黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高三上学期第一次验收（开学测试）数学解析(1)_2023年9月_029月合集_2024届黑龙江省哈尔滨市三中高三上学期第一次验收（开学测试）

哈三中 2023-2024 学年度上学期 高三学年第一次验收考试数学试卷 考试说明：（1）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分.考试 时间为 120分钟； （2）第 I卷，第 II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第 I卷（选择题，共 60分） 一、选择题（共 60分） （一）单项选择题（共 8 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的）   2024,1 x x2 2025x20240 0 πR 1. 给 出 下 列 关 系 ： ① ； ② ； ③ ； ④ 1,2   x,y y  x2 x2  .其中正确的个数为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 . 【答案】D 【解析】 【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系逐一判断各个命题即可作答. 【详解】显然πR ，0 ，①③正确； {x|x2 2025x20240}{x|(x1)(x2024)0}{1,2024}，②正确； 在 y x2 x2中，当x1时，y=2，即有(1,2){(x,y)| y  x2 x2}， 因此{(1,2)}{(x,y)| y  x2 x2}，④正确， 所以正确命题的个数是4. 故选：D 2. 下列选项中表示同一函数的是（ ） A. f x x0与gx1 x2 B. f x x与gx x C. f x x20232 与gx x2023 第1页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 x 1,x0  ,x0 D. f x 与gx x 1,x0  1,x0 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数三要素，即定义域、对应关系、值域，三者只要有一个不相同，函数即不是同一函数， 由此一一判断各选项，即得答案. 【详解】对于A， f x x0的定义域为{x|x0)，而gx1定义域为R， 故二者不是同一函数； x2 对于B， f x x的定义域为R，与gx 的定义域为{x|x0)， x 故二者不是同一函数； 对于C， f x x20232 |x2023|与gx x2023对应关系不同， 故二者不是同一函数；  x 1,x0  ,x0  1,x0 1,x0 对于D，gx x 1,x0  与 f x 的定义域以及对应关系、值域   1,x0 1,x0 1,x0  1,x0 都相同， 故二者为同一函数， 故选：D  x6    3. 若集合A x x 1 ，Bx 0,xN，则A  B（ ）  x1  A. 1,5 B. 1,5 C. 2,3,4,5,6 D. 1,2,3,4,5,6 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合A,B，再利用交集的定义求解作答. 【详解】解不等式|x|1，得x1或x1，即A(,1]  [1,)， x6 解不等式 0，得1 x6，于是B{2,3,4,5,6}， x1 所以A  B{2,3,4,5,6}. 第2页/共17页 学科网（北京）股份有限公司故选：C f x1 4. 若函数 f 2x1 的定义域为 1,1 ，则函数y  的定义域为（ ） x1 A. 1,2 B. 0,2 C. 1,2 D. 1,2 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合抽象函数的定义域求解作答. 【详解】由函数 f 2x1 的定义域为 1,1 ，即1 x1，得32x11， f x1 3 x11 因此由函数y  有意义，得 ，解得1 x2， x1 x10 f x1 所以函数y  的定义域为 1,2 . x1 故选：D 1 2 5. 