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荆州中学 2024 届高三数学十月半月考
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求．）
1．已知复数 （ 为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
2．设 为两条直线， 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
3．函数 的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
4．等比数列 的各项均为实数，其前 项和为 ，已知 ，则 （ ）
A．4 B．16 C．32 D．64
5．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，其中奇数不相邻，且2不在第二位，则这样的六位数
个数为（ ）
A．120种 B．108种 C．96种 D．72种
6．已知 ，设 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．若曲线 与曲线 有公切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知 为坐标原点， 是椭圆 上位于 上方的点， 为右焦点．延长
交椭圆 于 两点， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
学科网（北京）股份有限公司题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．）
9．设随机变量 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 服从正态分布 B．
C． D．当且仅当 时， 取最大值
10．如图所示，该曲线 是由4个圆： 的
一部分所构成，则下列叙述正确的是（ ）
A．曲线 围成的封闭图形面积为
B．若圆 与曲线 有8个交点，则
C． 与 的公切线方程为
D．曲线 上的点到直线 的距离的最小值为4
11．如图，正方体 棱长为1， 是 上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）
A． 的最小值为 B．当 在 上运动时，都有
学科网（北京）股份有限公司C．当 在直线 上运动时，三棱锥 的体积不变 D． 的最小值为
12．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，圆 上任意一点 处的切
线 交双曲线 于 两点，则（ ）
A． B．满足 的直线 仅有2条
C．满足 的直线 仅有4条 D． 为定值2
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．设 为两个不共线向量，若向量 与 共线，则实数 __________．
14．以模型 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 ，其变换后得到线性回归方程
，则 __________．
15．设 ，函数 若函数 恰有3个零点，则实数 的取值范围为
__________．
16．设函数 的定义域为 ，对于任意的 ，当 ，有
，若 ，则不等式 的解集为__________．
四、解答题（本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知函数 ．
（1）求 的值；
（2）在 中，若 ，求 的最大值．
18．（12分）如图，三棱柱 的所有棱长都是2， 平面 分别是 的中
点．
学科网（北京）股份有限公司（1）求证：平面 ⊥平面 ；
（2）求 和平面 所成角的正弦值．
19．（12分）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．
“三角垛的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列 ．
（1）写出 与 的递推关系，并求数列 的通项公式；
（2）记数列 的前 项和为 ，且 ，在 与 之间插入 个数，若这 个数恰能组
成一个公差为 的等差数列，求数列 的前 项和 ．
20．（12分）已知函数 ．
（1）若 ，求 的极值；
（2）若对任意 恒成立，求整数 的最小值．
21．（12分）某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮
给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正
确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．
（1）已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
（2）已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论
答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第 次回答
的是甲的概率为 ，若 ．
学科网（北京）股份有限公司①求 ；②正明：数列 为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的
大小．
22．（12分）已知抛物线 ，过点 作斜率互为相反数的直线 ，分别交抛物线 于
及 两点．
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）求证： ．
荆州中学 2024 届高三数学十月半月考参考答案
1-4．C D A D 5-8．B C A B 9．BC 10．ACD 11．ABC 12．AD
13．2.5 14． 15． 16． 17．（1）1 （2）
【详解】（1）
，
5分
（2）由题意可知， ，
而 可得： ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司，
，
的最大值为 10分
18．（1）证明见解析 （2）
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，则 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，则 两两垂直， 2分
如图，以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，可得
，设
分别为平面 和平面 的法向量，
由 ，令 ，则 ，
可得 是平面 的一个法向量， 4分
由 ，令 ，则 ，
可得 是平面 的一个法向量， 6分
学科网（北京）股份有限公司因为 ，即 ，所以平面 平面 ． 7分
（2）由（1）可得： 是平面 的一个法向量，
设 和平面 所成角为 ，
则 ，
所以 和平面 所成角的正弦值为 ． 12分
19．（1）
（2）
【详解】（1）由题意可知， ，
，
所以数列 的一个递推关系为 ， 2分
所以当 时，利用累加法可得
，
将 代入得 ，符合 ， 5分
所以数列 的通项公式为 ． 6分
（2）当 时， ，即 ，
当 时， ，①
学科网（北京）股份有限公司，②
，得 ，即 ， 8分
所以数列 是以3为首项，3为公比等比数列，
所以 ，
由题意可知 ，所以 ，
所以 ， 9分
所以 ，③
，④
得 ，
11分
所以 ，
所以数列 的前 项和 ． 12分
20．（1）极大值为 ，无极小值 （2）1
【详解】（1）当 时， ，
．
当 时， ，则 在 上单调递增；
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，则 在 上单调递减．
所以 在 时取得极大值且极大值为 ，无极小值； 5分
（2）因为对任意 恒成立，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
设 ，则 ．
设 ，
显然 在 上单调递减，
因为 ，
所以 ，使得 ，即 ， 8分
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ， 10分
因为 ，所以 ，
故整数 的最小值为1． 12分
21．（1）设该选手答对的题目个数为 ，该选手在第一轮的得分为 ，则 ，易知 的所有可能取值
为0，1，2，
学科网（北京）股份有限公司则 ，故 的分布列为
0 1 2
则 ，所以 ． 4分
（2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答， ，则 ．
②由第 次回答的是甲的概率为 ，得当 时，第 次回答的是甲的概率为 ，第 次回答的不
是甲的概率为 ，则 ．
即 ，又 是以 为首项， 为公比的等比数列，则
，
∴第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大． 12分
22．（1）
（2）证明见解析
【详解】（1）设 ，
．
又 ，即 ，
又 或 ，
当 时， ；
当 时， ，此时直线 的斜率不存在，舍去，
，∴直线 的方程为： ． 4分
学科网（北京）股份有限公司（2）设直线 ，则直线 ，
设 ，
由 ，即 ，则 ，所以 ，
又 ，
同理可证： ，
，
又 ． 12分
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