文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考II 卷专用）
黄金卷04
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．设集合 ， ，若集合 ，则集合
P的真子集的个数为（ ）．
A．63个 B．64个 C．31个 D．32个
【答案】C
【分析】根据题意得到 ，然后根据集合 中元素的个数求真子集的个
数即可.
【详解】 ， ，所以 ,
因为集合 中有5个元素，所以真子集的个数为 个.
故选：C.
2．已知a，b， ，则“ ”的必要不充分条件可以是下列的选项（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用不等式性质进行推导，结合取值验证可得.
【详解】A选项：取 ，满足 ，但 ，所以 不是 的必要条件，A错误；
B选项：若 ， ，则 ，所以 不是 的必要条件，B错误；
C选项：若 ， ，则 ，若 ，则 ，则有 ，所以， 是 的必要
条件；
取 ，显然满足 ，但 ，所以 不是 的充分条件.
综上， 是 的必要不充分条件，C正确；D选项：取 ，显然满足 ，但 ，所以 不是 的充分条件，D错误.
故选：C
3．已知边长为2的菱形 中， ，点E是BC上一点，满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，得到点的坐标，根据 求出 ，从而利用平面向量数量
积公式求出答案.
【详解】以 为坐标原点， 所在直线为 轴，垂直于 轴的直线为 轴，建立平面直角坐标系，
则 ，设 ，
则 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
故 ，
则 .故选：B
4．五岳是中国汉文化中五大名山的总称，分别为东岳泰山、西岳华山、中岳嵩山、北岳恒山、南岳衡山.
某旅游博主为领略五岳之美，决定用两个月的时间游览完五岳，且每个月只游览五岳中的两大名山或三大
名山（五岳只游览一次），则恰好在同一个月游览华山和恒山的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合组合计数知识，由分类与分步计数原理分别计算样本空间与事件包含的样本点个数，再应用
古典概型概率公式求解即可.
【详解】由题意，确定一个月的游览方案，则另一个月游览其余名山即可.
该旅游博主游览五岳可分两类方法：
第一类，第一个月游览两大名山，从五大名山中任选两大名山，有 种方法；
第二类，第一个月游览三大名山，从五大名山中任选三大名山，有 种方法；
由分类计数原理可得，共有 种方法.
设 “该旅游博主恰好在同一个月游览华山和恒山”，可分两步完成这件事：
第一步，从两个月中选一个月游览华山和恒山，有 种方法；
第二步，确定游览华山和恒山的这个月的游览方案，分为两类：
若该月只游览两大名山，则只有 种方法；
若该月浏览三大名山，则再从其余三大山中任取一大山游览，有 种方法，
则第二步共有 种方法；
由分步计数原理，则完成事件 共有 种方法.
由古典概型概率公式得 .
故选：C.
5．已知 ，且 ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据倍角公式可得 ，进而可得 ，利用诱导公式逐项分析判断.
【详解】因为 ，可得 ，解得 或 ，
又因为 ，则 ，可得 .
对于选项A： ，故A错误；
对于选项B： ，故B错误；
对于选项C： ，故C错误；
对于选项D： ，故D正确；
故选：D.
6．函数 是定义在 上的奇函数，且 在区间 上单调递增，若关于实数 的不等式
恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】首先得出 是偶函数，把不等式化为 ，结合函数的单调性与奇偶性，得到
，求解不等式即可．
【详解】因为函数 是定义在 上的奇函数，
即 ，当 时 ，又 有意义，
所以 是定义域 上的偶函数，
又因为 在区间 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
则 或 ，解得 或 ，
所以 的取值范围是 ．
故选：D．
7．已知抛物线 的焦点为F，准线为l，A，B为C上两点，且均在第一象限，过A，B作
l的垂线，垂足分别为D，E.若 ， ，则 的外接圆面积为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由抛物线的定义及平行线的性质可得 ，结合同角三角函数的平方关系及二倍角公
式可得 ，进而由正弦定理可求得结果.
【详解】如图所示，由抛物线的定义可知 ， ，
所以 ， ，
所以 ，故 ，
易知 为锐角，且由 可知 ，
所以 .
设 的外接圆半径为R，由正弦定理可知 ，
又 ，所以 ，
所以 的外接圆面积为 .
故选：A.
8．已知函数 ，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得 ，构造函数 ，求导即可得到其最大值，从
而得到结果.
