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重庆市高三数学考试参考答案
1. A 【解析】本题考查集合的交集，考查数学运算的核心素养.
由N={x|0a>c.
2 3 3 3 48 1 2 2
7. D 【解析】本题考查导数的几何意义及直线的倾斜角，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
y'=3x²−4x,则l的斜率为 3k²-4k. 因为l的倾斜角小于 135°，所以l的斜率小于一1或不小于0，
(1 ) [4 )
则 3k²-4k<-1) 或 3k²-4k≥0, 解得 k∈(−∞,0]∪ ,1 ∪ ,+∞ .
3 3
8.D【解析】本题考查椭圆的定义与性质，考查直观想象的核心素养.
如图,连接 F₁Q,由 ⃗M F =2⃗F Q,得|PF₂|=4|F₂Q|，设|F₂Q|=t,
2 2
则|PF₂|=4t,|PF₁|=2a-4t,|QF₁|=2a-t.由余弦定理得|QF₁|²=
|PF₁|²+|PQ|²-2|PF₁||PQ|cos∠F₁PQ,即(2a-t)² =(2a−4t) 2+
2a−4t 5
(5t) 2−2(2a−4t)×5t× ,整理得 t= a,则 |F F |
4t 14 1 2
2√21 2c |F F | √21
=√(4t) 2−(2a−4t) 2=√16at−4a2= a故 e= = 1 2 = .
7 2a 2a 7
9. BCD 【解析】本题考查三角函数的图象及其性质、三角恒等变换，考查逻辑推理与数学运算的核心素
养.
( π) (5π) 3π ( 5π)
因为 f (x)=sin x+ ,所以f(x)的最小正周期为2π.因为 f =sin =−1,f − =sin(-π)=0,所
4 4 2 4
5π ( 5π )
以 f(x) 的 图 象 关 于 直 线 x= 对 称 ， f(x) 的 图 象 关 于 点 − ,0 对 称 .
4 4
( π) ( π)
f (x)+f (−x)=sin x+ +sin −x+ =√2cosx.
4 4
【高三数学·参考答案 第 1 页 (共 7 页)】10.ACD 【解析】本题考查统计中的极差、中位数、平均数、方差、百分位数，考查数据处理能力与推理
论证能力.
对于A 选项，如果删去的不是最大值或最小值，那么极差不变，所以 A 正确.
对于B选项，删除前有6个数据，中位数是按从小到大的顺序排列后中间两个数的平均数，因为任何
两个数据都不相等，所以中位数不会等于6个数据中的任何一个，而删除后有5个数据，中位数是6个
数据中的某一个，所以 B错误.
对于C选项，平均数不变意味着删去的数据刚好等于平均数，在方差公式中，分子不变，分母变小，
所以方差变大，所以C正确.
对于D选项，平均数不变意味着删去的数据刚好等于平均数，在按从小到大的顺序排列的 6个数据中,
因为6×20%=1.2,5×20%=1,所以原数据的20%分位数是第2个数，新数据的 20%分位数是前2个数的平
均数，且该数值小于第2个数，所以D正确.
11.BC 【解析】本题考查抽象函数与具体函数的奇偶性，考查逻辑推理与数学抽象的核心素养.
令 x=y=0,得 f(0)=0,令 y=0,得 f(x)=xf(0)=0,则 f(-x)=f(x)=-f(x)=0,所以 f(x)既是奇函数又是偶函数.由
g(x+1)=(x+1)(x²+2x)=(x+1)[(x+1)²-1],得 g(x)=x³-x,| 因为g(-x)=-g(x),所以g(x)是奇函数.
12.ACD 【解析】本题考查立体几何初步中的体积、距离、二面角，考查空间想象能力与运算求解能力.