已知x0,1 ，则  的最小值为（ ） x 1x A. 6 B. 32 2 C. 22 3 D. 4 【答案】B 【解析】 1 2 b 2a 【分析】根据x1x1得到  12  ，然后利用基本不等式求最值即可. x 1x a b 【详解】设xa，1xb，则ab1，a,b0,1 ， 1 2 1 2 1 2 b 2a b 2a        ab12  32 2，当且仅当  ，即a  21， x 1x a b a b a b a b b2 2时，等号成立. 故选：B.  x2 2ax,x2  6. 已知函数 f x 4 的最大值为1，则实数a的值为（ ） ax ,x2   2x 5 5 A. a1 B. a  C. a7 D. a  或a7 4 4 【答案】A 第3页/共17页 学科网（北京）股份有限公司【解析】 【分析】根据给定的函数，分段讨论并结合二次函数、均值不等式求出最大值即可作答. 4 4 【详解】当x2时， f(x)a2[(x2) ]a22 (x2) a6， x2 x2 4 当且仅当x2 ，即x4时取等号，依题意，a61，即a7， x2 当x2时， f(x) (xa)2 a2，若a2，则当xa时， f(x) a2 1，解得a1，符合题 max 意， 5 若2a7，则当x2时， f(x) 44a 1，解得a  ，矛盾， max 4 所以实数a的值为1. 故选：A a b 7. 已知a b  0且ab1，若把 ， 2 ab ， 按照从大到小的顺序排列，则排在中间的数是（ ） 2b 2a a b A. B. 2 ab C. D. 无法确定 2b 2a 【答案】B 【解析】 【分析】本题可以采用特殊值法、不等式的性质、构造函数解决. 【详解】法一：特殊值法. a 3 1  1 令a3，b ，则 2b 1 ， 3 23 ab  5 1 1 1 1 2 2 3  1   ，而 5 5 22 4 23 23 b  1 ，所以 a  2 ab  b ，所以中间数为 2 ab . 2a 24 2b 2a 法二：不等式的性质 a b 由题意，a1b0，所以a2a b2b，所以  ， 2b 2a a 1 ab 又  a 2 ab  2 2b 2b，所以 2b  2 ab  2 ’ b 1 ab 又  2a  2 2a b 2 ab，所以 2a  2 ab  2 ’ 所以 a  2 ab  b ，所以中间数为 2 ab . 2b 2a 第4页/共17页 学科网（北京）股份有限公司法三：构造函数 a 2log 2 a log2a 1 b 2log 2 b log2b 1  2 a ， ab  ab ，  2 b ， 2b 1 2 2 2 2a 1 2a 2b 1 ab 1 问题变为比较log a ， ，log b 的大小. 2 a 2 2 b 1 1 x x 构造函数 1 x x ，x0 g(x)log x ( )log x 2 x 2 2 2 很显然，g(x)为两个增函数的和，在(0,)为增函数，所以g(a) g(1)0 g(b)， 1 1 a b 所以 1 a ab b 1 ， log a    log b 2 a 2 2 2 2 b 所以 log2a 1  ab log2b 1 ，即 a  2 ab  b . 2 a 2 2  b 2b 2a 故选：B. 8. 已知函数 f x 的定义域为 0, ，对m,n0满足 f mn f m f n3， f 36，当x0 时 f x3，则关于a的不等式 f  a2 a5  4的解集为（ ） A. 2,3 B. 3,2 1 21 1 21  1 21 1 21  C.   ,   D.   2,    ,3  2 2 2 2       【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨函数 f(x)的单调性，并求出 f(1)的值，再利用单调性脱去法则“f”求解作答. 【详解】对m,n0满足 f mn f m f n3，且当x0时， f x3， x ,x 0, ，且x  x ，则x x 0，有 f(x x )3， 1 2 1 2 2 1 2 1 于是 f(x ) f[(x x )x ] f(x ) f(x x )3 f(x )，因此 f(x)在 0, 上单调递增， 2 2 1 1 1 2 1 1 又 f(3) f(1) f(2)3 f(1) f(1) f(1)333f(1)66，解得 f(1)4， 1 21 从而 f(a2 a5)4 f(a2 a5) f(1)，则0a2 a51，解得2a 或 2 1 21 a3， 2 第5页/共17页 学科网（北京）股份有限公司1 21 1 21 所以原不等式的解集是(2, ) ( ,3).  