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2023 年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷
数学（三）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项
中，只有一个选项是符合题目要求的．
.
1 已知集合 ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式求出集合A可得 ，从而可求解.
【详解】∵ ， ，
∴ .
∴ .
故选:B.
2. 若复数z满足 ，其中i是虚数单位，则z的共轭复数 （ ）
A. 3－i B. 3＋i C. 1＋3i D. 1－3i
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数运算法则进行化简计算，进而求出z的共轭复数.
【详解】 ，故 .
故选：A
3. 已知角 满足 ，则 （ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】利用二倍角的余弦公式求解.
【详解】解：因为角 满足 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
故选：C
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学科网（北京）股份有限公司4. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以
表示为 ，其中Q表示鲑鱼的耗氧量．则鲑鱼以0.5m/s的速度游动时的耗氧
量与静止时的耗氧量的比值为（ ）
A. 3 B. 27 C. 300 D. 2700
【答案】A
【解析】
【分析】根据题中函数关系式，令 和 ，分别求出对应的 ，即可得出结果.
【详解】因为鲑鱼的游速(单位： )可以表示为 ，其中Q表示鲑鱼的耗氧
量的单位数，
当一条鲑鱼静止时， ，此时 ，则 ，耗氧量为 ；
当一条鲑鱼以 的速度游动时， ，此时 ，
所以 ，则 ，即耗氧量为 ，
因此鲑鱼以0.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为 .
故选：A.
5. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰
直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为 ，则该圆锥的体积为（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题中定义，结合圆锥的侧面积和体积公式进行求解即可.
【详解】设直角圆角的底面半径为 ，母线为 ，高为 ，
因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，
所以有 ，
因为直角圆锥的侧面积为 ，
所以有 ，即 ，
因此 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以该直角圆锥的体积为 ，
故选：D
6. 甲、乙两人进行五局三胜制的乒乓球单打比赛，每局甲获胜的概率为 ．已知在第一局
和第二局比赛中甲均获胜，则继续比赛下去，甲最终赢得比赛的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出甲第三局获胜的概率、第三局输第四局获胜的概率与第三局和第四局输
第五局获胜的概率，相加即可.
【详解】甲第三局获胜的概率为 ，第三局输第四局获胜的概率为 ，
第三局和第四局输第五局获胜的概率为 ，
所以甲最终赢得比赛的概率为 .
故选:C.
7. 如果圆 上恰有两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出到原点距离为 的所有点的轨迹，此轨迹表示的曲线与圆
有两个交点即可.
【详解】平面内到原点距离为 的所有点的轨迹方程为 ,
设圆 的圆心为 ，则圆 上恰有两个点到原
点的距离为1,
等价于圆 与圆 相交，即 ， .
故选：D.
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学科网（北京）股份有限公司8. 已知椭圆 的上顶点为A，离心率为e，若在C上存在点P，使
得 ，则 的最小值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【 分 析 】 易 知 ， 设 ， 根 据 ， 可 得 方 程
在 区 间 上 有 解 ，
， 由 ， ， 可 得
，求解即可.
【详解】易知 ，设 ，则 .
所以 ，
即 ，
即方程 在区间 上有解.
令 ，
因 ，
为
，
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学科网（北京）股份有限公司所以只需 ，即 ，解得 ，
故 的最小值是 .
故选:C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2
分．
9. 某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有3000名同学，
每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所
示，其中参加舞蹈社团的同学有75名，参加合唱社团的有90名，则下列说法正确的是（
）
A. 这五个社团的总人数为300名
B. 合唱社团的人数占五个社团总人数的30%
C. 这五个社团总人数占该校学生人数的10%
D. 从这五个社团中任选一人，其来自太极拳社团或舞蹈社团的概率为0.35
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据条件可得计算出五个社团的总人数可判断AC，进而可得合唱社团的人数占
五个社团总人数百分比可判断B，计算出太极拳社团或舞蹈社团的人数，进而可判断D.
【详解】由于参加舞蹈社团的同学有75名，该社团人数占比为 ，
故社团总人数为 人，故A正确；
因为参加合唱社团 有90名，合唱社团的人数占五个社团总人数的 ，故B正
的
确；
这五个社团总人数占该校学生人数的 ，故C正确；
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学科网（北京）股份有限公司由题可得参加朗诵，脱口秀社团的学生人数为 ，
故太极拳社团或舞蹈社团的人数为 ，
所以从这五个社团中任选一人，其来自太极拳社团或舞蹈社团的概率 ，故D错
误.
故选：ABC.
10. 已知函数 的最小正周期为 ，则下列结论正确
的是（ ）
A.
