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实验中学 2024 届高三第一次月考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
.
1 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别化简两个集合，求出交集即可.求解集合A时，注意限制条件.
【详解】
所以，
故选：C.
2. 在复平面内，复数 （i是虚数单位）对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】先将原式化简，再看实部和虚部的正负判断所在复平面的象限即可.
【详解】 ，在复平面内对应的点在第一象限.
故选：A.
3. 的展开式中的常数项为（ ）
A. 15 B. 60 C. 80 D. 160
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用二项式定理的通项公式进行求解.
【详解】由题知， 的展开式的通项为 ，
当 时， ，此时 ，
故 的展开式中的常数项为60，故A，C，D错误.
故选：B.
4. 在平面直角坐标系 中，点 在单位圆上，且点 在第一象限，横坐标是 ，将点 绕原点 顺
时针旋转 到 点，则点 的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设射线 对应的角为 ，利用任意角的三角函数的定义求得 、 ，再利用诱导公式求
得点 的横坐标为 的值．
【详解】解：点 ， 在单位圆上，且点 在第一象限，设射线 对应的角为 ，横坐标是 ，
故点 的纵坐标为 ，
将点 绕原点 顺时针旋转 到 点，则 射线对应的终边对应的角为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则点 的横坐标为 .
故选：C．
5. 在 中，“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦定理及充分必要条件的定义判断．
【详解】由正弦定理 ，所以 ，
故选：C．
6. 基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世
代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： 描述累
计感染病例数 随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与 ，T近似满足 ．有学
者基于已有数据估计出 ．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需
要的时间约为 （ ）
A. 3.6天 B. 3.0天 C. 2.4天 D. 1.8天
【答案】A
【解析】
【分析】由已知先确定系数 ,即可确定函数解析式，再利用解析式及提供数据即可求解累计感染病例数增
加3倍需要的时间
【详解】因为 ， ，且 ，则 ，于是得
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间为 ，则有
即 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司而 ，解得
所以在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为3.6天
故选：A．
7. 已知函数 （ 且 ），若 有最小值，则实数 的取值范围
是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】 有最小值
根据题意，可得其最小值为 ，
则
或
解得 或
则实数 的取值范围是
故选
8. 已知函数 ，其中 是自然对数的底数，若 ，则实数 的取
值范围是（ ）
A. B.
C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】观察可发现 为奇函数，所以将 变形为
，结合函数单调性解不等式即可
【详解】令 ， ，所以
为奇函数，不等式 ，等价于 ，即
，因为 为奇函数，所以 ，因为 均为减函数，根
据单调性的性质可知， 为减函数，则 ，解得：
故选：B
【点睛】题目比较灵活，考察单调性和奇偶性结合的问题，对学生要求比较高，不可直接计算，需要熟悉
类型的函数为奇函数，且单调递减，根据这两个性质引导学生对已知不等式进行变形，从而解决
问题
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知 ， 且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
【答案】BC
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用基本不等式直接判断A；利用基本不等式求得 的最大值可判断B；利用基本
不等式“1”的代换可判断C；利用二次函数的性质可判断D；
【详解】 ， 且 ， ，
对于A，利用基本不等式得 ，化简得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最大值为 ，故A错误；
对于B， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最大值为 ，故B正确；
对于C， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最小值为 ，故C正确；
对于D，
利用二次函数的性质知，当 时，函数单调递减；当 时，函数单调递增，
， ，故
D错误；
故选：BC
10. 定义在R上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则（ ）
A. 是周期函数 B. 在（－1，1)上单调递减
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学科网（北京）股份有限公司C. 的图象关于直线 对称 D. 的图象关于点（2，0)对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，利用周期的定义判断，对于B，根据题意求出 在 的解析式，然后判断，
对于C，利用函数的周期和奇函数的性质可得 ，从而可求得其对称轴，对于D，利用
函数的周期和奇函数的性质可得 ，从而可求得其对称中心
【详解】对于A，因为定义在R上的奇函数 满足 ，
所以 ， ，所以 ，
所以 是周期为4的周期函数，所以A正确，
对于B，当 时， ，则 ，
因为 为奇函数，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以当 时， 为减函数，且当 时， ，
当 时， 为减函数，且当 时， ，所以 在（－1，1)上不是单调递减，
所以B错误，
对于C，因为 是周期为4的周期函数，所以 ，
所以 ，即 ，所以 的图象关于直线 对称，所以C正
确，
对于D，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 的图象关于点 对称，即
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学科网（北京）股份有限公司的图象关于点（2，0)对称，所以D正确，
故答案为：ACD
11. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，内角 的平分线交 于点
且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的最小值是2
C. 的最小值是 D. 的面积最小值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】由三角形面积公式寻找 ， 关系，再利用基本不等式判断．
【详解】解：由题意得： ，
由角平分线以及面积公式得 ，
化简得 ，所以 ，故A正确；
，当且仅当 时取等号，
， ，
所以 ，当且仅当 时取等号，故D正确；
由余弦定理
所以 ，即 的最小值是 ，当且仅当 时取等号，故B正确；
对于选项 ：由 得： ，
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学科网（北京）股份有限公司，
当且仅当 ，即 时取等号，故C错误；
故选：ABD．
12. 设 表示不超过 的最大整数，给出以下命题，其中正确的是（ ）
A. 若 ，则
B.
