文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅰ卷专用）
黄金卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1.设集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，故 .故选 .
2．已知复数z满足 ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】 ，
所以复数 在复平面内对应的点位于第四象限，故选D
3．函数 的最小值为（ ）
A．-2 B． C． D．0
【答案】B
【解析】
当 时，取得最小值为 ，故选B
4．已知等差数列 的前5项和 ，且满足 ，则等差数列 的公差为（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】D【解析】 ； ，解得 ， ，故选D
5．龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作
一个圆台．现有一龙洗盆高15cm，盆口直径40cm，盆底直径20cm．现往盆内倒入水，当水深6cm时，盆
内水的体积近似为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，并延长 与 于点 .
根据题意， ， ， ， ，
设 ，
所以 ， 解得 ， ，
所以 ，故选B.
6．已知 的展开式中 的系数为80，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】 ，在 的展开式中，由 ，
令 ，得r无解，即 的展开式没有 的项；
在 的展开式中，由 ，
令 ，解得r=3，
即 的展开式中 的项的系数为 ，
又 的展开式中 的系数为80，
所以 ，解得 ，故选A.
7．在平面直角坐标系 中，双曲线 的左、右焦点分别为 ，点M是双曲
线右支上一点，且 为等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图示，连结 .
因为 为等边三角形，所以 .
所以 .
因为 ，所以 .
又 ，所以 ，所以 .在 中， ，所以 .
由双曲线的定义可得： ，即 ，
所以离心率 ，故选A.
8．设 ， ， ，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】记 .
因为 ，所以当 时， ，所以 在 上单调递增函数，
所以当 时， ，即 ，所以 .
记 .
因为 ，所以 在 上单调递增函数，
所以当 时， ，即 ，所以 .
所以 .记 .
因为 ，所以当 时， ，所以 在 上单调递增函数，所
以当 时， ，即 ，所以 .
所以 ，综上所述： .故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[50，60）､[60，70）､[70，80）､[80，90）､[90，100]分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中
信息，下列说法正确的是（ ）
A．图中的x值为0.020 B．这组数据的极差为50
C．得分在80分及以上的人数为400 D．这组数据的平均数的估计值为77
【答案】ACD
【解析】由 ，可解得 ，故选项A正确；
频率分布直方图无法看出这组数据的最大值和最小值，故选项B不正确；
得分在80分及以上的人数的频率为 ，
故人数为 ，故选项C正确；
这组数据的平均数的估计值为：
故选项D正确.
故选：ACD.
10．已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD【解析】由图可知 且 ，
，由图可知 ， ，
， ，
又 ，则 ，即 ，
又由图 ，则 ，即 ，则 ， .
故选：AD.
11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．
反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 ， 为
坐标原点，一束平行于 轴的光线 从点 射入，经过 上的点 反射后，再经过 上另一点
反射后，沿直线 射出，经过点 ，则（）
A．
B．延长 交直线 于点 ，则 ， ， 三点共线
C．
D．若 平分 ，则
【答案】AB
【解析】由题意知，点 ， ，如图：
将 代入 ，得 ，所以 ，则直线 的斜率 ，则直线 的方程为 ，即 ，
联立 ，得 ，解得 ， ，
又 时， ，则
所以 ，所以A选项正确；
又 ，所以C选项错误；
又知直线 轴，且 ，则直线 的方程为 ，
又 ，所以直线 的方程为 ，
令 ，解得 ，即 ， 在直线 上，
所以 ， ， 三点共线，所以B选项正确；
设直线 的倾斜角为 （ ），斜率为 ，直线 的倾斜角为 ，
若 平分 ，即 ，即 ，
所以 ，则 ，且 ，解得 ，
又 ，解得： ，所以D选项错误；故选：AB.
12．如图，棱长为2的正方体 中，点E，F，G分别是棱 的中点，则（ ）
A．直线 为异面直线
B．
C．直线 与平面 所成角的正切值为
D．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为9
【答案】BC
【解析】对于A，连接 ，
由题意可知 ，因为 ，所以 ，所以 共面，
故选项A错误；
对于B，连接 ，
由题意可知 ，所以 ，故选项B正确；
对于C，连接 ，
由正方体的性质可知 平面 ，所以 即为直线 与平面 所成的角，则
，故选项C正确；
对于D，连接 ，
根据正方体的性质可得 ，且 ，
所以平面 即为过点B，E，F的平面截正方体的截面，该四边形为梯形，其上底 ，下底为 ，
高为 ，所以截面面积为 ，故选项D错误；
故选：BC
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知平面向量 ， ，若 与 共线，则 .【答案】
【解析】 ， ，则 ，
，故 ，解得
14．六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则共有
种排法．
【答案】90
【解析】由于六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则排法
有 种．
15．已知函数 且 的图象过定点A，且点A在直线 上，则
的最小值是 .
