文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考II 卷专用）
黄金卷03·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C B B B B D A C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
BC ABD ABC ACD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．1 14． 15．（答案不唯一，也满足） 16．6
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【答案】(1)所选条件见解析，；
(2).
【详解】（1）选（1），则，
所以，而，则，
所以 ；
选（2），则，
所以，而，则；
选（3），则，，
所以，
所以，则，
而，则.
（2）由，则，故，，即，
结合（1）易知：为顶角为的等腰三角形，如下图，是中点，的外接圆周长为，若外接圆半径为，则，
所以，而，
所以，
则 ，即求边上的中线长为.
18．（12分）
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：由，当时，可得；
当时，，所以，
∴时，，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列；
∴，∴.
（2）证明：由（1）知，，∴，
∴，
∴,
因为，所以，所以即成立．
所以对任意的正整数，都有得证.
19．（12分）
【答案】(1)全省火炬手性别与年龄满或未满50周岁相互独立（没有关联）
(2)
【详解】（1）解：零假设为：：全省火炬手性别与年龄满或未满50周岁相互独立（没有关联），
根据列联表中的数据，计算得，
所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认定为成立，
全省火炬手性别与年龄满或未满50周岁相互独立（没有关联）．
（2）解：设表示火炬手为男性，表示火炬手喜欢足球，
则，
所以这位火炬手是男性的概率约为．
20．（12分）【答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）
连接,
因为四边形为正方形，所以．
在直三棱柱中，平面平面，
由得，又平面平面，
所以平面，又平面，所以，
又，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以.
（2）以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，．
设为平面ABD的一个法向量，
则，即，得，令，则，
故，
由题意，，解得，
所以，．设为平面BCD的一个法向量，
则，即，
令，则，，即，
平面ABC的一个法向量为，
设平面和平面的夹角为，
则，
所以，
所以平面和平面的夹角的正弦值为．
21．（12分）
【答案】(1)
(2)或或
【详解】（1）由题知，，所以双曲线的渐近线方程为．
（2）双曲线的右焦点坐标为，
由题知，直线AB的斜率不为0，设直线方程为，代入双曲线中，
化简可得：，
设,则．
则
∴线段中点的坐标为，
直线方程为．
（i）当时，点恰好为焦点，此时存在点或，使得．
此时直线方程为．
（ii）当时，令可得，可得点的坐标为，
由于所以，
由，即，也即：．
化简可得，解出，
由于直线要交双曲线右支于两点，所以，即，故舍去．
可得直线的方程为．
综上：直线方程为或或．
22.（12分）22．（12分）
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
则在点处的切线斜率为，
所以切线方程为，即.
由得，即.
因为函数定义域为，所以方程有非零实数根，
当时，，符合题意，当时，则，即，且，
所以实数a的取值范围是.
（2）因为函数和函数的图象没有公共点，所以，即无实根，
所以当时，无实根，
因为，即是偶函数，所以在上无实根.
，
记则，.
①当时，，又，则，所以，满足在上无实根.
②当时，在上有实根，不合题意，舍去.
③当时，，所以在单调递增，
则，所以在上单调递增，
所以，满足在上无实根.
④当时，因为在单调递增，且，，
则存在唯一的，使，列表得
- 0 +
↘ 极小值 ↗
所以当时，，则在单调递减，则，又因为，且在上连续，
所以在上有实根，不合题意.
综上可知，实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．
注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问
题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨
论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这
种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