C. 若 ，则可由 解得 的范围是
D. 若 ，则函数 的值域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据 的意义判断，即 时， ， ．
【
详解】由题意 时， ， ．
A．设 ，则 ，若 ，则 ，∴ ，即 ，A正确；
B．由 的定义， 时， ， ，
同理 时， ， 时， ， 时， ，
∴ ，B正确；
C． ， ，若 ，则 ， ， ， 满足题意，但
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学科网（北京）股份有限公司也满足题意，C错；
D． 定义域是 ，
则 ，即 ， 是奇函数；
设 ， ， ，则 ，
时， ， ，
时， ， ．
∴函数 的值域为 ，D正确．
故选：ABD．
【点睛】本题考查新定义函数，解题关键是理解新定义，用不等关系表示出函数的值，从而使问题得解．
旨在学生的创新意识，运算求解能力．逻辑推理能力．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知命题 ，使得 ，则 为______________.
【答案】 .
【解析】
【分析】根据特称命题的否定为全称命题求解即可.
【详解】解：因为 ，使得 ，
所以，
故答案为：
14. 函数 在 的单调递增区间是___________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ；（注： 也正确）
【解析】
【分析】根据降幂公式及辅助角公式对 化简，然后根据正弦型函数的单调区间即可得到结果.
【详解】因 函数
为
令
解得
且 ，令 ，则
即 的单调递增区间为
故答案为:
15. 已知函数 ,若实数 满足 ，且 ，则 的取值范围是
__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的运算性质把函数 的解析式写成分段函数的形式，并判断出单调性，结
合已知 、 可以确定实数 的取值范围以及它们之间的关系，根据这个关系可以把
代数式 写成关于 中一个变量的形式，再构造新函数，用单调性的定义判断出新函数的单调性，
最后利用新函数的单调性进行求解即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，
因为两段函数均为单调函数，实数 满足 ，且 ，
所以有 ；又 ，所以 ，于是 ，则 ，所以
；
令 ，任取 ，
则 ，
因为 ，所以 ， ，
因此 ，
所以函数 在 上单调递增；
因此 ，即 .
故答案为：
【点睛】本题考查了利用消元法、构造新函数法求代数式的取值范围问题，考查了对数的运算性质，考查
了对数函数的性质，考查了单调性定义的应用，考查了数学运算能力.
16. 实数 中值最大的是 _________.
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由指数函数幂函数的单调性可知这4个数的最大数在 与 之中，令 ，利用导数判
断出单调性可得 ，即 可得答案.
【详解】因为 ，由指数函数 是单调递增函数，所以 ，
幂函数 是单调递增函数，所以 ，
故这4个数的最大数在 与 之中，
令 ，所以 ，当 即 时，函数 单调递增；
当 ，即 时，函数 单调递减，故函数 的单调递增区间为 ，
单调递减区间为 ． 得 ，即 ．由 ，
得 ，所以 ；
这4个数中的最大数是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设数列 的前 项和为 ，已知 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用数列的前 项和 与 的关系求出数列的通项 ；
（2）求出 ，再利用裂项相消法求和.
【小问1详解】
解：当 时， .
又 满足上式.
所以数列 的通项公式为 .
【小问2详解】
解： .
设数列 的前 项和为 ，则
18. 在① ，② ，③ 这三
个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题.记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
的面积为S，已知______.
（1）求A；
（2）若 ， ，求a.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1） ；
（2） .
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）若选①，先用正弦定理进行边化角，进而结合辅助角公式求得答案；若选②，先通过诱导
公式和二倍角公式化简，进而通过辅助角公式求得答案；若选③，先通过诱导公式和二倍角公式化简，进
而求得答案；
（2）先通过三角形的面积公式求出c，进而根据余弦定理求得答案.
