数学答案（理科）(1)_2023年10月_0210月合集_2024届四川省射洪中学高三上学期10月月考试题_四川省射洪中学2024届高三上学期10月月考试题理科数学

射洪中学高2021级高三10月月考
数学(理)试题答案
1.B【详解】由A=x∈Z-1≤x≤3  ，可得A=-1,0,1,2,3  ，
由B=xx2≤2  ，可得B=x- 2≤x≤ 2  ，所以A∩B=-1,0,1  .故选：B
2.D【详解】对于A，∵y=cosx在π,2π  上单调递增，∴当2π>a>b>π时，cosa>cosb，A错误；
对于B，∵y=2x在0,+∞

上单调递增，∴2a>2b，即2a-2b>0，B错误；
1
对于C，∵y= 在0,+∞
x

1 1
上单调递减，∴ < ，C错误；
a b
对于D，∵y=x3在0,+∞

上单调递增，∴a3>b3，D正确.故选：D.
3.D【详解】由题意得¬p是真命题，即∀x∈R，3ax2+2ax+1>0，
当a=0时，1>0符合题意；
当a≠0时，有a>0，且Δ=(2a)2-4⋅3a<0，解得0<a<3.
综上所述，实数a的取值范围是0,3  .故选:D.
4.D【详解】函数fx  的图像在点P 3,f3    处的切线的斜率就是在该点处的导数，
即f3  就是切线y=-2x+7的斜率，所以f3  =-2.
又f3  =-2×3+7=1，
所以f3  -f3  =1--2  =3.故选：D
5.A【详解】∵f(x)-f-x 
ex-1 e-x-1
= ⋅sinx- ⋅sin-x
ex+1 e-x+1

ex-1 1-ex
= +
ex+1 1+ex
 sinx=0，
即f(x)=f-x  ，∴f(x)为偶函数；
π
又∵当x∈0,
2
 时，则sinx>0,ex>e0=1，故ex+1>0,ex-1>0，
∴f(x)>0；综上所述：A正确，B、C、D错误.故选：A.
6.C
T 7π π π
7.A【详解】依题意，A= 2， = - = ，故T=π，
4 12 3 4
2π 7π
故ω= =2，故f(x)= 2sin(2x+φ)，将 ,- 2
π 12

7π 3π
代入可知，2× +φ= +2kπ(k∈Z)，
12 2
π π
解得φ= +2kπ(k∈Z)，故f(x)= 2sin2x+
3 3

π
，故g(x)=fx-
2

2π
= 2sin2x-
3
 ，
5π
则g
12

π 2
= 2sin = 故选：A.
6 2
理科答案 第1页 共7页8.B【详解】∀x∈R， 9x2+1>3x  ≥3x，则 9x2+1-3x>0恒成立，
又因为fx  +f-x  =ln 9x2+1-3x  +ln 9x2+1+3x  +x-x+2
=ln9x2+1-9x2  +2=2，
因为a+b=2023，则b-2025  +a+2  =0，
因此，fb-2025  +fa+2  =2.故选：B
9.A【详解】因为tan2α-tanα  ⋅cos2α=2，
sin2α
所以 -tanα
cos2α

sinα
⋅cos2α=2，所以sin2α- ⋅cos2α=2，
cosα
sinα
即2sinαcosα- ⋅2cos2α-1
cosα
 =2，
sinα sinα
即2sinαcosα-2sinαcosα+ =2，即 =tanα=2.故选：A
cosα cosα
10.D【详解】因为fx+6  =-fx+3  =fx  ，所以fx  是以6为周期的函数，
所以f2023  =f337×6+1  =f1  =f-2+3  =-f-2 
2π
=- 2-2+sin-
3
  


1 3
=- + .
4 2
1
11.B【详解】由 x<log x在0,
a 9
 上恒成立，得0<a<1，
1
令f(x)= x-log x，则f(x)在0,
a 9

1
上为增函数，所以由f
9

1
<0，得a> ．
729
1
又因为0<a<1，所以 <a<1，故选：B
729
12.B【详解】原不等式可化为2ax-a>xex，
设fx  =2ax-a,gx  =xex，则直线fx 
1
=2ax-a过定点 ,0
2
 ，
由题意得函数gx  =xex的图象在直线fx  =2ax-a的下方．
∵gx  =xex，∴gx  =x+1  ex．
设直线fx  =2ax-a与曲线gx  =xex相切于点m,n 
2a=m+1
，则有{
 em
，
mem=2am-a
1
消去a整理得2m2-m-1=0，解得m=- 或m=1(舍去)，
2
1
故切线的斜率为2a=- +1
2

-1 1 -1 e e
e 2= e 2= ，解得a= ．
2 2e 4e
又由题意知原不等式无整数解，结合图象可得当x=-1时，f-1  =-3a,g-1  =-e-1，
由f-1  =g-1 
1
解得a= ，
3e
当直线fx 
1
=2ax-a绕着点 ,0
2

