 = = C4 70 14 C4 70 7 8 ， 8 ， C0C4 15 3 P(X =4)= 2 6 = = C4 70 14 8 ，…………………………………………………………….10分 {#{QQABAYKUogCgAAJAAAhCQwHACgAQkBGACCoGgBAIsAAAgRNABAA=}#}X的分布列为； X 2 3 4 3 4 3 P 14 7 14 3 4 3 数学期望E(X)=2 +3 +4 =3．……………………………………….…..12分 14 7 14 20.解：（1）证明：∵平面FGH∥平面ABED，平面BCFE∩平面ABED＝BE， 平面BCFE∩平面GHF＝HF，∴BE∥HF． ∵BC∥EF，∴四边形BHFE为平行四边形，则BH＝EF． ∵BC＝2EF，∴BC＝2BH，H为BC的中点．………………. ……………………..1分 同理G为AC的中点，则GH∥AB，……………….…………………………….…..2分 ∵AB⊥BC，∴GH⊥BC． 又HC∥EF且HC＝EF，∴四边形EFCH是平行四边形，则CF∥HE． 又CF⊥BC，∴HE⊥BC．……………….…….. …………………………………….4分 又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H， ∴BC⊥平面EGH；……………….…………………………………………………..6分 （2）∵AB⊥CF，CF∥HE，GH∥AB，∴HE⊥GH． 以H为坐标原点，分别以HG，HB，HE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系． BAC =45  ABC为等腰直角三角形，即AB= BC. 则E（0，0，1），F（0，﹣1，1），G（1，0，0），D（1，0，1）， EF =(0,−1,0)，EG =(1,0,−1)， FG =(1,1,−1)，GD=(0,0,1)．……………….…………………………………..8分 {#{QQABAYKUogCgAAJAAAhCQwHACgAQkBGACCoGgBAIsAAAgRNABAA=}#}设平面EFG的一个法向量为m=(x ,y ,z )． 1 1 1  m EF =−y =0 由 1 ，取x =1，得m=(1,0,1)； 1  m EG = x −z =0 1 1 设平面FGD的一个法向量为n=(x ,y ,z )． 2 2 2  n FG = x + y −z =0 由 2 2 2 ，取x 2 ＝1，得m=(1,−1,0)．……………….….…..10分  n GD = z =0 2 → → m n 1 ∴cosm,n = = ． |m||n| 2 设平面EFG和平面DFG的夹角为，则 → → 1 cos=|cosm,n |= . 2 1 ∴平面EFG和平面DFG的夹角的余弦值 ．……………….…………………………..12分 2 1 21.解：由题意：函数f(x)的定义域为（0 , ）f '(x) 1 x x (0,1), f '(x) 0,x (1, ), f '(x) 0 y f(x)在（0，1）上为减函数，在（1 ， ）上为增函数， f(1) 1 m. 2分 即y f(x）图象与直线y 1 m相切. 1 x 由g'(x) , ex x (0,1),g'(x) 0,x (1, ),g'(x) 0 1 y g(x)在（0 ， 1）上为增函数，在（1 ， ）上为减函数，g(1)= , e 1 即y g(x)图象与直线y 相切. e 1 1 两函数图象均与平行于x 轴的同一条直线相切，则1 m ,即m 1. 4分 e e x x x x x （2）F(x) x lnx m ln m,令t 1 ,t 2 ex ex ex 1 ex 1 2 ex 2 由F(x ) F(x ) 0，得-lnt t m -lnt t m 0 1 2 1 1 2 2 x x 函数y lnt t m在（0， ）上为减函数，故t t ,即 1 2 ， 7分 1 2 ex 1 ex 2 {#{QQABAYKUogCgAAJAAAhCQwHACgAQkBGACCoGgBAIsAAAgRNABAA=}#}即g(x ) g(x )，不妨设0 x 1 x , 1 2 1 2 要证ex 1 ex 2 e2,只需证x x 2， 1 2 只需证x 2-x，即证g(x ) g(2 x ), 2 1 2 1 因为g(x ) g(x ) 1 2 只需证g(x ) g(2 x )，即g(x )-g(2 x ) 0.........................9分 1 1 1 1 令h(x) g(x)-g(2 x) x 2 x ,x (0,1), ex e2 x 1 x x 1 e2 x ex 则h'(x) (1 x) 0,.....................11分 ex e2 x exe2 x h(x)在(0,1)上单调递增， h(x) h(1) 0, 原题得证.....................................................................12分 22.(1)设P(x,y)，M(x ,y )，则N(−x ,y )， 0 0 0 0 过点N且平行于y轴的直线方程为：x=−x ，…….………………………………1分 0 y 直线OM的方程为：y = 0 x， …….…………………………………………….2分 x 0 x=−x  0 y 2 x 2 联立两直线方程 y ，相乘得：y2 = − 0 x，x2 =− 0 y y = 0 x x y  x 0 0  0 因为M 在抛物线C上，所以x 2 =−4y ， 0 0 所以x2 4y，………………………………………………………………………………4分 由题意知O、M不重合，故x 0， 所以曲线E的方程为x2 4y(x 0)……………………………………………….5分 （2）由（1）知直线y 1，当点A在特殊位置(0, 1)时，显见两个切点P,P 关于y轴对 1 2 称，故要使得AB ⊥PP ，点B必须在y轴上． 1 2 1 1 故设A（m，﹣1），B（0，n），P(x , x2)，P (x , x 2)， 1 1 4 1 2 2 4 2 {#{QQABAYKUogCgAAJAAAhCQwHACgAQkBGACCoGgBAIsAAAgRNABAA=}#}1 1 1 曲线E的方程为y x2(x 0)，求导得y' x，所以切线AP 的斜率k = x ， 4 2 1 1 2 1 1 1 直线AP 的方程为y− x2 = x (x−x )，又点A在直线AP 上， 1 4 1 2 1 1 1 1 1 所以−1− x2 = x (m−x )，整理得x2 −2mx −4=0， 4 1 2 1 1 1 1 同理可得x 2 −2mx −4=0 ， 2 2 故x 和x 是一元二次方程x2 2mx 4 0的根，由韦达定理得 1 2 x +x =2m  1 2 ，……………………..…………………………………………………....9分 x x =−4  1 2 1 1 1 PP AB =(x −x , x 2 − x2)(−m,n+1)= (x −x ) [ 4m (n 1)(x x )] 1 2 2 1 4 2 4 1 4 2 1 2 1 1 1   ＝ (x −x ) −4m+2m(n+1) = m(x −x )(n−1)， 4 2 1 2 2 1 可见n 1时，PP AB =0，……………….……..(11分) 1 2 所以存在定点B (0,1)，使得AB ⊥PP 恒成立．……………….……………….…..12分 1 2 {#{QQABAYKUogCgAAJAAAhCQwHACgAQkBGACCoGgBAIsAAAgRNABAA=}#}