文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用）
黄金卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B C D A C D B C D B C C
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．7 14． 15． 16．
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 【答案】(1)
(2)随机变量 的分布列见解析；期望为
【详解】（1）记“至少有一人进入面试”为事件 ,由已知得: ,...........................1分
所以 ,..............................................................3分
则 ,.......................................................................................4分
即这 人中至少有一人进入面试的概率为 .............................................................................5分
（2） 的可能取值为 ,.............................................................................................................6分
,,
,
,......................................................................................................................9分
则随机变量 的分布列为：
.................................................................................................................................................................11分
, ...........................................................................................12分
18.【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由余弦定理可得： ，则 ，
，则 ，.............................................................................1分
所以 ，................................................3分
∵ ，∴ ，.......................................4分
∵ ，∴ ......................................................................................................................5分
∵ ，∴ ..........................................................................................................................6分
（2） ....................................................8分..............................................................................................................................10分
∵ ，∴ ，∴
∴ ，∴ ..............................................................................................12分
19．【答案】(1)证明见解析
(2) ．
【详解】（1）
连接 ,
因为四边形 为正方形，所以 ．.............................................................................1分
在直三棱柱 中，平面 平面 ，
由 得 ，又平面 平面 ，所以 平面 ，....2分
又 平面 ，所以 ，.........................................................................................3分
又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，................4分
又 平面 ，所以 .......................................................................................................................................5分
（2）以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
.................................................................................................................................................................6分
设 ，则 ， ， ， ，
， ， ．
设 为平面ABD的一个法向量，
则 ，即 ，得 ，令 ，则 ，
故 ，................................................................................................................................8分
由题意， ，解得 ，.................................................................................9分
所以 ， ．
设 为平面BCD的一个法向量，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，即 ，.................................................................................10分
平面ABC的一个法向量为 ，设平面 和平面 的夹角为 ，
则 ，....................................................................................11分
所以 ，
所以平面 和平面 的夹角的正弦值为 ．.....................................................................12分
20．【答案】(1)
(2) ，理由见解析
【详解】（1）设椭圆 的方程为 ，则
由椭圆的定义及 的周长为6，知 ①，....................................................................1分
由于 为椭圆 上异于左､右顶点的任意一点，得 到 轴距离最大为 ，
因为 的面积的最大值为 ，
所以 ②，..............................................................................................................2分
又 ③，.................................................................................................................................3分
联立①②③，得 ，
所以椭圆 的方程为 .........................................................................................................4分
（2） 为定值 ，理由如下：.................................................................................................5分
根据已知条件作出图形如图所示,设 ，则 ，
因为 在椭圆内部，则直线 与椭圆一定有两交点，
联立 消去 得： ，.................................................................7分
，......................................................................................................8分
又 ，且 ，
所以 ，同理 ....................................................................................................10分
所以 .
所以 为定值 ...........................................................................................................................12分
21．【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）由题设 ，则，.........................................1分
若 ，则 ， ，可得 ， 递增；
若 ，则 ， ，可得 ， 递减；.........................................3分
又 ，
综上， ，值域为 .....................................................................................4分
（2）由 ， ，则 ，.............................................5分
令 ， ，则 ，且 ，
当 ， ，（舍）；..........................................6分
当 ，则 ，故 ，
令 ，则
，
又 ，对于 ，有 ，即 递增，
所以 ，故 恒成立，......................................................................8分
所以 ，即 在 上递增，又 ，则 ，
所以 在 上递增，又 ，即 ， ，符合题意；当 ，令 ，则 ， ，........................10分
所以 （舍）；.11分
综上，正整数a的取值集合 ..........................................................................................................12分
【点睛】关键点点睛：第二问，问题化为 在 上恒成立，再分类讨
论参数并结合导数研究函数值的符号，再 时令 ，构造出 为关键.
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．【答案】(1)曲线 的普通方程为 ；曲线 的直角坐标方程为
(2)
【详解】（1）已知曲线 （ 为参数），
则 ，由 消参得 ，
则曲线 的普通方程为 ．.................................................................................................2分
由曲线 的极坐标方程为 ，
变形得 ，............................................................................................3分
即 ，且满足 ，由互化公式 ，得 ，即 .
故曲线 的直角坐标方程为 ．.......................................................................................5分
（2）由于 在直线l上，
可设直线l的参数方程的标准形式为 （t为参数），
代入曲线 ，
化简得 ， ，............................................................................................7分
设A，B对应的参数分别为 ， ，
则 ， ，................................................................................................................8分
由于 ，故 ，
所以 .
故 的值为 .....................................................................................................................10分
选修4-5：不等式选讲
23．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1） ................................................................1分∴ 或 或 ，..................................................................3分
解得 或 或 ，
∴不等式的解集为 ；...........................................................................................5分
（2）证明：由 ，可得 的最小值为 ，...........................................6分
则 ， ，
∴
，当且仅当 时，等号成立，.............................................9分
∴ ．.................................................................................................................10分