1 e
旋转时可得 ≤a< ，
3e 4e
故实数a的取值范围是  1 , e
3e 4e
 ．选B．
理科答案 第2页 共7页1 1
13.- 或 【详解】根据题意可设fx
2 2
 =xm,m∈R  ，由题可知2m=4，解得m=2，则fx  =x2，
又fa 
1 1 1 1 1 1
= ，即a2= ，解得a=- 或 .故答案为：- 或 .
4 4 2 2 2 2
14.1+i
2 21-i
【详解】因为z= =
1+i

1+i  1-i 
21-i
=

=1-i，
2

所以z=1+i，故答案为：1+i
15.【答案】5
16.【详解】对于①,如图:
任取x 1 ,x 2 ∈0,+∞ 
当x 1 ,x 2 ∈0,2  , fx 1  -fx 2    =sinπx 1 -sinπx 2  ≤2
当x∈2,+∞  1 1 ,f(x)= f(x-2)=
2 2
 n sinnπ,n∈N* 
∴ x 1 ,x 2 ∈0,+∞  , fx 1  -fx 2    ≤2,恒成立
故①正确.
1 1 对于②,∵f(x)= f(x-2) ∴f(x+2k)=
2 2
 k f(x) ∴f(x)=2kf(x+2k)k∈N*  ,
故②错误.对于③,fx  =lnx-1  的零点的个数问题,分别画出y=fx  和y=lnx-1  的图像
如图:
y
1
1 2 3 4 5 6
O x
∵ y=fx  和y=lnx-1  图像由三个交点.
∴ fx  =lnx-1  的零点的个数为:3.
故③正确.
对于④,设x∈2k,2k+2  ,k∈N 
∵ fx 
sinπx, x∈0,2
=

1
fx-2
2
 ,x∈2,+∞ 


1
∴ f(x) max = 2k ,k∈N  令gx 
2
= 在x∈2k,2k+2 x  ,k∈N  可得:gx 
1
= min k+1
当k=0时,x∈0,2  ,f(x) max =1,gx  min =1,∴ f(x) max ≤gx  min
∵ 若任意x>2,不等式fx 
2
≤ x 恒成立,即f(x) max ≤gx 
y
1
1 2 3 4 5 6
O x
1 1
,可得 ≥ min k+1 2k
理科答案 第3页 共7页1 1
求证:当k≥1, ≥ ,化简可得:2k≥k+1，
k+1 2k
设函数T(k)=2k-k-1,则T(k)=2kln2-1≥0
∴当k≥1时,T(k)单调递增,可得T(k)≥T(1)=0，
1 1
∴ T(k)=2k-k-1≥0∴2k≥k+1 即: ≥ ，
k+1 2k
综上所述,对任意x>0,不等式fx 
2
≤ 恒成立.故④正确.故答案为:①③④.
x
17.解：1  ∵ A={x|x-5<2x<x-2}，
∴ A={x|-5<x<-2}． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
当m=-4时，B={x|-5≤x≤-3}． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
∴A∪B={x|-5≤x<-2}， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
所以，∁ A∪B
R
 ={x|x<-5或x≥-2}． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
2  ∵B为非空集合，x∈B是x∈A的充分不必要条件，
则集合B是集合A的真子集， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
2m+3≤m+1

∴2m+3>-5 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
m+1<-2
m≤-2

解得：m>-4，
m<-3
∴m的取值范围是{m|-4<m<-3}． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
18.(1)解：由题意可知，函数fx  的最小正周期为T=π，
2π
∴ω= =2，则fx
T
 =sin2x+φ  ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
因为函数fx 
π
有一个对称中心为 ，0
3

π
，则2× +φ=kπk∈Z
3

2π
，所以，φ=kπ- k∈Z
3
 ，
π
因为0<φ<π，则φ= ，
3
π
故ω=2，φ= ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
3
(2)由(1)可得fx 
π
=sin2x+
3
 ，
π
fθ-
6

π
=sin 2θ-
6

π
  +
 3

2 2
=sin2θ= ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
3
π π π π 1
因为 <θ< ，则 <2θ< ，所以cos2θ= 1-sin22θ= ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
8 4 4 2 3
因此fθ 
π
=sin2θ+
3

1 3
= sin2θ+ cos2θ
2 2
1 2 2 3 1 2 2+ 3
= × + × = . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
2 3 2 3 6
理科答案 第4页 共7页19.解：1  f(x)=ax3+cx，则f(x)=3ax2+c，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
由题可知f(2)=12a+c=0，f(1)=3a+c=-9，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
解得a=1,c=-12，故fx  =x3-12x． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
2  由(1)知fx  =x3-12x，f(x)=3x2-12=3x+2  x-2  ，
故当x∈-1,2  ，f(x)<0，fx  单调递减；
当x∈2,3  ，f(x)>0，fx  单调递增；
又f-1  =11,f2  =-16,f3  =-9，
故fx  在-1,3  上的值域为-16,11  ； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
g(x)=mx+5(m>0)，当x∈-1，3  ，gx  单调递增，
故gx  值域为-m+5,3m+5  ； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
根据题意-m+5，3m+5  是-16，11  的子集，
故-m+5≥-16,3m+5≤11，m>0，解得m∈0，2  ，
故实数m的取值范围为0，2  ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
π
20.【详解】(1)因为f(x)= 3sin(π+x)sinx-
2

