文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考II 卷专用）
黄金卷04·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C C B C D D A C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
AD AD ABD ACD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15． 和 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用等差数列通项和求和公式可构造方程组求得 ，由此可得通项公式；
（2）由（1）可得 ，采用裂项相消法可求得 ，进而分析得到结论.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得： ，.
（2）由（1）得： ，
，
， .
18．（12分）
【答案】(1)
(2)证明见解析，直线 到平面 的距离为
【分析】（1）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果；
（2）根据 ，由线面平行的向量证明可得结论；将所求距离转化为点 到平面 的距离，由点
面距离的向量求法可求得结果.
【详解】（1）以 为坐标原点， 正方向为 轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标
系，则 ， ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，解得： ， ， ，
，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（2）由（1）知： ， ， ， ，
， ，
又 平面 ， 平面 ，
直线 到平面 的距离即为点 到平面 的距离，设该距离为 ，
则 ，即直线 到平面 的距离为 .
19．（12分）【答案】(1)
(2)27
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）根据 求出 的关系，再利用基本不等式即可得解.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得 ，即 ，
，
所以 ，
又 ，所以 ；
（2）由 ，得 ，
因为 ，
所以 ，
即 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 ．20．（12分）
【答案】(1)
(2)详见解析
【分析】（1）应用全概率公式计算可得出 ；
（2）计算得出 ，结合等比数列的定义可证得结论成立；再结合分组求和计算判断最
少轮数即可.
【详解】（1）
（2）
,
,
,
为等比数列, 且公比为 ； .
,因为 单调递增，
当n为奇数时， ，所以得获
奖至少要玩9轮.
当n为偶数时， ，得奖至
少要玩10轮，
所以平均至少要玩9轮才可能获奖.
21．（12分）
【答案】(1)
(2)是定值，定值为2
【分析】（1）利用离心率求得 之间的关系，结合点在椭圆上，解方程即可得答案；
（2）设出直线方程，联立椭圆方程，得到根与系数的关系，利用直线 的倾斜角互补，可得
，结合根与系数关系化简即可得结论.
【详解】（1）设椭圆 的标准方程为 ，
由题意知 ，
故椭圆的标准方程又为 ，即 ，
又椭圆过点 ， ，
椭圆的标准方程为 ；
（2）由题意可知直线 的斜率存在且不过点 ，设直线 的方程为 ， ，
由 ，消去 整理得 ，
需满足 ，则 ， ，
直线 的倾斜角互补， ，
，
，
将 ， 代入得 ，
整理得 ，而 ，
，
所以直线 的斜率为定值，其定值为2.
【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆位置关系中的定值问题，解答的难点在于
定值问题，解答时困难在于计算的复杂性，且都是关于字母参数的计算，计算量较大，要十分细心才可以.
22．（12分）
【答案】(1)
(2)【分析】（1）利用导数几何意义可求得切线斜率 ，结合 可得切线方程；
（2）方法一：构造 ，将问题转化为 恒成立；利用导数和零点存在定理可说
明 的单调性，得到 ；令 ，利用导数可得 单调性，从而确定
的范围，再次构造函数 ，利用导数可求得 的范围，即为所求的 的取值范围；
方法二：采用同构法，将恒成立的不等式化为 ，构造函数 ，
利用导数求得 单调性，从而得到 ，采用分离变量法可得 ，令
，利用导数可求得 ，由此可得 的取值范围；
方法三：由恒成立不等式可确定 ，构造函数 ，利用导数可求得 的单
调性，结合 可求得 的范围为 ；通过证明当 时， 恒成立和 时，不
等式不恒成立可得到最终范围.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
，又 ，
在 处的切线方程为： ，即 .
（2）方法一：令 ，则 恒成立，
的定义域为 ， 且 ；
令 ，则 ，
在 上单调递增，即 在 上单调递增，又 ， ，
，使得 ，且当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
，
由 得： ， ， ，
，
，即 ，
令 ，则 在 上单调递减，
又 ， ， ，
设 ，则 ，
在 上单调递增， ， ，
又 ， 的取值范围为 .
方法二：由 得： ，
，
当 时， 在 ， 时恒成立， ；
当 时，设 ，则 ，
， 在 上单调递增，，即 ， ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增， ，
，又 ， ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
方法三： 定义域为 ， 恒成立， 必然成立；
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，当 时， ，
当 时， ；
下面证明：当 时， 恒成立.
， ，
，
令 ，则 ，
令 ，则 ， 在 上单调递增，
当 时， ， ，
当 时， ；当 时， ；在 上单调递减，在 上单调递增， ，
恒成立，即 恒成立；
当 时， ， ，
，使得 ，且当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增， ，
由 得： ， ，
，
， ， ， ，
恒成立，即 恒成立；
当 时， ，显然不满足 恒成立；
综上所述：实数 的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：本题重点考查了导数中的恒成立问题的求解；本题求解恒成立的基本方法有：
1.通过直接构造函数的方式，将问题转化为含参数函数的单调性的讨论和最值的求解问题，利用最值求得
参数的取值范围；
2.采用同构法，将问题转化为同一函数的不同函数值的大小关系的问题，从而通过求解函数的单调性得到
自变量的大小关系；
3.采用由特殊到一般的思路，通过特殊位置必然成立的思路得到 的一个取值范围，再证明在此范围时不
等式恒成立，并通过反例说明不在此范围时不等式不恒成立来得到最终范围.