【答案】
【解析】函数 且 的图象过定点 ，
则 ，所以 ，
由 ，得 ，
则
令 ，则 ，
则，
当且仅当 ，即 ，即 时，取等号，
所以 的最小值是 .
16．如图，已知抛物线C： ，圆E： ，直线OA，OB分别交抛物线于A，B两点，
且直线OA与直线OB的斜率之积等于 ，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为 ．
【答案】
【解析】设 ， ，设 ： ，又 ，∴ ，
∴ ，∴ ．
∴ ，∴ ，
∴直线AB恒过点 ，
由图结合圆的弦长公式可知，当圆心E到动直线AB的距离最大时，即当直线 时，弦长最短，此时弦 最小为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（本题满分10分）在① ，② 中任选一个作为已知条件，补充在下
列问题中，并作答．
问题：在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知______．
(1)求B；
(2)若 的外接圆半径为2，且 ，求ac．
注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】（1）选择条件①：
因为 ，在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，则 ，
因为 ，所以 .
选择条件②：
因为 ，在 中，由正弦定理可得 ，
即 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，所以 ，则 ，即 ，又 ，
所以 .因为 的外接圆半径 ，
所以由正弦定理可得 ，所以 .
18．（本题满分12分）已知数列 ， 满足 ， ， .
（1）证明： 是等比数列；
（2）求数列 的前 项和 .
【解析】（1）依题意， .
又 .
故 为首项 ，公比 的等比数列.
（2）由（1）可知 .
所以 .
①
②
①-②得
，
故 .
19．（本题满分12分）某市航空公司为了解每年航班正点率 对每年顾客投诉次数 （单位：次）的影
响，对近8年（2015年～2022年）每年航班正点率 和每年顾客投诉次数 的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.
(1)求 关于 的经验回归方程；
(2)该市航空公司预计2024年航班正点率为 ，利用（1）中的回归方程，估算2024年顾客对该市航空
公司投诉的次数；
(3)根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为 ，现从该市所有顾客中随机抽取4人，
记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为 ，求 的分布列和数学期望.
附：经验回归直线 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
【解析】（1） ，
则 ，
所以 ，
所以 ；
（2）当 时， ，
所以2024年顾客对该市航空公司投诉的次数为 次；
（3） 可取 ，
， ，
， ，，
所以分布列为
所以 .
20．（本题满分12分）如图所示，在梯形ABCD中， ， ，四边形ACFE为矩形，且
平面ABCD， ．
(1)求证： 平面BCF；
(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角为 ．
【解析】（1）证明：设 ，在梯形 中，过 分别作 的垂线，垂足分别为 ，
∵ ， ，所以 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，则 ．
∵ 平面ABCD， 平面ABCD，∴ ，而 ，CF， 平面BCF，
∴ 平面BCF．∵ ，∴ 平面BCF．
（2）以C为坐标原点，分别以直线CA，CB，CF为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设
，
则 ， ， ， ，
∴ ， ．
设 为平面MAB的法向量，
由 得 取 ，则
易知 是平面FCB的一个法向量，
∴ ，
∵ ，∴当 时，
即 与 重合时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角为 ．
21．（本题满分12分）已知椭圆 经过点 ，左顶点为 ，右焦点为 ，
已知点 ，且 ， ， 三点共线．
(1)求椭圆 的方程；(2)已知经过点 的直线l与椭圆 交于 ， 两点，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，求证：直线
过定点．
【解析】（1）解：由题意，将点 代入椭圆的方程，可得 ，
又由 是 轴上一点，且 三点共线，
可得所以 ，解得 ，
代入 ，可得 ，所以椭圆 的方程为 .
（2）解：当 时，此时直线 的方程为 ，
联立方程组 ，解得 或 ，可得 ，
此时 ，直线 的方程为 ，
当 时，同理可得 ，此时 ，
可得直线 的方程为 ，
由 ，解得 ，即两直线的交点为 ，
下面证明直线 经过 轴上定点 ．
设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，设 ，则 ，
所以直线 的方程： ．
令 ，可得
．
因为 ，
所以 ．
所以直线 过定点 ．
22．（本题满分12分）已知函数 （ ， ）
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若关于x的不等式 恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)因为 ，其定义域为
所以 ．
当 ，即 时， ，所以 在 上单调递增；
当 ，即 时，由 得： ，所以 在 上单调递增；
得： ，所以 在 上单调递减；综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
(2)因为 ， ，
所以 ，所以 在 上恒成立．
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增．
又 ， ，所以 在 上有唯一零点 ，使 ．
即 ，即 ，即 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 处取得极小值，也是最小值.
令 ， ，当 时， 恒成立，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，即 ，即 ．
所以 的最小值 ，
所以 ，即 ，所以实数m的取值范围是 ．
