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河北区 2023—2024 学年度高三年级总复习质量检测（一）
数学本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用120分钟.
第I卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页.
第I卷（选择题共45分）
注意事项：
1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名､准考号､科目涂写在答题卡上，并在指定位置粘贴考试
用条形码.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.
3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.
参考公式：
如果事件 互斥，那么
如果事件 相互独立，那么
球的表面积公式
球的体积公式
其中 表示球的半径
一､选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.设 ，则“ ”是“函数 在 上单调递增”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知甲乙两组数据分别为 和 ，则下列说法中不正确的是
A.甲组数据中第70百分位数为23 B.甲乙两组数据的极差相同
C.乙组数据的中位数为25.5 D.甲乙两组数据的方差相同
4.函数 的导数为 ，则 的部分图象大致是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
5.若 ，则 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
6.一个体积为 的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的
体积为（ ）
A.18 B.27 C.36 D.54
7.关于函数 有下述四个结论：
① 是偶函数；
② 在区间 上单调；
③ 的最大值为 ，最小值为 ，则 ；
④ 最小正周期是 .
其中正确的结论有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.过双曲线 的右焦点 作渐近线 的垂线 ，垂足为 交另一条渐近
线于点 ，且点 在点 之间，若 ，则双曲线 的渐近线方程为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
9.如图，点 在以 为直径的圆 上， ，过 作圆 经过点 的切线的垂线，垂足为 ，则
的最大值为（ ）
A.2 B.1 C.0 D.-1
第II卷
注意事项：
1.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
2.用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上.
3.本卷共11小题，共105分.
二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上）
10. 是虚数单位，复数 满足 ，则 __________.
11.若 的展开式中常数项为 ，则 __________.
12.直线 将圆 分成两段圆弧，则较短圆弧与较长圆弧的弧长之比为
__________.
13.已知某地区烟民的肺癌发病率为 ，先用低剂量药物 进行肺癌䈐查，检查结果分阳性和阴性，阳性
被认为是患病，阴性被认为是无病.医学研究表明，化验结果是存在错误的，化验的准确率为 ，即患
有肺癌的人其化验结果 呈阳性，而没有患肺癌的人其化验结果 呈阴性.则该地区烟民没有患肺癌
且被检测出阳性的概率为__________；现某烟民的检验结果为阳性，请问他患肺癌的概率为__________.
14.已知 ，则 的最小值为__________.
学科网（北京）股份有限公司15.函数 若函数 恰有两个不同的笭点，则实数
的取值范围为__________.
三､解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分14分）
在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求角 ；
（2）若 ，求 的值；
（3）若 为 的中点，且 ，求 的面积.
17.（本小题满分15分）
如图，三棱台 中， ，侧棱 平面
，点 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离：
（3）求平面 和平面 夹角的余弦值.
18.（本小题满分15分）
设椭圆 的离心率等于 ，拋物线 的焦点 是椭圆 的一个顶点，
分别是椭圆的左右顶点.
（1）求椭圆 的方程；
学科网（北京）股份有限公司（2）动点 为椭圆上异于 的两点，设直线 的斜率分别为 ，且 ，求证：直线
经过定点.
19.（本小题满分15分）
已知 是等差数列，其公差 大于1，其前 项和为 是等比数列，公比为 ，已知
.
（1）求 和 的通项公式；
（2）若正整数 满足 ，求证： 不能成等差数列；
（3）记 ，求 的前 项和 .
20.（本小题满分16分）
已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）证明： ；
（3）若 ，且 ，求证：
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数学答案
一､选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 D A A C D D C B B
二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
10. ； 11.-40； 12. ；
13. ； 14.18； 15. 或 .
三､解答题：本大题共5小题，共75分.
16.（本小题满分14分）
解：（1） ，由正弦定理，得
，
.
学科网（北京）股份有限公司（2） ，
，
.
（3） 中，由余弦定理，得 ，
，
中，由余弦定理，得 ，
，
联立 得 ，
代入 ，解得 .
的面积 .
17.（本小题满分15分）
证明：（1） 平面 ，以 为原点，分别以 ､
的方向为 轴， 轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
，点 是 的中点，
学科网（北京）股份有限公司，
，
则 .
设平面 的法向量为 ，则有
不妨令 ，得 ，
.
平面 .
（2） ，
设平面 的法向量为 ，则有
不妨令 ，得 ，
.
则 ，
点 到平面 的距离为 .
（3）设平面 与平面 的夹角为 ，
平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，
，
学科网（北京）股份有限公司平面 和平面 夹角的余弦值等于 .
18.（本小题满分15分）
解：（1） 的焦点 的坐标 ，由 ， ，
，得 ，
椭圆的方程为 .
（2） ，
由题意可知，直线 的斜率存在，且不为0，设直线 的斜率 ，
直线 的方程为 ，
联立 消去 ，
得 .
直线 过点 ，
.
代入 ，得 ，
.
同理：直线 的方程为 ，
联立 消去 ，
学科网（北京）股份有限公司得 .
直线 过点 ，
.
代入 ，得 ，
.
若 ，即
直线 的斜率
，
直线 的方程为 ，
令 ，解得 ，
直线 过定点 .
若 ，此时 ，直线 也过点 .
直线 过定点 .
19.（本小题满分15分）
解：（1）
学科网（北京）股份有限公司由题意 .
联立 即
代入整理， ，
.
.
（2） ，
若 成等差数列，
则有 ，即 ，
等式的左右两边同时除以 ，
可得 ，
，
为偶数， 为偶数，而1是奇数，
等式不成立，
不能成等差数列.
（3） ，
，
，
，
学科网（北京）股份有限公司，
.
（20）（本小题满分15分）
解：（1） ，
，
令 ，
解得 .
，
当 变化时， 的变化情况如下表：
+ 0 -
极大值
当 时， 有极大值，也就是最大值，
而 ，
在 上恒成立，
在 上单调递减.
（2）要证 ，
只要证 .
学科网（北京）股份有限公司，
令 ，
，
解得： .
，当 变化时， 的变化情况如下表：
1
+ 0 -
极大值
当 时， 有极大值，也就是最大值.
而 ，
当 时， .
令 ，
，
当 时， 恒成立，
在 上单调递增，
而 ，
当 时， ，
.
（3）已知 ，且 ，
.
学科网（北京）股份有限公司由（1）可知，函数 在 上单调递减，
.
由（2）可知，当 时， ，即 ，
即 ，
，
.
学科网（北京）股份有限公司