如图,取AB的中点G,连接 CG,因为平面ABC⊥平面ABD,且平面
ABC∩平面ABD=AB,所以CG⊥平面ABD.取AD的中点E,连接
BE,因为AB=BD,所以BE⊥AD,则 BE=√AB2−AE2=2√2.因为
√3 3√3
CG=3× = ,
2 2
1 3√3 1
所以 V = × × ×2×2√2=√6A正确.取 AE 的中点 F,连接 FG,CF,则FG ∥BE,所以
D−ABC 3 2 2
FG⊥AD.因为 CG⊥平面 ABD,所以 CG⊥AD,又 CG∩FG=G,所以 AD⊥平面 CFG,则 AD⊥CF,则(
√35 CG 3√6
CF=√CG2+FG2= ,∠CFG为二面角 B-AD-C 的平面角，且 tan∠CFG= = ,B 错
2 FG 4
误,C正确.设△ABD,△ABC的外心分别为K,M,则GK⊥ AB,又平面ABD⊥平面ABC,所以GK⊥平面
ABC.设三棱锥D-ABC外接球的球心为 O,则OK⊥平面ABD,OM⊥平面ABC,所以四边形OMGK 为
1 √3 √3
矩形,则( OK=MG= CG= .故三棱锥D-ABC外接球的球心到平面ABD的距离为 ,D正确.
3 2 2
13.4 √2【解析】本题考查双曲线的性质，考查数学运算的核心素养.
依题意可得2c=6,2a=2,则c=3,a=1,所以该双曲线的虚轴长为 2b=2√c2−a2=4√2.
2
14. 【解析】本题考查投影向量与平面向量的基本定理，考查直观想象的核心素养.
3
1 1
在矩形 ABCD 中，因为向量 ⃗AE在向量 ⃗AD上的投影向量为 ⃗AD,所以 ⃗AE=⃗AB+ ⃗AD,又
3 3
1 1 1 1 1 1 2
⃗AO= ⃗AB+ ⃗AD,所以 ⃗OE=⃗AE−⃗AO= ⃗AB− ⃗AD,所以 λ−μ= + = .
2 2 2 6 2 6 3
15.y²=1-2x 【解析】本题考查圆与圆的位置关系、直线与圆的位
置关系，考查直观想象与数学运算的核心素养.
【高三数学·参考答案 第 2 页 (共 7 页)】设M(x，y)，点M到直线x=2的距离为d，如图，M只能在直线
x=2的左侧,则d=2-x,依题意可得|MO|+1=d,即 √x2+ y2=(2-x)-1,
化简可得y²=1-2x, 故圆M的圆心的轨迹方程为y²=1-2x.
1−√5
16. 【解析】本题考查三角恒等变换与导数的应用，考查数学建模与数学运算的核心素养.
2
2x x+x3
设tanθ=x,则 x>1,tan2θ−tanθ= −x= .
1−x2 1−x2
x+x3 −x4+4x2+1 (x2−√5−2)(x2+√5−2)
设函数 f (x)= (x⟩1),则 f'(x)= =− (x⟩1).
1−x2 (1−x2) 2 (1−x2) 2
当 10;当. x2>√5+2时,f'(x)<0.
所以当 x2=√5+2时,f(x)取得最大值,即 tan 2θ-tanθ 取得最大值,此时
tan2θ 2 2 1−√5
= = = .
tanθ 1−x2 1−(√5+2) 2
ED FB
17.(1)证明:因为 ⃗ED =2⃗C E,⃗FB =2⃗C F,所以 1= 1=2,
1 1 1 1 C E C F
1 1
所以EF∥B₁D₁,……………………2分
因为B₁D₁⊄平面CEF,EF⊂平面CEF,所以B₁D₁∥平面CEF.
……………………………………………………………4分
(2)解：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系 Dxyz，设AB=3，
3 3
则A(3,0,0)，C(0,3,0)，O( ， ,3)，E(0,2,3)，F(1,3,3)，………………5分
2 2
⃗CE=(0,−1,3),⃗EF=(1,1,0)…………………………………………6分
{⃗CE⋅m=−y+3z=0,
设平面CEF的法向量为m=(x,y,z),则 …………………………………7分
⃗EF⋅m=x+ y=0,
令x=3,得m=(3,-3,-1),…………………………………………………………………………8分
⃗AO⋅m −12 8
cos⟨⃗AO,m⟩= = =− .
|⃗AO||m| 3√6 √114
×√19
2
8 64 32
所以直线AO与平面CEF 所成角的正弦值为 ,其平方为 = .……………………10分
√114 114 57
评分细则：
【1】第(1)问中,未写“B₁D₁⊄平面CEF,EF⊂平面CEF”扣1分.