2 2 故选：D （二）多项选择题（共 4 小题，每小题 5 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分） 9. 若a0b，则下列说法一定成立的是（ ） 1 1 1 1 A.  B. a2 b2 C. a3 b3 D.  a b ab ab 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较法，逐项判定，即可求解. 1 1 1 1 【详解】对于A中，因为a0b，可得 0, 0，所以  成立，所以A正确； a b a b 对于B中，由a2 b2 (ab)(ab)，因为a0b，可得ab0，而ab符号不确定，所以a2和 b2不能确定，所以B错误； 1 3 对于C中，由a3 b3 (ab)(a2 abb2)(ab)[(a b)2  b2]， 2 4 1 3 因为a0b，可得ab0，(a b)2  b2 0， 2 4 所以a3b3 0，即a3 b3，所以C正确； 1 1 1 1 1 例如：当a 3,b2时，可得 1,  ，此时  ，所以D错误. ab ab 6 ab ab 故选：AC. 9x2 10. 已知函数 f x ，下列说法正确的是（ ） x3 3 A. f x 定义域为 3,0  0,3 B. f x 值域为 3,3 C. f x 为定义域内的增函数 D. f x 为 0,3 内的增函数 【答案】AD 【解析】 【分析】求出函数 f(x)定义域并化简函数，再逐项分析判断作答. 9x2 9x2 0 【详解】函数 f x 有意义，则 ，解得3 ≤ x  0或0 x3， x3 3  x3 30 第6页/共17页 学科网（北京）股份有限公司9x2 f(x) ， x 函数 f(x)的定义域为[3,0)  (0,3]，A正确； 1 由于 f( ) 35 3，B错误； 2 1 1 而 f( ) 35  f( )，则函数 f(x)在[3,0)  (0,3]不是增函数，C错误. 2 2 9 9 9 函数y  1在(0,3]上单调递减，y  1在(0,3]上单调递减，因此函数 f x 1在 x2 x2 x2 (0,3]上单调递增，D正确. 故选：AD 11. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 命题：“x0, ， x  x1”的否定为：“x,0 ， x  x1”   B. 设A x x2 x60 ，B0,m ，且AB有四个子集，则实数m的取值范围是 3,2 C. 已知 p：  x x2k1,kZ  ， q ：  x x6k1,kN  ， p是 q 的充分不必要条件 D. 方程x2 a3xa0有一个正实根，一个负实根，则a<0 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项根据全称命题的否定判断即可；B选项根据集合的子集个数得到集合中元素的个数，然后 结合集合中元素的特征求m的范围即可；C选项根据集合的含义判断充分性和必要性即可；D选项根据根 的判别式和韦达定理列不等式求解即可. 【详解】A选项：命题“x0, ， x  x1”的否定为：“x0, ， x  x1”，故A错； B选项：A  x 3 x2 ，因为AB有四个子集，所以AB中有两个元素，则mA，且 m0，即3m0，0m2，故B错； C选项： p表示所有奇数， q 表示部分奇数，所以 p是 q 的必要不充分条件，故C错； D选项：设方程得两个根分别为x，x ，因为方程有一个正根，一个负根，所以 1 2 Δa32 4a 0  ，解得a<0，故D正确.  x x a0 1 2 故选：ABC. 第7页/共17页 学科网（北京）股份有限公司12. 已知定义在 R 上的函数 f x ，对于给定集合 A，若 x ,x R，当 x x A时都有 1 2 1 2 f x  f x A，则称 f x 是“A封闭”函数，则下列命题正确的是（ ） 1 2 A. f x3x1不是“ 2023,2023 封闭”函数 B. 定义在R上的函数 f x 都是“ 0 封闭”函数 C. 若 f x 是“ 1 封闭”函数，则 f x 一定是“ 2023 封闭”函数 D. 