B. 函数 在区间 上是增函数
C. 函数 的图像关于点 对称
D. 函数 的图像可由函数 的图像向左平移 个单位得到
【答案】BD
【解析】
【分析】先化简 ，再对四个选项一一验证：
对于A：利用周期公式直接求解；对于B：直接判断 在 上的单调性；
对于C：直接验证出点 为对称中心；对于D：利用平移公式直接求解.
【详解】函数 .
对于A：因为函数 的最小正周期为 ，所以 ，又 ，所以 .故A错
误；
所以 .
对于B：当 ，所以 .
因为 在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 上单调递增.故B正确；
对于C：要求 的对称中心，只需 ，解得：
.
所以 的对称中心为 .
令 ，解得： .
故 不是 的对称中心.故C错误；
对于D：函数 的图像向左平移 个单位得到
.故D正确.
故选：BD
11. 对于实数x，符号 表示不超过x的最大整数，例如 ， ．定义函
数 ，则（ ）
A. 函数 的最大值为1
B. 函数 的最小值为0
C.
D. 时，方程 有5个不同实数根
【答案】BD
【解析】
【分析】化简函数，利用数形结合法求解.
【详解】解： ，其图象如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司所以函数 的无最大值，故A错误；
函数 的最小值为0，故B正确；
，故C错误；
由图象知： 时，方程 有5个不同实数根，故D正确；
故选：BD
12. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 当m＞0时，函数 的图象在点 处的切线的斜率为
B. 当m＝l时，函数 在 上单调递减
C. 当m＝l时，函数 的最小值为1
D. 若 对 恒成立，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】A. 由m＞0直接求导求解判断；B. 由m＝l，利用导数法求解判断；C. 由m＝l，
利用导数法求解判断；D. 将 对 恒成立，转化为
对 恒成立，利用 的单调
性转化为 对 恒成立求解判断.
【详解】解： ，
当 时， ，则 ，故A正确；
当m＝l时， ，令 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 上递增，又 ，即 在 上成
立，
所以 在 上递减，故B正确；
当m＝l时， ，令 ，则 ，
所以 在 上递增，又 ， ，
所以存在 ，有 ，即 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，故C错误；
若 对 恒成立，
则 对 恒成立，
设 ，则 ，所以 在 上递增，
则 对 恒成立，即 对 恒成立，
设 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
所以 ，则 ，解得 ，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的展开式中的常数项为______．（用数字作答）
【答案】84
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式求解.
【详解】解：因为 的展开式的通项公式为：
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学科网（北京）股份有限公司，
令 ，解得 ，
所以 的展开式中的常数项为 ，
故答案为：84
14. 已知向量 ， ，若 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的坐标运算表达出 的坐标，从而可得 ，再求向量的模
即可得出答案.
【详解】 向量 ， ，
，
又 ，
， ， ，
故答案为： .
15. 若函数 在 上存在单调递减区间，则m的取值范围是
______．
【答案】
【解析】
【分析】先对 求导，将问题转化为 在 上有解，即 在
上有解，利用换元法与基本不等式求出 的最大值即可得解.
【详解】因为 ，
所以 ，
则原向题等价于 在 上有解，即 在 上有
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学科网（北京）股份有限公司解，即 在 上有解，
令 ，则 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 ，
所以 ，则 ，
所以 ，即 .
故答案为： .
16. 如图，直三棱柱 中， ⊥ ， ， ，点P在棱
上，且 ，当 的面积取最小值时，三棱锥 的外接球的表面积为
______．
【答案】
【解析】
【分析】先设出BP=x， ，利用 求出 ，结合基本不等式
求出 时， 面积取得最小值，补形后三棱锥 的外接球即
该长方体 的外接球，求出外接球半径和表面积.
【详解】由勾股定理得： ，
设BP=x， ，则 ， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司由 得： ，解得： ，
因为 ，故
由基本不等式得： ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
将三棱锥 补形为长方体 ，则三棱锥 的外接球即该长方体 的外接
球，
其中长方体 的外接球的直径为 ，
故半径为 ，故三棱锥 的外接球的表面积为 .
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
17. 已知公差不为零的等差数列 满足 ， ， 成等比数列， ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 的前n项和为 ，求使 成立的最小正整数n．
【答案】（1）
（2）12
【解析】
【分析】（1）设 的公差为 ，利用等差数列通项公式可构造方程组求得
，由此可得 ；
（2）由等差数列求和公式可求得 ，由 可构造不等式组求得 的范围，由此可得
结果.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司设等差数列 的公差为 ，
由 得： ，解得： ，
.
【小问2详解】
由（1）得： ，
若 ， ，即 ，
解得： 或 ；
成立的最小正整数 .
18. 已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
（1）求C；
（2）若点D在CB的延长线上，CB＝BD，AD＝l，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理得到 ，结合 ，求出 ；
（2）设 ，则 ，由正弦定理得到 ，从而
表达出 .
