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2023~2024 学年第二学期高三阶段性调研测试
数学
2024.02
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的
1.已知复数 满足 ，则 （ ）
A. B.-1 C.1 D.
2.已知全集 ，集合 满足 ，则下列关系一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4.有5张相同的卡片，分别标有数字 ，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片， 表示事件
“第一次取出的卡片上的数字为2”， 表示事件“第一次取出的卡片上的数字为奇数”， 表示事件“两
次取出的卡片上的数字之和为6”， 表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为 ”，则（ ）
A. 与 为对立事件 B. 与 为相互独立事件
C. 与 为相互独立事件 D. 与 为互斥事件
5.夹弹珠游戏是儿童特别喜欢的游戏，夹弹珠能有效提高参与者的注意力与协调性，调整逻辑思维判断和空
间控制平衡能力，锻炼小肌肉，增强手眼协调，培养敏捷的反应能力，从而提高参与者的适应能力.如图，三
个半径都是 的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器（不计厚度）中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上
沿处于同一水平面，则这个容器的表面积（包括容器的内部和外部两部分）是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
6.设数列 满足 ，且 ，则
（ ）
A.1 B. C.10 D.100
7.已知函数 的定义域为 ，对任意 ，有 ，则“ ”是“
”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分又不必要条件 D.充要条件
8.离心率为2的双曲线 与抛物线 有相同的焦点 ，过 的
直线与 的右支相交于 两点.过 上的一点 作其准线 的垂线，垂足为 ，若 （ 为
坐标原点），且 的面积为 .则 （ 为 的左焦点）内切圆圆心的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知圆 ，圆 分别是圆 与圆 上的动点，则（
）
A.若圆 与圆 无公共点，则
B.当 时，两圆公共弦所在直线方程为
C.当 时， 的取值范围为
D.当 时，过 点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则 不可能等于
10.设 是一个随机试验中的两个事件，且 ，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
11.已知正四面体 的棱长为3，下列说法正确的是（ ）
A.平面 与平面 夹角的余弦值为
B.若点 满足 ，则 的最小值为
.在正四面体 内部有一个可任意转动的正四面体，则它的体积可能为
D.点 在 内，且 ，则点 轨迹的长度为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中 的系数为__________（用数字作答）
13.某市统计高中学生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格.
现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值 经计算 ，
.若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布 ，则估计该市高中生身体
素质的合格率为__________.（用百分数作答，精确到 ）
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
.
14.在 中，角 所对的边分别为 ，若 分别在边 和
上，且 把 的面积分成相等的两部分，则 的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）某设备由相互独立的甲､乙两个部件组成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若有且
学科网（北京）股份有限公司只有一个部件出现故障，则设备出现异常.在一个生产周期内，甲部件出现故障的概率为 ，乙部件出现故障
的概率为 .甲部件出现故障，检修费用为3千元；乙部件出现故障，检修费用为2千元，在一个生产周期内，
甲､乙两个部件至多各出现一次故障.
（1）试估算一个生产周期内的平均检修费用；
（2）求在设备出现异常的情况下，甲部件出现故障的概率.
16.（15分）已知等差数列 和等差数列 的前 项和分别为 .
（1）求数列 和数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
17.（15分）在五棱锥 中， ，
，平面 平面 .
（1）求证： ；
（2）若 ，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
18.（17分）已知椭圆 的离心率为 分别为椭圆 的左，右顶点和坐标原
点，点 为椭圆 上异于 的一动点， 面积的最大值为 .
（1）求 的方程；
（2）过椭圆 的右焦点 的直线 与 交于 两点，记 的面积为 ，过线段 的中点 作直
学科网（北京）股份有限公司线 的垂线，垂足为 ，设直线 的斜率分别为 .
①求 的取值范围；
②求证： 为定值.
19.（17分）若 时，函数 取得极大值或极小值，则称 为函数 的极值点.已知
函数 ，其中 为正实数.
（1）若函数 有极值点，求 的取值范围；
（2）当 和 的几何平均数为 ，算术平均数为 .
①判断 与 和 的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；
②当 时，证明： .
2023~2024 学年第二学期高三阶段性调研测试数学
2024.02
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的
1.【答案】C
【解析】 ，选C.
2.【答案】C
【解析】 ，则 ，选C.
3.【答案】A
学科网（北京）股份有限公司【解析】令 ，则 ，
，
选A.
4.【答案】B
【解析】 与 互斥但不对立， 错.
与 相互独立，B对.
与 不独立， 错.
与 可同时发生， 与 不互斥， 错，选 .
5.【答案】D
【解析】 在面 上的投影为 为大球球心， 为小球球心.
，大球半径为 ，
，
，选：D.
6.【答案】B
【解析】 ，
是以10为公比的等比数列，
学科网（北京）股份有限公司，选B.
7.【答案】A
【解析】 ，则 在R上 .
"是" "的充分不必要条件，选A.
8.【答案】D
【解析】 .
，
双曲线中 ，双曲线： .
内切圆圆心在 上，选 .
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】BC
【解析】圆 与圆 无公共点，则 或 或 ， 或
错.
学科网（北京）股份有限公司，公共弦： ，即 ，B对.
时两圆外离， ，即
C对.
若 ，则 ，即 ，
而 ，存在 满足 错.选 .
10.【答案】ACD
【解析】 ，对.
错.
对.
学科网（北京）股份有限公司，D对，
选ACD.
11.【答案】AB
【解析】如图建系，面 的一个法向量 ，面 的一个法向量 ，
设平面 与平面 夹角为 时， 对.
，则 共面，
正四面体棱长为3，则正方体棱长为 ，
，B对.
大正四面体内切球半径 ，小正四面体棱长为 ，此外接球半径 ，
.
分别在 上取 使 ，延长 至 使 ，
，取 的中点 在以 为球心，
为半径的球面上，且 在 内，作 在平面 上的射影 ，
为图中 ，
学科网（北京）股份有限公司显然不是一个完整的圆， 的轨迹长度不为 错.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】80
【解析】 可看作5个 相乘，有2个括号提供 ，还有3个括号都是
，系数80.
13.【答案】
【解析】 ，
，
.
14.【答案】
【解析】
，令 ，
，
学科网（北京）股份有限公司，当且仅当 即 时取“=”， .
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（1）一个周期内检修费用 的所有可能取值为
.
一个周期内的平均检修费用 元.
（2）记设备出现异常为事件 ，甲部件出现故障为事件
.
16.【解析】
（1） ，
.
（2）
.
17.【解析】
（1）证明：延长 交于点
学科网（北京）股份有限公司四边形 为矩形，
平面 平面 ，平面 平面
平面 平面 ，即 .
（2）如图建系，
设平面 的一个法向量 ，
.
18.【解析】
（1）由题意知 的方程为 .
（2）①设直线 方程为
学科网（北京）股份有限公司，
令 ，
的取值范围为 .
② ，
学科网（北京）股份有限公司为定值.
19.【解析】
（1） 在 上有变号零点，
即 在 上有变号零点.
①若 ，即 时，只需 矛盾，
②若 ，即 时，只需 故 的取值范围为 .
（2）① ，
先证右边， 证 ，令
证： ，令 ，
在 上
再证左边 证： ，令 证 令
在 上 ，证毕!
② 时， 关于 单调递减
学科网（北京）股份有限公司在 上 上 ，
证毕!
学科网（北京）股份有限公司