【小问1详解】
若选①，由正弦定理可得 ，因为 ，所以 ，则
，而 ，于是 .
若选②，由题意， ，则
，而 ，于是 .
若选③，由题意， ，因为 ，所以 ，则 .
【小问2详解】
由题意， ，由余弦定理 .
19. 如图，在直三棱柱 中， .
（1）证明： ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）设 ，若二面角 的大小为 ，求 .
【答案】（1）证明见解析.
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质和判定可得证；
（2）以 为正交基底建立空间直角坐标系 ，利用面面角的空间向量求解方法，建立
方程求解即可.
【小问1详解】
证明：在直三棱柱 中， 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 ，所以四边形 是正方形.连接 ，则 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
【小问2详解】
解：以 为正交基底建立空间直角坐标系 ，设 ，
则 ，
设 ，则
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学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ，
则 即 得 ，取 ，则平面 的一个法向量为
，
考虑向量 ，满足 所以 是平面 的一个法向量，
因为二面角 的大小为 ，
所以 ，解得 .
20. 年 月 日晩，中国女排在世锦赛小组赛第三轮比赛中，又一次以 的比分酣畅淋漓地战胜
了老对手日本女排，冲上了热搜榜第八位，令国人振奋！同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗？
其规则是：每场比赛采用“ 局 胜制”（即有一支球队先胜 局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积
分制，积分规则如下：比赛中，以 或 取胜的球队积 分，负队积 分；以 取胜的球队积 分，
负队积 分．已知甲、乙两队比赛，甲队每局获胜的概率为 ．
（1）如果甲、乙两队比赛 场，求甲队的积分 的概率分布列和数学期望；
（2）如果甲、乙两队约定比赛 场，求两队积分相等的概率．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）分布列答案见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）分析可知随机变量 的可能取值有 、 、 、 ，计算出随机变量 在不同取值下的概
率，可得出随机变量 的分布列，进一步可求得 的值；
（2）设第 场甲、乙两队积分分别为 、 ，分析可得 ，利用独立事件和互斥事件的概率公
式可求得所求事件的概率.
【小问1详解】
解：随机变量 的所有可能取值为 、 、 、 ，
， ，
， ，
所以 的分布列为
所以数学期望 .
【小问2详解】
解：记“甲、乙两队比赛两场后，两队积分相等”为事件 ，
设第 场甲、乙两队积分分别为 、 ，则 ， 、 ，
因两队积分相等，所以 ，即 ，则 ，
所以
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学科网（北京）股份有限公司．
21. 设 ， .
（1）若 ，求曲线 在 处的切线方程；
（2）已知 ， 在 处取得极小值.求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义得到切线的斜率，结合点斜式得到方程；
（2）根据 的单调性，结合极小值的概念即可得到结果.
【小问1详解】
若 ， ， ， .
曲线 在 处的切线方程为 ，
即 ；
【小问2详解】
，由
令 ，则 ，
①当 时， 时， ，函数 单调递增；又 ，所以当 时，
， 单调递减.当 时， ， 单调递增. 在 处取得极小值，
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学科网（北京）股份有限公司符合题意.
②当 时， 时， ，函数 单调递增， 时， ，函数
单调递减.
（i）当 时， ，由②知 在 内单调递增，可得当 时， ，
时， ，所以 在(0，1)内单调递减，在 内单调递增， 在
处取得极小值，符合题意
（ii）当 时，即 时， 在(0，1)内单调递增，在 内单调递减，
所以当 时， ， 单调递减，不合题意
（iii）当 时，即 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 在 取得极大值，不合题意.
综上可知，实数 的取值范围为 .
22. 已知双曲线C的渐近线方程为 ，且过点 .
（1）求C的方程；
（2）设 ，直线 不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线 与C交于另一点D，
求证：直线 过定点.
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）见解析
【解析】
【分析】（1）可设双曲线的方程为 ，将点 代入求出 ，即可得解；
（2）可设直线 为 ， ，联立 ，消 ，利用韦
达定理求得 ，然后求出直线 的方程，整理分析即可得出结论.
【小问1详解】
解：因为双曲线C的渐近线方程为 ，
则可设双曲线的方程为 ，
将点 代入得 ，解得 ，
所以双曲线C的方程为 ；
【小问2详解】
解：显然直线 的斜率不为零，
设直线 为 ， ，
联立 ，消 整理得 ，
依题意得 且 ，即 且 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司直线 方程为 ，
的
令 ，
得
.
所以直线 过定点 .
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学科网（北京）股份有限公司
