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重庆市高三数学考试参考答案
1.A【解析】本题考查集合的交集，考查数学运算的核心素养.
由N={x|0a>c.
3 1 3 3
7.D【解2=析l】og本 33题3考<查 导=数lo的g3 几6何<意lo义g39及=直2线, 的=倾lo斜g4 角8，=考log查 18数=学lo运g2 算2与=逻2辑. 推理的核心素养.
则l的斜率为 3k²-4k.因为l的倾斜角小于135°，所以l的斜率小于一1或不小于0，则3k²-
4k'<-1) 或3k²-4k≥0,解得
=3 ²−4 ,
1 4
8.D【解析】本题考查椭圆的
定
∈
义
−
与
∞
性
0
质
∪
，考
31
查直
∪
观
3+
想
∞
象的
.
核心素养.
如图,连接F₁Q,由 得|PF₂|=4|F₂Q|，设|F₂Q|=t,
则|PF₂|=4t,|PF₁|=2a
- 4
t , 2| Q
=
F₁
2
|=
2 2a
- t
,
.由余弦定理得|QF₁|²=
|PF₁|²+|PQ|²-2|PF₁||PQ|cos∠F₁PQ,即(2a-t)²
整理得 则 2
= 2 −4 +
2 2 −4 5
5 −2 2 −4 ×5 × 4 , = 14 故 , | 1 2|
2 21 2 | 1 2| 21
2 2 2
9.B=CD4【 解−析】2 本−题4考 查=三角16函 数−的4图 象=及 7 其性 质 、=三 2 角 =恒等 2 变换=， 7 考. 查逻辑推理与数学运算的核心素
养.
因为 所以f(x)的最小正周期为2π.因为 =sin(-π)=0,所以f(x)
5 3 5
的图象 关 于=直sin线 +4 ,对称，f(x)的图象关于点 对 4 称=. sin 2 =−1, − 4
5 5
= 4 − 4 0 + − = sin +4 +sin − +
10. 4 AC=D 【2c解os析 .】本题考查统计中的极差、中位数、平均数、方差、百分位数，考查数据处理能力与推理
论证能力.
对于A选项，如果删去的不是最大值或最小值，那么极差不变，所以A正确.
对于B选项，删除前有6个数据，中位数是按从小到大的顺序排列后中间两个数的平均数，因为任何两
【高三数学·参考答案 第1页(共6页)】个数据都不相等，所以中位数不会等于6个数据中的任何一个，而删除后有5个数据，中位数是6个数据
中的某一个，所以B错误.
对于C选项，平均数不变意味着删去的数据刚好等于平均数，在方差公式中，分子不变，分母变小，所
以方差变大，所以C正确.
对于D选项，平均数不变意味着删去的数据刚好等于平均数，在按从小到大的顺序排列的6个数据中,因
为6×20%=1.2,5×20%=1,所以原数据的20%分位数是第2个数，新数据的 20%分位数是前2个数的平均
数，且该数值小于第2个数，所以D正确.
11.BC【解析】本题考查抽象函数与具体函数的奇偶性，考查逻辑推理与数学抽象的核心素养.
令x=y=0,得f(0)=0,令y=0,得f(x)=xf(0)=0,则f(-x)=f(x)=-f(x)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数.由
g(x+1)=(x+1)(x²+2x)=(x+1)[(x+1)²-1],得g(x)=x³-x,| 因为g(-x)=-g(x),所以g(x)是奇函数.
12.ACD【解析】本题考查立体几何初步中的体积、距离、二面角，考查空间想象能力与运算求解能力.
如图,取AB的中点G,连接CG,因为平面ABC⊥平面ABD,且平面
ABC∩平面ABD=AB,所以CG⊥平面ABD.取AD的中点E,连接
BE,因为AB=BD,所以BE⊥AD,则 因为
2 2
= − =2 2.