π
+cos2 +x
2

1
- ，
2
所以f(x)= 3-sinx  -cosx 
1
+sin2x- ，
2
3 1-cos2x 1
= sin2x+ - ，
2 2 2
3 1 π
= sin2x- cos2x=sin2x-
2 2 6
 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
π π π π π
令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ，解得- +kπ≤x≤ +kπ，
2 6 2 6 3
所以fx 
π π
的单调递增区间： kπ- ,kπ+
 6 3
 ，(k∈Z)；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
(2)因为f(A)=1，所以fA 
π
=sin2A-
6
 =1，
π
又因为A∈(0，π)，所以A= ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
3
b2+c2-4 1
在三角形ABC中，利用余弦定理得cosA= = ，
2bc 2
整理得：b2+c2-4=bc， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
又因为b2+c2≥2bc，所以b2+c2-4≥2bc-4，即bc≥2bc-4，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
1 3
所以bc≤4，当且仅当b=c时等号成立，S = bcsinA= bc
△ABC 2 4
所以S ≤ 3，当且仅当a=b=c=2时，S 取得最大值 3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
△ABC △ABC
理科答案 第5页 共7页21.解：(1) 当t=0时，f(x)=x-ex+1，f(x)=1-ex，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
当x<0，f(x)>0，f(x)在(-∞,0)内单增；
当x>0，f(x)<0，f(x)在(0,+∞)内单减，
f(x) =f(0)=0. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2分
max
(2)由f(x)=1，得xetx=ex，即x=ex(1-t)>0，原方程无负实根，
lnx
故有 =1-t，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
x
lnx 1-lnx
令g(x)= ，g(x)= ，
x x2
当0<x<e，f(x)>0，f(x)在(0,e)内单增；
当x>0，f(x)<0，f(x)在(e,+∞)内单增，
1
则g(x) =g(e)= ，而当x→0时，g(x)→-∞，
max e
1
故g(x)值域为-∞,
e
 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
1
方程f(x)=1无正实根等价于当1-t∉-∞,
e

1 1
，即1-t> ，也即t<1- ，
e e
1
综上，当t<1- 时，方程f(x)=1无实根. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
e
(2)f(x)=etx+txetx-ex=etx[1+tx-e(1-t)x]，
由题设知∀x>0，f(x)≤0，无妨取x=1，有f(1)=et(1+t-e1-t)≤0，
即e1-t≥1+t>1=e0，也即t<1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
1 x x x
1°当t≤ 时，且x>0，有f(x)=etx[1+tx-e(1-t)x]≤e21+ -e2
2 2
 ，
x x
由(Ⅰ)知1+x-ex<0，也有1+ -e2<0，
2
故f(x)<0，函数f(x)在(0,+∞)内单减. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
1 1 t 1 t
2°当 <t<1时，0<1-t< ，且 >1，即 ln >0，
2 2 1-t 1-t 1-t
令h(x)=1+tx-e(1-t)x，h(0)=0，
t
h(x)=t-(1-t)e(1-t)x=(1-t)  -e(1-t)x
1-t
 ，
1 t 1 t
当0<x< ln ，h(x)>0，h(x)在0, ln
1-t 1-t 1-t 1-t
 内单增，
1 t
h(x)>h(0)=0，此时f(x)>0，f(x)在0, ln
1-t 1-t
 内单增，
f(x)>f(0)=0，与题设矛盾. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分
1
综上，当且仅当t≤ 时，函数f(x)是(0,+∞)内的减函数.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
2
1
(注：不能说明当t> 时命题不成立，最多得9分)
2
理科答案 第6页 共7页22.(1)由于

x=2- 3t ，消t得2- 3y=x，
y=t
即x+ 3y-2=0， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
由ρ⋅sin2θ=6cosθ得ρ2⋅sin2θ=6ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程是：y2=6x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
3
(2)将直线l:   x=2- 3t 化为标准形式   x=2- 2 t (t为参数)， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
y=t 1
y= t
2
1 代入y2=6x， t
2
 2 3 =62- t
2
 并化简得t2+12 3t-48=0， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
Δ=624>0，设A，B对应参数为t，t，tt=-48<0，t+t=-12 3,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
1 2 1 2 1 2
所以AM  +BM  =t 1  +t 2  =t 1 -t 2  = (t+t)2-4tt =4 39 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分 1 2 1 2
理科答案 第7页 共7页