若 f x 是“ a,b 封闭”函数  a,bN* ，则 f x 在区间 a,b 上单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用特殊值x 2023,x 0，可判定A错误；根据函数的新定义，得到x ,x R ，必有 1 2 1 2 f x  f x 0，可判定B正确；根据函数的定义，得到 f(x k) f(x )k ，可判定C正确；根 1 2 2 2 据函数的定义，以及单调性的定义，可判定D错误. 【详解】对于A中，函数 f x3x1，当x 2023,x 0时，x x 2023[2023,2023]， 1 2 1 2 而 f x  f x 3202313016069[2023,2023]，所以 A正确； 1 2 对于B中，对于区间 0 ，x ,x R ，使得x x 0，即x  x ，必有 f x  f x 0，所以定 1 2 1 2 1 2 1 2 义在R 上的函数 f x 都是“ 0 封闭”函数，所以B正确； 对于C中，对于区间 1 ，x ,x R ，使得x x 1 ，即x  x 1， 1 2 1 2 1 2 因为 f x 都是“ 1 封闭”函数，则 f x 1 f x 1， 2 2 即xR ，都有 f x1 f x1， 对于区间 k ，x ,x R ，使得x x k ，则x  x k ， 1 2 1 2 1 2 而 f(x k) f(x k1)1， f(x k1) f(x k2)1，L f(x 1) f(x )1， 2 2 2 2 2 2 所以 f(x 2 k) f(x 2 k1)   f(x 2 1) f(x 2 k1) f(x 2 k2)   f(x 2 )k， 即 f(x k) f(x )k ，故 f(x k) f(x )k ，其中kN， 2 2 2 2 当k 2023时，可得 f(x 2023) f(x )2023，所以函数 f x 都是“ 2023 封闭”函数，所以C正 2 2 确； 第8页/共17页 学科网（北京）股份有限公司对于D中，若函数 f x 是“ a,b 封闭”函数  a,bN* ， 则当x x a,b 时，都要 f x  f x a,b ， 1 2 1 2 所以x x 0，即x  x 时，都有 f x  f x 0，即 f x  f x  ， 1 2 1 2 1 2 1 2 所以 f x 在区间 a,b 上单调递增，所以D错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：对于函数的新定义试题的求解： 1、根据函数的新定义，可通过举出反例，说明不正确，同时正确理解新定义与高中知识的联系和转化； 2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义，结合函数的基本性质（如单调性、奇偶性和周期等性质） 进行推理、论证求解. 第 II 卷（非选择题，共 90分） 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.将答案填在答题卡相应的位置上） f xlog  x2 5x6  13. 函数 1 的单调递增区间为______. 2 【答案】 ,1 【解析】 【分析】先求出对数型函数的定义域，再结合二次函数和复合函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】由x2 5x60 x6，或x1， 所以该函数的定义域为(6,)  ,1 ， 5 二次函数y  x2 5x6的对称轴为x ， 2 y log x 因为函数 1 是正实数集上的减函数， 2 f xlog  x2 5x6  所以函数 1 的单调递增区间为二次函数y  x2 5x6的递减区间， 2  5 即为 , ，而x(6,)  ,1 ，  2 所以 f xlog 1  x2 5x6  的单调递增区间为 ,1 ， 2 故答案为： ,1 14. 关于x的不等式ax2 bxc0的解集为 2,3 ，则cx2 bxa≤0的解集为______. 第9页/共17页 学科网（北京）股份有限公司1 1 【答案】[ , ] 3 2 【解析】 【分析】由给定的解集用a表示b,c，再代入求解一元二次不等式作答.  b 23   a 【详解】不等式ax2 bxc0的解集为 2,3 ，则a0，且 ，即b5a,c6a,a0， c  23  a 1 1 因此cx2 bxa≤0化为：6ax2 5axa0，即6x2 5x10，解得  x ， 3 2 1 1 所以不等式cx2 bxa≤0的解集为[ , ]. 