数学答案（文科）(1)_2023年10月_0210月合集_2024届四川省射洪中学高三上学期10月月考试题_四川省射洪中学2024届高三上学期10月月考试题文科数学

射洪中学高2021级高三上期10月月考
数学(文科)试题参考答案
1.【答案】A
2.【答案】A
1+i 1+i
【解析】 =
1-i
 2
1-i  1+i 
2i
= =i，其共轭复数为-i，所以a=0，b=-1，
1-i2
则a+b=-1.
3.【答案】B
【解析】A=x0≤x≤4  ，B=-1，1,3,5⋯  ，则A∩B=1，3  ，
则A∩B的子集个数为22=4个.
4.【答案】B
【解析】α=10°，β=-10°，则cosα=cosβ，但不满足α=β+2kπ，k∈Z，故充分性不具备；
必要性：cosα=cosβ+2kπ  =cosβ，故必要性具备.
5.【答案】C
【解析】因为y=x  是偶函数，故排除D，
π
y=tanx，定义域为x|x≠kπ+
 2
 ，故排除A，
B，C均为奇函数，但是y=ln1+x  -ln1-x  = 1-x2  ln 在0,+∞  上单调递减，
y=ex−e−x在0,+∞  上单调递增.
6.【答案】D
【解析】由图象可知f(x)为奇函数，故排除A，B，
由图象f2  <0，对于C，D分别有f2  >0，f2  <0.
7.【答案】B
m m
【解析】当 0 =100时，Δv=5ln100，当 0 =200时，Δv=5ln200，
m m
1 1
Δv增加的量为5ln200-5ln100，
5ln200-5ln100 ln2+ln100-ln100
增加的百分比约为 =
5ln100 2ln2+ln5 
ln2
=
2ln2+ln5 
0.7
≈ ≈15%.
2×2.3
文科答案 第1页 共8页8.【答案】A
【解析】函数fx  的图象与y轴交点的坐标为0, 3  ，所以f0  =Asinφ= 3，
π π π 2π
图象关于直线x=- 对称，所以- +φ=kπ+ ，即φ=kπ+ ，k∈Z，
24 6 2 3
2π
当k=0时，φ= ，所以A=2，即fx
3

2π
=2sin4x+
3
 ，
故gx 
2π
=2sinx+
3
 ，
π 2π 2π 5π
∵0≤x≤ ，∴ ≤x+ ≤ ，
6 3 3 6
∴gx 
π
的最小值为g
6

5π
=2sin =1.
6
9.【答案】A
x
【解析】t= ，t=lnx，
2
MN  =2t-et  =et-2t，
记ht  =et-2t，，则ht  =et-2，
令ht  >0解得t>ln2，
所以ht  在0，ln2  上单调递减，在ln2，+∞  单调递增，
故ht  的最小值为hln2  =2-2ln2.
10.【答案】C
【解析】
3 1 2π 3
∵△ABC的面积为 ，∴ ×2×AC×sin = ，所以AC=1，
2 2 3 2
  
1 1
由向量知识可得AD= AC+ AB，
2 2

故AD 

1
2= AC
4


1
2+ AB
4

 
1 1 1 2π 3
2+ AC∙AB= +1+ ×1×2×cos = ，
2 4 2 3 4

故AD 
3
= .
2
11.【答案】D
【解析】由f(1-x)=f(1+x)可得f(x)的图象关于x=1对称，
又f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,所以f(x)的图象关于0，0  对称，且f0 
C
D
A B
=0，
文科答案 第2页 共8页故fx  的一个周期为4，
f2  =f0  =0，f3  =f-1  =-f1  =-1，f4  =f0  =0，
所以f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=f(1)+f(2)=1.
12.【答案】C
【解析】fx 
1-lnx
= ，所以fx
x2
 在0，1  单调递减，在1，+∞  单调递增，
gx 
x lnex
== = =fex
ex ex
 ，
所以若存在m，n使得fm  =gn  <0，
则0<m<1且fm  =gn  =fen  ，所以m=en n<0  ，
所以mn=nen，
构造函数hx  =xex x<0  ，hx  =x+1  ex，
易得hx  在-1，0  单调递增，在-∞，-1  单调递减，
所以hx  =h-1
min

1
=- .
e
13.【答案】(-1,1)
【解析】

1-x>0 ，解得-1<x<1，即(-1,1)
x+1>0
2 5
14.【答案】
5
【解析】因为锐角α满足 π+α 
sinα
tan =2=tanα，即 =2，
cosα
1
可得cosα= sinα，
2
1 2 5
所以sin2α+cos2α=sin2α+ sin2α=1，解得sinα= ，
4 5
π
则  -α
2