3 3 3
=3× 2 = 2 ,
所以 A正确.取 AE 的中点 F,连接 FG,CF,则FG ∥BE,所以
1 3 3 1
FG⊥A D −.因 为 =CG3 ⊥ × 平 2 面 ×A2B×D2,所 × 以 2 C2G= ⊥A6D,又CG∩FG=G,所以AD⊥平面CFG,则AD⊥CF,则(
为二面角B-AD-C的平面角，且 B错误,C正确.设
=
35 3 6
2 2
△ A BD+,△ AB=C的 2 外 ,∠ 心 分 别为K,M,则GK⊥ AB,又平面ABD⊥ ta 平 n∠ 面 A B C=,所 以 =GK4 ⊥ , 平面ABC.设三棱
锥D-ABC外接球的球心为O,则OK⊥平面ABD,OM⊥平面ABC,所以四边形OMGK为矩形,则(
故三棱锥D-ABC外接球的球心到平面ABD的距离为 D正确.
=
1 3 3
13. 4 =【3解 析=】2本.题考查双曲线的性质，考查数学运算的核心素养. 2 ,
依题2 意可得2c=6,2a=2,则c=3,a=1,所以该双曲线的虚轴长为
2 2
14.
【解析】本题考查投影向量与平面向量的基本定理，考查2直 观=想2象 的−核 心=素4养2
.
.
2
3在矩形ABCD中，因为向量 在向量 上的投影向量为 所以 又
1 1 1
所以 所以
3 , = +3 , = 2 +
1 1 1 1 1 2
15.y 2 ²= 1 -,2x 【 解 = 析】 本 − 题 考 查 = 圆 2 与 圆 − 的 6 位 , 置关系 、 − 直 = 线 2 与 + 圆 6 的 = 位 3.
置关系，考查直观想象与数学运算的核心素养.
设M(x，y)，点M到直线x=2的距离为d，如图，M只能在直线
x=2的左侧,则d=2-x,依题意可得|MO|+1=d,即 =(2-x)-1,
化简可得y²=1-2x, 故圆M的圆心的轨迹方程为y²2=1-2x2.
+
【解析】本题考查三角恒等变换与导数的应用，考查数学建模与数学运算的核心素养.
1− 5
16.设2tanθ=x,则
3
2 +
2 2
设函数 >1,tan2 − 则 tan = 1− − = 1− .
3 4 2 2 2
+ ' − +4 +1 − 5−2 + 5−2
= 1− 2 1), 【高 = 三数1学− · 2 参 2 考 = 答 − 案 第2页1− ( 共 2 2 6页)】 1).当 时,f'(x)>0;当. 时,f'(x)<0.
2 2
所以当 时,f(x)取得最大值,即 tan2θ-tanθ取得最大值,此时
1< < 5+2 > 5+2
2 tan2
= 5+2 tan =
2 2 1− 5
17.( 1 1 − )证 2明 =: 1 因 − 为 5+2 = 2 . 所以
1 1
所以EF∥B₁D ₁ , …1 =…2… …1 …, … 1 …=…22 分 1 , 1 = 1 =2,
因为B₁D₁⊄ 平面CEF,EF⊂平面CEF,所以B₁D₁∥平面CEF.
……………………………………………………………4分
(2)解：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系Dxyz，设AB=3，
则A(3,0,0)，C(0,3,0)，O( ， ,3)，E(0,2,3)，F(1,3,3)，………………5分
3 3
2 2 …………………………………………6分
设 平 =面C0E−F1的3法, 向 量=为1m1=(0x,y,z),则 …………………………………7分
⋅ =− +3 =0,
令x=3,得m=(3,-3,-1),…………………… … …⋅ ……=… +… …=…0…, ……………………………8分
⋅ −12 8
cos = | || | = 3 2 6 × 19 =− 114.
所以直线AO与平面CEF所成角的正弦值为 其平方为 ……………………10分
8 64 32
评分细则： 114, 114= 57.
【1】第(1)问中,未写“B₁D₁⊄ 平面CEF,EF⊂平面CEF”扣1分.
【2】第(2)问中，建系方式不唯一，平面CEF的法向量不唯一，如果建系的方式相同，那么只要所
求法向量与m=(3,-3,-1)共线即可.