【2】第(2)问中，建系方式不唯一，平面CEF 的法向量不唯一，如果建系的方式相同，那么只要所
求法向量与m=(3,-3,-1)共线即可.
π
18.解:(1)在△ABC中,A+B+C=π,因为A+B=11C,所以 C= ,…………………………………1分
12
(π π) √2 (√3 1) √6−√2
则 sinC=sin − = × − = .…………………………………………………3分
3 4 2 2 2 4
4 3
因为 cosA= .所以 sin A= ,
5 5
【高三数学·参考答案 第 3 页 (共 7 页)】BC AB ABsin A 12
由 正 弦 定 理 得 = ,则 BC= = .
sin A sinC sinC 5
……………………………………………………………6分
π π
(2) 由 (1) 知 C= ,则 A=2C= ,
12 6
……………………………………………………………………………………………7分
在△ADE中，由余弦定理得 DE²=AE²+AD²-2AE·ADcosA. ……………………………………8
分
√3
代入数据，得 7=3+AD2−2√3AD× ,解得AD=4(AD=-1舍去),……………10分
2
1 1 √3 1
所 以 △ BDE 的 面 积 为 AE⋅AD⋅sin A− AE⋅AB⋅sin A= × ×[4−(√6−√2)]
2 2 2 2
4√3−3√2+√6
= .……………………………………………………………………12分
4
评分细则：
ABsin A
【1】第(1)问中，若BC最后的结果计算错误，但得到 BC= ,只扣1分.
sinC
3√2−√6
【2】第(2)问中，最后的结果写为 √3− ,不扣分.
4
19.解：(1)用M表示事件“测试者提出的两个问题相同”，N 表示事件“测试者对机器产生误判”,则
P(N)=P(NM)+P(N M)=P(M)P(N|M)+P(M)P(N|M)………………………………3分
=0.6×0.1+(1-06λ×0.35=0.2……………………………………………………5分
(2)设X为4名测试者中产生误判的人数,由(1)可知,X~B(4,0.2),…………7分
若机器通过本轮的图灵测试，则4名测试者中至少有2名产生误判，…………8分
所 以 机 器 A 通 过 图 灵 测 试 的 概 率 P=1-P(X=0)-P(X=1)=1-C1×0.2⁰×(1-0.2)⁴
−C1×0.2×(1−0.2) 3=0.1808.………………………………………………………………………………
4
…………………12分
评分细则：
【1】第(1)问中,得到“P(N)=P(M)P(N|M)+P(M)P(N|M)”,但未写“P(N)=P(NM)+P(NM)”,
不扣分.
【2】第(2)问中,得到“ P=1−C0×0.20×(1−0.2) 4−C1×0.2×(1−0.2) 3=0.1808"但未
4 4
写“4名测试者中至少有2名产生误判”，不扣分.第(2)问还可以用直接法求解，解析如下：
设X为4名测试者中产生误判的人数,由(1)可知,X~B(4,0.2),……………7分
若机器A通过本轮的图灵测试，则4名测试者中至少有2名产生误判，………8分
所以机器 A通过图灵测试的概率 P=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=C2×0.22×(1−
4
0.2) 2+C3×0.23×(1−0.2)+C4×0.24=0.1808.………………………………12分
4 4
20.(1)证明:当n=1时, S₂+S₁=4, 则a₂+2a₁=4, 因为 a₁=1, 所以 a₂=2.……………………1分
当n≥2时,由 Sₙ ₊₁+Sₙ =(n+1)²,得 Sₙ +Sₙ ₋₁=n²,两式相减得 aₙ ₊₁+aₙ =2n+1………………2分
又a₁+a₂=3=2×1+1; 所以当n∈N°时, aₙ ₊₁+aₙ =2n+1.……………………………………………3分
【高三数学·参考答案 第 4 页 (共 7 页)】(2)解: aₙ ₊₂−aₙ =(aₙ ₊₂+aₙ ₊₁)−(aₙ ₊₁+aₙ )=(2n+3)−(2n+1)=2…………………………4分
所以{a }的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以2为首项，2为公差的等差数列，
n
…………………………………………………………5分
所以{a }是以1为首项，1为公差的等差数列，故aₙ =n.…………………6分
