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2023—2024 学年度上学期 9 月份开学考试
数学试卷
命题人：高三数学组
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题
1. 集合 ＝（ ）
A. B.
C. D.
2. 下述正确的是（ ）
A. 若 为第四象限角，则
B. 若 ，则
C. 若 的终边为第三象限平分线，则
D. “ ”是“ ”的充要条件
3. 已知函数 的部分图象如图所示，且 ，则 的值为
（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
4. 已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而
流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为
37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为 和 ，
在A处测得楼顶部M的仰角为 ，则鹳雀楼的高度约为（ ）
A. 74m B. 60m C. 52m D. 91m
6. 岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图 是番禺区某风景优美的公园
地图，其形状如一颗爱心．图 是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象
构成，则“心形”在 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
第2页/共7页
学科网（北京）股份有限公司7. 已知函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，若对任意 有 ，
，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
8. 记 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 设函数 ，则（ ）
A. 是偶函数
B. 是 的一个周期
C. 函数 存在无数个零点
D. 存在 ，使得
10. 已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若 为斜三角形，则
C. 若 ，则 是锐角三角形
D. 若 ，则 一定是等边三角形
11. 如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使
用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒 到水面的距离为 （单位：m）（
第3页/共7页
学科网（北京）股份有限公司在水下则 为负数）、 与时间 （单位：s）之间的关系是 ，则下列说法正确
的是（ ）
A. 筒车的半径为3m，旋转一周用时30s
B. 筒车的轴心 距离水面的高度为
.
C 时，盛水筒 处于向上运动状态
D. 盛水筒 出水后至少经过20s才可以达到最高点
12. 已知当 时， ，则（ ）
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
三．填空题
13. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形
就是勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧 的长度为 ，则该勒洛三角形的面积是________．
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学科网（北京）股份有限公司14. 已知函数 ， ，当 时，函数 取得最小值，则
__________.
15. 已知函数 在区间 上有且只有 2 个零点，则 ω 的取值范围是
_________.
16. 已知偶函数 的定义域为 ，函数 ，且
，若 在 上的图象与直线 恰有 个公共点，则 的
取值范围为__________.
四、解答题
17. 在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 的面积为S，已知
（1）求角A；
（2）若 ，求 的取值范围.
18. 已知 的内角 所对的边分别为 .
（1）求 ；
的
（2） 为 内一点， 延长线交 于点 ，___________，求 的面积.
为
请在下列两个条件中选择一个作 已知条件补充在横线上，并解决问题.
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学科网（北京）股份有限公司① 的三个顶点都在以 为圆心的圆上，且 ；
② 的三条边都与以 为圆心的圆相切，且 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.
19. 已知函数 .
（1）求 的单调递增区间；
（2）方程 在 上的两解分别为 ，求 的值.
20. 已知 ，曲线 在 处的切线方程为 .
（1）求 的值；
（2）求 在 上的最大值；
（3）当 时，判断 与 交点的个数.（只需写出结论，不要求证明）
21. 如图，C，D是两个小区所在地，C，D到一条公路AB的垂直距离分别为CA＝1km，DB＝2km，AB两
端之间的距离为6km．
（1）某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A，C的张角与P对B，D的张
角相等（即 ），试求 的值；
（2）环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C，D所张角最大，试求
的
QB 长度．
.
22 已知函数 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）若 ，证明：当 时 ；
（2）当 时， ，求a的取值范围．
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