2 5 2 5
cos ==sinα= ．故答案为： ．
5 5
π
15.已知cosα−
6

3 2π
−sinα= ，则sinα+
5 3
 = .
3
【答案】
5
3 1 3
【解析】由题意得 cosα+ sinα-sinα= ，
2 2 5
3 1 3
即 cosα- sinα= ，
2 2 5
1
所以sinα×-
2

3 3 2π
+cosα× = ，即 α+
2 5 3

3
sin = .
5
文科答案 第3页 共8页16.【答案】①③④
【解析】①：∵fx+1  =fx-1  ，∴fx+2  =fx  ，故周期为2，正确；
②∵fx  是奇函数，∴fx  的图象关于0，0  对称，
而fx  的图象右移1个单位得到fx-1  的图象，即0，0  右移1个单位得到1，0  ，错误；
③fx  +f1-x  =4中x+1-x  =1，所以有：
1
f
10

9
+f
10

2
=4，f
10

8
+f
10

3
=4，f
10

7
+f
10

4
=4，f
10

6
+f
10
 =4，
5
又f
10

5
+f
10

5
=4，即f
10
 =2，
1
所以f
10

2
+f
10

9
+⋯+f
10
 =18，正确；
④由下图可得m∈0，1  ，正确.
y
y=1
O x
17.【答案】(1)A∩B=-3,1  ∪2  ，(2)-∞,-4  ∪2,+∞ 
【解析】1 
x-(a+1) x-2
当a=1时，g(x)= = ，
x-a x-1
x-2
由题意 ≥0，解得x<1或x≥2，
x-1
所以B={x|x<1或x≥2}， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
又A=x|-3<x≤2  ，
所以A∩B=-3,1  ∪2  . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
2  由题意 x-(a+1) ≥0，即  (x-a)[x-(a+1)]≥0 ，解得：x≥a+1或x<a，
x-a x-a≠0
所以B={x|x≥a+1或x<a  ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
因为p是q的充分不必要条件，
所以，集合A是集合B的真子集， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
所以a>2或a+1≤-3，解得a>2或a≤-4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分
故实数a的取值范围-∞,-4  ∪2,+∞  ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
文科答案 第4页 共8页π 1
18.【答案】(1) ，(2)
6 2
asinB 1
【解析】(1)由正弦定理得：sinA= = ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
b 2
π 5π
∵0<A<π，∴A= 或 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
6 6
5π
当A= 时，此时A+B>π，
6
5π π
所以A= 舍去，所以A= . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
6 6
(2)法1：由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB∙ACcosA
2
即1=AB2+2-2 2AB∙ ，即AB2-2AB+1=0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
2
解得AB=1， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
1 1
所以△ABC的面积为 ×1× 2×sinA= . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
2 2
法2：通过正弦定理解决
19.【答案】(1)单调递增区间是-∞,-3 
1
和 ,+∞
3

1
，单调递减区间是-3,
3
 ，(2)4
【解析】(1)fx  =3ax2+2bx-3，
f-3 由已知得  =0
f1 


，得

27a-6b-3=0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
=8 3a+2b-3=8
解得a=1,b=4． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
于是fx  =3x2+8x-3=x+3  3x-1  ，
由fx 
1
>0，得x<-3或x> ，
3
由fx 
1
<0，得-3<x< ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
3
可知x=-3是函数fx  的极大值点，a=1,b=4符合题意，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
所以fx  的单调递增区间是-∞,-3 
1
和 ,+∞
3

1
，单调递减区间是-3,
3
 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
(2)由(1)知fx  =x3+4x2-3x+c，
因为fx 
1
在区间 -1,
 3

1
上是单调递减函数，在 ,1
3
 上是单调递增函数，
又f1  =2+c<f-1  =6+c， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
所以fx  的最大值为f-1  =6+c=10，解得c=4.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
文科答案 第5页 共8页π π
20.【答案】(1) - +kπ, +kπ
 3 6
 (k∈Z)；(2) 6+ 2+1.
【解析】(1)依题意：
2
f(x)=2× cosx-sinx
2

2
× cosx+sinx
2
 + 3sin2x+1
=cos2x-sin2x+ 3sin2x+1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
=cos2x+ 3sin2x+1
π
=2sin2x+
6
 +1， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
π π π π π
由- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z得：- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z，
2 6 2 3 6
π π
所以函数f(x)的单调递增区间是 - +kπ, +kπ
 3 6
 (k∈Z).
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
π
(2)由(1)知，f(C)=2sin2C+
6

π
+1=3，即sin2C+
6
 =1，而C∈0,π  ，
π π 13π
则2C+ ∈ ,
6 6 6

π π π
，于是2C+ = ，解得C= ，
6 2 6
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
由余弦定理有c2=a2+b2-2abcosC，即1=(a+b)2-(2+ 3)ab，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
a+b 由ab≤
2
 2 ，可得1=(a+b)2-(2+ 3)ab≥a+b  2+ 3 2- a+b
4
 2，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
2- 3
即 a+b
4

