文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用）
黄金卷02（文科）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D A B C C B D C B C D D
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．3 14．14 15． 16．
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．【答案】(1) ， ， (2) .
【详解】（1） 中位数为 75 ， ，
，.........................................................................................................................................2分
又 ，
，...........................................................................................................................................3分
则平均数为： ..............................................5分
（2）第四组与第五组人数的比为 ，
从第四组抽选4人，记为1,2,3,4，
从第五组抽选2人，记为 ，..........................................................................................................7分
所有基本事件为： ，
共15种，............................................................9分来自同一组的有: ，共7种情况，................................10分
故恰好来自同一组的概率 .........................................................................................................12分
18．【答案】(1) (2)
【详解】（1）由已知 ，根据正弦定理可得 ，................1分
因为 ，所以 ，故有 ，
则有 ，..................................................................................................................3分
因为 ，即 ，可知 ，可得 ，................................................5分
所以 ，则 ．....................................................................................................................6分
（2）在 中，根据余弦定理可得 ，
即 ，解得 或 （舍去），.............................................................................8分
由题意可知： ，
由面积关系可得 ，
则 ，.........................................................................10分
即 ，可得 ...........................................................................................................12分
19．【答案】(1)证明见解析(2) .
【详解】（1） ，
， .........................................................................................................1分
平面 平面 ，且交线为 ， 平面 ，平面 ，
平面 ， .......................................................................................................2分
连接 ， ，如图，
因为四边形 是边长为 的菱形， ，
所以 为等边三角形.
又因为 为 的中点，所以 ，.........................................................................................4分
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .............................................................................................................................6分
（2）设点 到平面 的距离为 ，则 ，
因为 ，所以 ，又由（1）知 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，...........................8分
又 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
又 ， ，
又由 ， ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，.........................................................................................................................10分
且 ， ，
所以 ，即 ，
所以点 到平面 的距离为 .................................................................................................12分
20．【答案】(1)答案见解析(2) 存在极小值点，且极小值点为【详解】（1） ， ， ，...................................................................1分
当 时， ， 在区间 上单调递增；...........................................................2分
当 ，且 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.................................................................................4分
综上，当 时， 在区间 上单调递增；
当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增..................................5分
（2）当 时， ， ，故 .
令 ， ，所以 ，........................................................................6分
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增...................................................................................8分
又 ， ， ，
故 ，使得 .
当 时， ， ， 单调递增；
当 时， ， ， 单调递减；................................................................10分
当 时， ， ， 单调递增，
故 存在极小值点，且极小值点为 ......................................................................................12分21．【答案】(1) (2)存在，
【详解】（1）因为 ，所以 .
所以椭圆 的方程为 .......................................................................................................2分
因为点 在椭圆 上，所以 ，解得 ，
所以 ............................................................................................................................................4分
所以椭圆 的标准方程为 .................................................................................................5分
（2）存在定点 ，使 .理由如下：
由（1）知， ，则点 .
设在 轴上存在定点 ，使 成立......................................................................6分
当直线 斜率为 时，直线右焦点 的直线 即 轴与 交于长轴两端点，
若 ，则 ，或 .....................................................................................7分
当直线 斜率不为 时，设直线 的方程为 ，.
由 消去 并整理，得 ，
则 ....................................................................................................9分
因为 ，所以 ，
所以 ，即 .所以 ，
即 ，
恒成立，...........................................................................11分
即对 ， 恒成立，则 ，即 .
又点 满足条件 .
综上所述，故存在定点 ，使 .........................................................................12分
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．【答案】(1)曲线 的普通方程为 ；曲线 的直角坐标方程为
(2)
【详解】（1）已知曲线 （ 为参数），
则 ，由 消参得 ，
则曲线 的普通方程为 ．.................................................................................................2分
由曲线 的极坐标方程为 ，变形得 ，............................................................................................3分
即 ，且满足 ，
由互化公式 ，得 ，即 .
故曲线 的直角坐标方程为 ．.......................................................................................5分
（2）由于 在直线l上，
可设直线l的参数方程的标准形式为 （t为参数），
代入曲线 ，
化简得 ， ，............................................................................................7分
设A，B对应的参数分别为 ， ，
则 ， ，................................................................................................................8分
由于 ，故 ，
所以 .
故 的值为 .....................................................................................................................10分
选修4-5：不等式选讲
23．【答案】(1)
(2)证明见解析【详解】（1） ................................................................1分
∴ 或 或 ，..................................................................3分
解得 或 或 ，
∴不等式的解集为 ；...........................................................................................5分
（2）证明：由 ，可得 的最小值为 ，...........................................6分
则 ， ，
∴
，当且仅当 时，等号成立，.............................................9分
∴ ．.................................................................................................................10分