3 2 1 1 故答案为：[ , ] 3 2 15. 关于x的不等式2x12 ax2的整数解恰有3个，则实数a的取值范围是______. 25 49 【答案】 ,   9 16 【解析】 【 分 析 】 将 不 等 式 2x12 ax2化 为 不 等 式 (4a)x2 4x10， 根 据 有 解 确 定 4a0  ，再用a表示出不等式解集，确定出三个整数解，由此可得到关于a的不等式，即 Δ164(a4)0 可求得答案. 【详解】不等式2x12 ax2即不等式(4a)x2 4x10， 若a  4，则(4a)x2 4x10即4x10，整数解有无数个，不合题意， 故a 4， 由于关于x的不等式2x12 ax2的整数解恰有3个， 4a0 故需满足 ，解得0a4； Δ164(a4)0 1 1 则解(4a)x2 4x10可得  x ， 2 a 2 a 1 1 1 因为0a4，故   ， 2 2 a 4 第10页/共17页 学科网（北京）股份有限公司故不等式2x12 ax2的3个整数解恰为3,2,1， 1 25 49 25 49 则4 3，解得 a ，即a  ,  ， 2 a 9 16  9 16 25 49 故答案为： , .  9 16 16. 若A是正整数集的非空子集，称集合B  uv u,vA且u v  为集合A的生成集.若A是由n个正 整数构成的集合，则其生成集B中元素个数的最小值为______. 【答案】n-1 【解析】 【分析】根据生成集的定义判断即可. 【详解】由题意可得，当集合A中的n个元素从小到大排列成等差数列时其生成集B中的元素个数最少， 设n个元素分别为x 1 ,x 2 x n ，且x 1  x 2    x n ，则集合Bx n x 1 ,x n1 x 1 ,L x 2 x 1  ，所以生成 集B中元素个数最小值为n1. 故答案为：n1. 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知集合A  x x2 4x120  ，B  x a1 x3a2  . （1）当a 1时，求Að B； R （2）若A  B B，求实数a的取值范围. 【答案】（1）[2,0]  [5,6]； 3 4 （2）(, ]  [1, ]. 2 3 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式化简集合A，再把a 1代入，利用补集、交集的定义求解作答. （2）由已知可得BA，再利用集合的包含关系分类求解作答. 【小问1详解】 解不等式x2 4x120，得2 x6，即A[2,6]， 当a 1时，B(0,5)，ð B(,0] [5,)， R  所以A ð B[2,0] [5,6].  R  第11页/共17页 学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】 由（1）知，A[2,6]，由A  B B，得BA， 3 3 当a13a2，即a 时，B，满足BA，因此a ； 2 2 3 当a13a2，即a  时，B，即有(a1,3a2)[2,6]， 2 a12 4 4 则 ，解得1a ，因此1a ， 3a26 3 3 3 4 所以实数a的取值范围(, ]  [1, ]. 2 3 18. 已知关于x的不等式x2 2x1a，aR. （1）当a2时，求不等式x2 2x1a的解集； （2）若“不等式x2 2x1a的解集为R ”为假命题，求a的取值范围. 【答案】（1）(,1)(3,) （2）a2 【解析】 【分析】（1）把a2代入，解一元二次不等式作答. （2）求出命题“不等式x2 2x1a的解集为R ”为真命题的a的范围，再求其补集作答. 【小问1详解】 当a2时，不等式x2 2x1a化为：x2 2x30，解得x1或x3， 所以所求不等式的解集为(,1)(3,). 【小问2详解】 当不等式x2 2x1a的解集为R 时，即x2 2x1a0恒成立， 因此44(1a)0，解得a2， 所以“不等式x2 2x1a的解集为R ”为假命题时，a的取值范围是a2. xb 19. 已知函数 f x a0,bR . ax2 1 （1）当a 1，b0时，求函数 f x 的值域； （2）若b2，且x2,3 ， f  2x 1，求实数a的取值范围. 