4
2≤1，所以a+b≤ = 6+ 2.
2- 3
所以△ABC的周长的最大值为 6+ 2+1.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
21.【答案】(1)y=x，(2)(-∞,-2]
【解析】(1)因为x∈R,fx  =x+1  ex， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
设切点为x 0 ,x 0 ex0  ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
所以切线斜率为x 0 +1  ex0，切线方程为y-x 0 ex0=x 0 +1  ex0x-x 0  ，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
将点0,0  代入切线方程解得x =0，故切线方程为y=x； 0
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
文科答案 第6页 共8页(2)令gx  =fx  -ex-ax+1-2sinx=x-1  ex-ax-2sinx+1,x∈0,+∞  ，
则原不等式即为gx  ≥0，
又gx  =xex-a-2cosx，且g0  =-a-2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
若a≤-2时，则-a≥2,
∴gx  =x-1  ex-ax-2sinx+1≥x-1  ex+2x-2sinx+1，
再令hx  =x-1  ex+2x-2sinx+1,∴hx  =ex⋅x+2-2cosx且h0  =0，
因为x≥0，xex≥0，而2-2cosx≥0，故hx  ≥0(当且仅当x=0时等号成立)，
所以hx  在0,+∞  上为增函数，所以hx  ≥h0  =0，
此时不等式gx  ≥0恒成立即fx  -ex-ax+1≥2sinx恒成立.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
当a>-2时，-a<2，则g0  =-a-2<0，
设tx  =g(x)=xex-a-2cosx,tx  =(x+1)ex+2sinx，
π
则当x∈0,
2
 时，有tx  >0即gx 
π
在0,
2
 上单调递增，
π
若g
2

π
<0，则∀x∈0,
2
 ，有gx  <0恒成立，
π
故g(x)在0,
2
 上单调递减，故g(x)<g(0)=0，不合题意；
π
若g
2

π
≥0，则存在s∈0,
2
 ，使得gs  =0，
故∀x∈0,s  ，，有gx  <0恒成立，
故g(x)在0,s  上单调递减，故g(x)<g(0)=0，不合题意；
综合上述，实数a的取值范围为(-∞,-2].
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
4+ 2
22.【答案】(1)3x2+4y2-6x=9，(2)
3
3
【解析】(1)由题意得，ρ=
2-cosθ
则：2ρ=ρcosθ+3，平方得4ρ2=(ρcosθ+3)2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入方程得4x2+4y2=x+3

2，
化简即得曲线C的普通方程为3x2+4y2-6x=9；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
(2)由条件∠AOB=90°，不妨设Aρ 1 ，θ 
π
,Bρ ，θ+ 2 2  ，
文科答案 第7页 共8页3 3
所以ρ = ，ρ =
1 2-cosθ 2 π
2-cosθ+
2

3
= ，
2+sinθ
1
即
OA 
1
+
OB 
1 1 4-cosθ-sinθ
= + =
ρ ρ 1 2

π
4- 2cosθ+
4
=
3

4+ 2
≤ ，
3 3
π
当cosθ+
4
 =-1时等号成立． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
当Aρ 1 ,θ 
π
,Bρ ,θ- 2 2  时，
3 3
同上易得ρ = ,ρ =
1 2-cosθ 2 π
2-cosθ-
2

3
= ，
2-sinθ
1
OA 
1
+
OB 
4-cosθ+sinθ
=

π
4- 2cosθ-
4
=
3

4+ 2
≤ ，
3 3
π
当cosθ-
4
 =-1时等号成立．
1
综上，所以
OA 
1
+
OB 
4+ 2
最大值为 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
3
23.【答案】(1)0，3 
1
，(2)
10
【解析】(1)fx  =x-1  +x-2 
2x-3, x>2

= 1, 1≤x≤2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分

3-2x, x<1
当x>2时，不等式fx  <3可化为2x-3<3，解得x<3，所以2<x<3；
当1≤x≤2时，不等式fx  =1<3，所以1≤x≤2；
当x<1时，不等式fx  <3可化为3-2x<3，解得x>0，所以0<x<1；
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
综上，不等式fx  <3的解集为0,3  ； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
(2)由绝对值三角不等式可得fx  =x-1  +x-2  ≥ x-1  -x-2    =1，
当且仅当x-1  x-2  ≤0，即1≤x≤2时，等号成立，故a+3b=1，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
由柯西不等式可得12+32  a2+b2  ≥a+3b 
1
2=1，即a2+b2≥ ，
10
1
b a=
a=  10
当且仅当 3 时，即当 时，等号成立，
3
a+3b=1 b=
10
1
故a2+b2的最小值为
10
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
文科答案 第8页 共8页