18.解:(1)在△ABC中,A+B+C=π,因为A+B=11C,所以 …………………………………1分
=12,
则 …………………………………………………3分
2 3 1 6− 2
因为sin = sin 3所−以4 = 2 × 2 −2 = 4 .
4 3
由正弦co定s 理=得5. sin 则= 5, ……………………………………………………………6分
sin 12
(2) sin由 = sin , = (1) sin = 5 . 知 则
…………………………………………………………………………………… ………7分
= 12,
在=△2A D=E中6,，由余弦定理得 DE²=AE²+AD²-2AE·ADcosA. ……………………………………8分
代入数据，得 解得AD=4(AD=-1舍去),……………10分
2 3
所 以 △BD 7 E =的3+ 面 −积2 为3 × 2 ,
1 1 3 1
……………………………… 2 … …⋅ … …⋅s…in… −… 2 … … ⋅… … ⋅…si…n …=12 2 分 ×2× 4− 6− 2
4 3−3 2+ 6
=评分细则 4 ： .
【1】第(1)问中，若BC最后的结果计算错误，但得到 只扣1分.
sin
= sin ,
【高三数学·参考答案 第3页(共6页)】【2】第(2)问中，最后的结果写为 不扣分.
3 2− 6
19.解：(1)用M表示事件“测试者提出的两3个−问题4 相,同”，N表示事件“测试者对机器产生误判”,则
………………………………3分
=
=0
.6
×0.
+
1+
(1
-0
6 λ×
=
0.3
5=
0.2
…
…
|
……
+
…
…
…
…
…
|
……………………………5分
(2)设X为4名测试者中产生误判的人数,由(1)可知,X~B(4,0.2),…………7分
若机器通过本轮的图灵测试，则4名测试者中至少有2名产生误判，…………8分
所以机器A 通过图灵测试的概率 P=1-P(X=0)-P(X=1)=1-C1×0.2⁰×(1-0.2)⁴
……………………………………………………………………………………1……………12分 3
− 4×0.2× 1−0.2 =
评分细则：
0.1808.
【1】第(1)问中,得到 但未写“P(N)=P(NM)+P(NM)”,不扣分.
【2】第(2)问中,得到“ 但未
“P N =P M P N|M +P M P N|M ”,
0 0 4 1 3
写“4名测试者中至少有 P 2 = 名产 1− 生 C 误 4 判 ×0 ”， .2 不 × 扣 1 分 − .第 0. ( 2 2)问 − 还 C 可 4× 以 0 用 .2 直 × 接 1 法 − 求 0. 解 2 ， = 解 0 析 .1 如 80 下 8" ：
设X为4名测试者中产生误判的人数,由(1)可知,X~B(4,0.2),……………7分
若机器A通过本轮的图灵测试，则4名测试者中至少有2名产生误判，………8分
所以机器A通过图灵测试的概率
2 2
P= P X= 2 +P X
…
=
…
3
……
+P
…
X
…
=
…
4
……
=
… C4…
×
…
0.
1
2
2分
×(1−
2 3 3 4 4
20.(10)证 .2) 明 +:当 Cn4=×1时 0.2, ×S₂+1S₁−=40,.2 则a+₂+C24a₁×=40,.2 因为 =0a.₁1=810,所 8. 以a₂=2.……………………1分
当n≥2时,由 得 两式相减得 ………………2分
又a₁+a₂=3=2S×ₙ1₊+₁1+; Sₙ所=以当n+n∈1N²,°时S,ₙ+Sₙ₋₁ =n², ………a…ₙ₊…₁+…a…ₙ =…2…n…+…1………………3分
(2)解: …………………………4分
aₙ₊₁+aₙ=2n+1.