1 1 【答案】（1）[ , ] 2 2 第12页/共17页 学科网（北京）股份有限公司1 （2）(0, ] 16 【解析】 1x2 fx 【分析】（1）当a1,b0时，求得  x2 1 2 ，得出函数的单调性，结合函数的极值（最值）， 即可求解； t2 （2）根据题意，设t 2x，转化为 1在t[4,8]上恒成立，设u t2，转化为 at2 1 u 1在u[2,6]上恒成立，得到au2 (4a1)u4a10在u[2,6]上恒成立，令 a(u2)2 1 guau2(4a1)u4a1，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 1x2 解：当a1,b0时，函数 f x x ，可得 fx ， x2 1  x2 1 2 当x1时， fx0， f x 单调递减； 当1 x1时， f¢(x)>0， f x 单调递增； 当x1时， fx0， f x 单调递减， 1 1 所以函数的极小值为 f 1 ，极大值为 f 1 ， 2 2 因为x2 1 2 x ，当且进度x1时，等号成立， x x 可得当x时， 0；当x时， 0， x2 1 x2 1 1 1 所以函数的最大值为 f 1 ，最小值为 f 1 ， 2 2 1 1 所以函数 f x 的值域为[ , ]. 2 2 【小问2详解】 x2 解：当b2时，可得 f x 且a0， ax2 1 对x2,3 ，可得2x4,8 ，设t 2x[4,8]， t2 则不等式 f  2x 1，即为 f t1，即 1在t[4,8]上恒成立， at2 1 u 设u t2[2,6]，可得t u2，即 1在u[2,6]上恒成立， a(u2)2 1 第13页/共17页 学科网（北京）股份有限公司因为a0，可得a(u2)2 10，即u a(u2)2 1在u[2,6]上恒成立， 所以au2 (4a1)u4a10在u[2,6]上恒成立， 令guau2(4a1)u4a1，且a0， g24a24a14a10 1 则满足 ，即解得0a ，  g636a64a14a10 16 1 即实数a的取值范围是(0, ]. 16 20. 已知函数 f xax33x2 . （1）若a 1，求函数 f x 的图象在点  1, f 1 处的切线方程； （2）若函数gxex f x 在 0,2 内单调递减，求实数a的取值范围. 【答案】（1）3x y10 6 （2）(, ] 5 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可； （2）根据函数的导数与单调性的关系，结合常变量分离法，通过构造函数，利用二次函数的性质分类讨论 进行求解即可. 【小问1详解】 因为a 1，所以 f x x33x2  fx3x2 6x， 因为 f 12, f13， 所以函数 f x 的图象在点  1, f 1 处的切线方程为y23x1 ， 化为一般式为：3x y10； 【小问2详解】 gxex f x gx  ex  f xex fxex ax33ax2 3x2 6x ， gx xex ax2 3ax3x6  因为函数gxex f x 在 0,2 内单调递减， 所以当x0,2 时，gx0 恒成立，即ax2 3ax3x60恒成立， 第14页/共17页 学科网（北京）股份有限公司设hxax2 3ax3x6ax2 3a3x6，x0,2 ， 即当x0,2 时，hx0恒成立， 当a0时，hx3x6，当x0,2 时，显然hx0； 当a0时，要想x0,2 时，hx0恒成立， 6 6 因为h060，所以只需h20a 0a ， 5 5 当a<0时，要想x0,2 时，hx0恒成立， 6 因为h060，所以只需h20a a0， 5 6 综上所述：实数a的取值范围为(, ]. 5 【点睛】关键点睛：本题的解题关键是利用常变量分离法，利用二次函数的性质分类讨论. 21. 今年第5号台风“杜苏芮”显得格外凶悍。自福建南部沿海登陆以来，“杜苏芮”一路北上，国内不少城市 因此遭遇了百年一遇的极端强降水天气，并伴随着洪涝、塌方、泥石流等次生灾害，其中对黑龙江哈尔滨 等地影响尤为巨大，此次强降雨时段，不仅带来了严重的城市内涝，部分公路、桥梁发生不同程度水毁。 哈尔滨五常市某农场已发现有400m2的农田遭遇洪涝，每平方米农田受灾造成直接损失400元，且渗水面 积将以每天10m2的速度扩散.灾情发生后，某公司立即组织人力进行救援，每位救援人员每天可抢修农田 5m2，劳务费为每人每天400元，公司还为每位救援人员提供240元物资补贴.