【小问1详解】
，由正弦定理得： ，
因为 ，所以 ，
故 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，
故 ，
因为 ，所以 ，故
【小问2详解】
在 中， ，设 ，则 ，
由正弦定理得： ，
即 ，
解得： ，
故 ，
因为 ，所以 ，
的取值范围是 .
19. 为进一步推动新能源汽车产业健康有序发展，财政部、工业和信息化部、科技部、发
展改革委联合发布了《财政部、工业和信息化部、科技部、发展改革委关于2022年新能源
汽车推广应用财政补贴政策的通知》，进一步明确了2022年新能源汽车推广应用财政补贴
政策的有关要求．为了解消费者对新能源汽车的购买意愿与财政补贴幅度的关系，随机选
取400人进行调查，整理数据后获得如下统计表：
愿意购买新能源汽车 不愿意购买新能源汽车
购买时补贴大于1.5万 150 50
购买时补贴不大于1.5万 120 80
（1）能否有99%的把握认为新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关？
（2）若从购买时补贴大于l.5万的样本中用分层随机抽样的方法抽取8人，从这8人中随
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学科网（北京）股份有限公司机抽取3人调查购买意愿，记X表示这3人中愿意购买新能源汽车的人数，求X的分布列
与数学期望．
附：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
.
2.706 3.841 5.024 6.635 10828
【答案】（1）有99%的把握认为新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关
（2）
【解析】
【分析】（1）列出 列联表，根据列联表中的数据求出 ，对照附表可得.
(2)先求出抽样比，然后再求出意购买新能源汽车的人中抽取的人数和不愿意购买新能源汽
车的人中抽取的人数,根据题意求出 的取值，算出每个取值的概率.
【小问1详解】
列联表如下：
愿意购买新能源汽车 不愿意购买新能源汽车 合计
购买时补贴大于1.5万 150 50 200
购买时补贴不大于1.5万 120 80 200
合计 270 130 400
可得
所以有99%的把握认为新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关.
【小问2详解】
依题意，分层随机抽样的抽样比为 ，则
所以在愿意购买新能源汽车的人中抽取 人，在不愿意购买新能源汽车的人中抽取 人；
的所有可能取值有 则
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学科网（北京）股份有限公司所以 的分布列为：
故
所以 的数学期望为 .
20. 如图，在四棱锥 中，底面四边形 是平行四边形， 平面
， 且 ， 的中点为 ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明 ，即可证明
（2）分别求出面 和面 的法向量即可求出二面角 的余弦值.
【小问1详解】
由题意证明如下
在平行四边形 中， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴
在四棱锥 中， 平面 ，
∵
∴
∵ ， ，
∴
∵
∴
【小问2详解】
由题意及（1）得， 平面 ， 的中点为
在平行四边形 中， ， ，
建立空间直角坐标系如下图所示
由几何知识得
， ， ， ， ，
在面 中，其一个法向量为
在面 中， ，
设其一个法向量为
∴ 即 ，解得：
当 时， ，
二面角 的余弦值为：
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学科网（北京）股份有限公司21. 已知抛物线 的焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与抛物线C
交于M，N两点， （O为坐标原点）的面积为 ．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点P（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点，x轴上是否存在点Q，使得直线
AQ的斜率 与直线BQ的斜率 满足 ，若存在，求出点Q坐标；若不存
在，说明理由．
【答案】（1）
（2）Q（-2，0）
【解析】
【分析】（1）由题意不妨设 ，然后由 求解；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 ，直接验证；当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为 ，与抛物线方程联立，结合韦达定理由 求解.
【小问1详解】
解：由题意，不妨设 ,
则 ，解得 ，
所以抛物线的方程为： ；
【小问2详解】
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 ，则 ，
设 ，则 ，（ ），满足 ，存在；
当当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ， ，
与抛物线方程联立消去y得 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
则 ，
即 ，解得 ，
所以在x轴上存在点Q（-2，0），使得直线AQ的斜率 与直线BQ的斜率 满足
.
22. 已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若存在 使 ，证明： ．
【答案】（1） 的单调增区间为 ，减区间为 .
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）对 求导，令 和 ，即可求出函数 的单调区间；
（2）由题意分析要证 ，对不等式两边同时取对数换元可知即证
，对 求导，得到 的单调性即可证明.
【小问1详解】
的定义域为 ，
，令 ，解得： .
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
所以 的单调增区间为 ，减区间为 .
【小问2详解】
若存在 使 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
两式相减可得： ，得 ，
两式相加可得： ，得
所以 ，则 ，
欲证 ，两边同时取对数，即证 ，
即证 ，即
而 ，，因为 ，令 ，
即证 ，
设 ，
故 在 上单调递增，所以 ，
故 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，所以 .
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学科网（北京）股份有限公司