n
1 2 n−1
(3)解: T =0− − −⋯− ,……………………………………………………7分
n 23 24 2n+1
1 1 2 n−1
则 T =− − −⋯− ,…………………………………………8分
2 n 24 25 2n+2
1 ( 1 1 1 ) n−1
则 T − T =− + +⋯+ + ,………………………………………………9分
n 2 n 23 24 2n+1 2n+2
1 1
−
1 8 2n+2 n−1 n+1 1
所以 T =− + = − ,……………………………………………………11分
2 n 1 2n+2 2n+2 4
1−
2
n+1 1
故 T = − .………………………………………………………………………12分
n 2n+1 2
评分细则：
【1】第(2)问中,得到 aₙ ₊₁+aₙ =2n+1后，还可以通过下面的方法得到数列{an}的通项公式：由
aₙ ₊₁+aₙ =2n+1,得 aₙ ₊₁−(n+1)=−(aₙ −n)因为 a₁-1=0, 所以 aₙ −n=0,即 aₙ =n.
【2】第(3)问还可以用裂项相消法求解，过程如下：
1−a n+1−2n n+1 n
因为 b = n= = − ,…………………………………………………9分
n 2n+1 2n+1 2n+1 2n
2 1 3 2 n+1 n n+1 1
所以 T = − + − +⋯+ − = − .………………………………12分
n 22 2 23 22 2n+1 2n 2n+1 2
21.(1)证明:将点( (2,−2√6)代入 y²=2px, 得24=4p,即p=6.…………………………………………1分
{ y2=12x,
联立 得ky²-12y+12m=0, …………………………2分
y=kx+m(k≠0)
12m
设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则 y y = ,…………………………………………………3分
1 2 k
y2 y2 (y y ) 2 m2
x x = 1 ⋅ 2 = 1 2 = .…………………………………………………………4分
1 2 12 12 144 k2
m2 12m
因为 ⃗OA⋅⃗OB=0,所以 + =0恒成立,则m=-12k,………………………………5分
k2 k
所以l₁的方程为y=k(x-12),故直线l₁过定点(12,0).……………………6分
{ y2=12x,
(2)解:联立 得.4x²+(4m-12)x+m²=0,
y=2x+m,
【高三数学·参考答案 第 5 页 (共 7 页)】{x +x =−m+3,
1 2
贝 m2 ……………………………………………………………………7分
x x = ,
1 2 4
3
且 △=(4m-12)²一k8x³=48(3-2m)>0, 即 m< ,……………………………8分
2
|AB|=√1+2|x −x |=√1+22√(x +x ) 2−4x x =√5⋅√9−6m,……………………9分
1 2 1 2 1 2
设 l₂:y=2x+n, 同理可得 |MN|=√5⋅√9−6n.………………………………………………10分
m−n
因为直线l₂在l₁的右侧，所以n1时,由φ(x)在
[ π ) ( π )
区间 0, 上单调递增，可知存在 m∈ 0, ,使得当x∈[0,m)时,φ(x)<0,则h(x)在[0,m)上单
|a| |a|
调递减,………………9分
【高三数学·参考答案 第 6 页 (共 7 页)】1 1
由 f (−x)=cos(−ax)+ (−x) 2−1=cosax+ x2−1=f (x)可得 f(x)为偶函数, f(x)的图象关于y'轴对
2 2
称,此时x=0是f(x)的极大值点…………………11分
综上,a的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).…………………………………12分
评分细则.：
【1】第(1)问中，最后没有回答函数的单调区间，而是写为“f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，十
∞)上单调递增”不扣分.
【2】第(2)问中，在说明a≠0后，也可以先讨论a>0，再根据函数的奇偶性，确定a<0 中满足条件的
a的范围，最后求两种情况的a的取值集合的并集，即得满足题意的a的取值范围.
【高三数学·参考答案 第 7 页 (共 7 页)】