若安排x名人员参与抢修， 需要t天完成抢修工作，渗水造成总损失为y元（总损失=因渗水造成的直接损失+各项支出费用）. （1）写出y关于x的函数解析式； （2）应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小，并求出总损失. 384000 【答案】（1）y 240x 192000  x2,xN ； x2 （2）211680元. 【解析】 【分析】（1）根据t,x的关系，结合总损失的计算方法进行求解即可； （2）利用基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 因为每位救援人员每天可抢修农田5m2，需要t天完成抢修工作， 80 所以可得40010t 5xt t  ， x2 第15页/共17页 学科网（北京）股份有限公司显然可得x20 x2，且xN， 因为总损失=因渗水造成的直接损失+各项支出费用， 所以y 40010t400400xt240x1 ， 80 384000 把t  代入 1 中，得y 240x 192000  x2,xN ； x2 x2 【小问2详解】 384000 384000 384000 y 240x 192000240x2 1924802 240x2 192480, x2 x2 x2 384000 即y211680，当且仅当240x2 时取等号，即当x42时取等号， x2 所以应安排42名人员参与抢修，才能使总损失最小，此时总损失为211680元. 1 22. 已知函数 f x1ax a1lnx. x （1）讨论函数 f x 的单调性；  2 （2）求证：nN，ln 2ln 3ln 4ln n ln n1 n11 . 【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）分a0、0a1、a 1和a 1四种情况讨论 f x 的单调性即可； 1 （2）根据（1）中的结论得到lnx1 ，然后利用放缩的思路证明不等式成立即可. x 【小问1详解】公众号：高中试卷君 1 a1 ax1x1 f x 的定义域为 0, ， fxa   ， x2 x x2 当a0时，ax- 1< 0，令 f¢(x)>0，解得0 x1，令 fx0，解得x1，所以 f x 在 0,1 上 单调递增， 1, 上单调递减； 1 1 当0a1时，令 f¢(x)>0，解得0 x1或x ，令 fx0，解得1 x ，所以 f x 在 0,1 ， a a 1   1  , 上单调递增， 1, 上单调递减； a   a 当a 1时， fx0恒成立，所以 f x 在 0, 上单调递增； 第16页/共17页 学科网（北京）股份有限公司1 1  1 当a 1时，令 f¢(x)>0，解得0 x 或x1，令 fx0，解得  x1，所以 f x 在 0, ， a a  a 1  1, 上单调递增， ,1 上单调递减； a  综上所述，当a0时， f x 在 0,1 上单调递增， 1, 上单调递减； 1   1 当0a1时， f x 在 0,1 ， , 上单调递增， 1, 上单调递减； a   a 当a 1时， f x 在 0, 上单调递增；  1 1  当a 1时， f x 在 0, ， 1, 上单调递增， ,1 上单调递减.  a a  【小问2详解】 1 当a0时，由（1）可得 f x1 lnx f 10， x1 ， x 1 因为nN，所以 n11，则1 ln n10，即 n1 1 2 ln n11 1 ， n1 n1 n  2 2 2  所以ln 2ln 3ln 4L ln n ln n1n   L    n1 n n  n1 2 1   n2 n1 n  n  n1L  2 1 n2 n12  2  n11 ，  2 即ln 2ln 3ln 4L ln nln n1 n11 . 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式成立问题的方法： （1）直接构造函数：例如证明 f xgx 成立，可转化为证明 f xgx0，进而构造辅助函数 hx f xgx ； （2）适当放缩构造：根据已知条件适当放缩或根据常见结论放缩； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第17页/共17页 学科网（北京）股份有限公司