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实验中学 2024 届高三第一次月考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数 （i是虚数单位）对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 的展开式中的常数项为（ ）
A. 15 B. 60 C. 80 D. 160
4. 在平面直角坐标系 中，点 在单位圆上，且点 在第一象限，横坐标是 ，将点 绕原点 顺
时针旋转 到 点，则点 的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. 在 中，“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世
代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： 描述累
计感染病例数 随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与 ，T近似满足 ．有学
者基于已有数据估计出 ．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需
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学科网（北京）股份有限公司要的时间约为 （ ）
A. 3.6天 B. 3.0天 C. 2.4天 D. 1.8天
7. 已知函数 （ 且 ），若 有最小值，则实数 的取值范围
是
A. B. C. D.
8. 已知函数 ，其中 是自然对数的底数，若 ，则实数 的取
值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知 ， 且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
10. 定义在R上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则（ ）
A. 是周期函数 B. 在（－1，1)上单调递减
C. 的图象关于直线 对称 D. 的图象关于点（2，0)对称
11. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，内角 的平分线交 于点
且 ，则下列结论正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. 的最小值是2
C. 的最小值是 D. 的面积最小值是
12. 设 表示不超过 的最大整数，给出以下命题，其中正确的是（ ）
.
A 若 ，则
B.
C. 若 ，则可由 解得 的范围是
D. 若 ，则函数 的值域为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
为
13. 已知命题 ，使得 ，则 ______________.
14. 函数 在 的单调递增区间是___________.
15. 已知函数 ,若实数 满足 ，且 ，则 的取值范围是
__________.
16. 实数 中值最大的是 _________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设数列 的前 项和为 ，已知 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
18. 在① ，② ，③ 这三
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学科网（北京）股份有限公司个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题.记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
的面积为S，已知______.
（1）求A；
（2）若 ， ，求a.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19. 如图，在直三棱柱 中， .
（1）证明： ；
（2）设 ，若二面角 的大小为 ，求 .
20. 年 月 日晩，中国女排在世锦赛小组赛第三轮比赛中，又一次以 的比分酣畅淋漓地战胜
了老对手日本女排，冲上了热搜榜第八位，令国人振奋！同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗？
其规则是：每场比赛采用“ 局 胜制”（即有一支球队先胜 局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积
分制，积分规则如下：比赛中，以 或 取胜的球队积 分，负队积 分；以 取胜的球队积 分，
负队积 分．已知甲、乙两队比赛，甲队每局获胜的概率为 ．
的
（1）如果甲、乙两队比赛 场，求甲队 积分 的概率分布列和数学期望；
（2）如果甲、乙两队约定比赛 场，求两队积分相等的概率．
21. 设 ， .
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学科网（北京）股份有限公司（1）若 ，求曲线 在 处的切线方程；
（2）已知 ， 在 处取得极小值.求实数 的取值范围.
22. 已知双曲线C的渐近线方程为 ，且过点 .
（1）求C的方程；
（2）设 ，直线 不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线 与C交于另一点D，
求证：直线 过定点.
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