所以{aaₙ}₊的₂−奇a数ₙ=项是aₙ以₊₂+1为aₙ首₊₁项−，2aₙ为₊₁公+差aₙ的=等差2n数+列3，−偶2数n项+1是以=22为首项，2为公差的等差数
n
列，…………………………………………………………5分
所以{a }是以1为首项，1为公差的等差数列，故 …………………6分
n
(3)解: …………………aₙ…=…n.……………………………7分
1 2 n−1
则 Tn =0−2 3 −2 4 −⋯−…2 n+ … 1 ,……………………………………8分
1 1 2 n−1
则2Tn =−2 4 −2 5 −⋯−2 n+2 , ………………………………………………9分
1 1 1 1 n−1
Tn−2Tn =− 2 3 +2 4 +⋯+2 n+1 +2 n+2 ,
所以 ……………………………………………………11分
1 1
1 8− 2n+2 n−1 n+1 1
故 2Tn =− 1− … 1 2 … + … 2 n+ … 2 … = … 2 n+ … 2 − … 4 … , ………………………………………………12分
n+1 1
评分Tn 细=则2 n ： +1 −2.
【1】第(2)问中,得到 后，还可以通过下面的方法得到数列{an}的通项公式：
由 得 因为a₁-1=0,所以 即
aₙ₊₁+aₙ=2n+1
【2】第(3)问还可以用裂项相消法求解，过程如下：
ₙ ₊₁ +ₙ =2 +1, ₙ ₊₁ − +1 =− ₙ − ₙ − =0, ₙ = .
因为 …………………………………………………9分
1− +1−2 +1
= 2 +1 = 2 +1 = 2 +1 −2 ,
【高三数学·参考答案 第4页(共6页)】所以 ………………………………12分
2 1 3 2 +1 +1 1
= 2 2 −2+2 3 −2 2 +⋯+2 +1 −2 = 2 +1 −2.
21.(1)证明:将点( 代入y²=2px,得24=4p,即p=6.…………………………………………1分
联立 2−2 6 得ky²-12y+12m=0, …………………………2分
2
y =12x,
设A(x₁y,y=₁),kBx(x+₂,ym₂),k则≠ 0 …………………………………………………3分
12m
y1y2 = … k … , ……………………………………………………4分
2 2 2 2
y1 y2 y1y2 m
因 x1 为 x2 =12⋅12= 所144以 = k 2 . 恒成立,则m=-12k,………………………………5分
2
m 12m
所以l O ₁ 的 A 方⋅O 程 B 为= y 0 = , k(x-12k) 2 ,故+直k线= l₁过0定点(12,0).……………………6分
(2)解:联立 得.4x²+(4m-12)x+m²=0,
2
y =12x,
y= 2x+m,
贝 ……………………………………………………………………7分
x1+x2 =−m+3,
2
m
且△=(4 x m 1x - 2 12 = )²一4 k , 8x³=48(3-2m)>0, 即 ……………………………8分
3
m< 2,
……………………9分
2 2
设|AlB₂:|y==2x+1n+, 同2|x理1可−得x2|= 1+2 x1+x2…−…4…x1…x2…=……5…⋅ …9−…6…m…, ………………10分
因为直线l₂在l₁的右侧，所|M以N| n =
|
1
a|
时,由φ(x)在区间 上单
π
调递增，可知存在 使得当x∈[0,m)时,φ(x)<0,则h(x)在[0,m)上单调递减,…………0…
|a
…
|
9分
π
m ∈ 0|a| ,
由 可得f(x)为偶函数,f(x)的图象关于y'轴对
1 2 1 2
称,f 此 − 时 xx==0是 cofs(x−)的 ax 极 + 大 2 值 − 点 x……−1…=…c…os…ax…+1 2 1x 分 −1= f x
综上,a的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).…………………………………12分
评分细则.：
【1】第(1)问中，最后没有回答函数的单调区间，而是写为“f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，十∞)
上单调递增”不扣分.
【2】第(2)问中，在说明a≠0后，也可以先讨论a>0，再根据函数的奇偶性，确定a<0中满足条件的a
的范围，最后求两种情况的a的取值集合的并集，即得满足题意的a的取值范围.
【高三数学·参考答案 第6页(共6页)】