【详解】由 ，得 ，即 .因为 ，则 ，当 时， ，所以 在 上单调递增，所以
，则 .令 ，则 ，所以 在 上单调递增，在
上单调递减 .
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．设函数 ，若 在 有且仅有5个极值点，则（ ）
A． 在 有且仅有3个极大值点 B． 在 有且仅有4个零点
C． 的取值范围是 D． 在 上单调递增
【答案】AD
【分析】根据三角函数的极值点（也即最值点）的性质，求出极值点，然后根据条件，结合图像列出关于
的不等式组，解出 的范围，然后再逐一判断每个选项.
【详解】作出 的草图如下：
的极值点满足 ，即 ，
因为 在 有且仅有5个极值点，所以 ，则需 ，且 ，解得 ，故C错误；
因为 ，则由图可知 时， 是在 上的第一个极大值点，
根据正弦型三角函数的图像规律可知，极大值点与极小值点总是交替出现的，
时是 的两个极大值点，另外两个为极小值点，故A正确；
如图可知，在 点之前已有4个零点， 也可能落在 点的右侧，
从而使 在 上有5个零点，故B错误；
当 时， 的周期最小，此时第一个极大值点为 ，
而 在 上单调递增，故 在 上单调递增，故D正确.
故选：AD
10．已知一元二次不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．不等式解集 的充要条件为
B．若 ，则关于 的不等式 的解集也为
C．若 ，则关于 的不等式 的解集是 ，或
D．若 ，且 ，则 的最小值为8
【答案】AD
【分析】根据一元二次不等式的求解方法以及一元二次函数的图象，对选项逐一分析，求得结果.
【详解】解：选项A：不等式 解集 ，
等价于一元二次函数 的图象没有在 轴上方的部分，故等价于 ，所以选项A正确；
选项B：取值 ， ，此时能满足 ，
而 的解集为 ，或 ， 的解集为 ，故B选项错误；
选项C：因为一元二次不等式 的解集为 ，
所以得到 与 是 的根且 ，
故有 ，解得 ，
所以不等式 即为 ，
等价于不等式 的解集 ，所以选项C错误；
选项D：因为 ，所以 ，即 ，
令 ，
所以
，当且仅当 即 取“=”，选项D正确.
故选：AD.
11．如图,在正方体 中, , 为线段 上的动点,则下列说法正确的是（ ）A．
B． 平面
C．三棱锥 的体积为定值
D． 的最小值为
【答案】ABD
【分析】对于A,由线面垂直的判定定理证明 平面 即可;对于B,根据面面平行的判定定理证明平
面 平面 即可;对于C,根据线面平行将点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离,再
利用等体积法求解即可;对于D,将平面 和平面 沿直线 展开为一个平面,利用余弦定理求解即
可判断.
【详解】对于A,连接 ,如图:
平面 , 平面 ,,
又 平面 , 平面 ,
平面 ,
平面 ,
,
连接 ,同理可得 ,
平面 , 平面 ,
平面 ,
平面 ,
,故A正确;
对于B,连接 ,如图:
,
四边形 为平行四边形,
,
平面 , 平面 ,平面 ,
同理四边形 为平行四边形,
,
平面 , 平面 ,
平面 ,
, 平面 , 平面 ,
平面 平面 ,
平面 ,
平面 ,故B正确;
对于C,如图:
由B知 ,
平面 , 平面 ,
平面 ,
点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离,,故C错误;
对于D,将平面 和平面 沿直线 展开为一个平面,如图:
,
,
,
,
,
即 的最小值为 ,故D正确.
故选:ABD.
12．已知定义在 上的函数 满足 且 ，则（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 为周期函数
【答案】ACD
【分析】由条件等式通过取特殊值求 ， 判断A，B；再推理分析函数的奇偶性、周期性判断CD.【详解】依题意， ， ，
取 ，得 ，又 ，则 ，A正确；
取 ，得 ，则 ，B错误；
取 ，得 ，而 ，即 ，
于是 ，有 ，则 为偶函数，C正确；
即 ，得 ，即 ，
有 ，于是 ，即有 ，
因此 ，所以 为周期函数，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值，再不
断变换求解即可.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知 是复数 的共轭复数，则 ，则
【答案】
【分析】设 ，用复数的运算，算得 ，再计算 即可.
【详解】设 ，则 ，
，则 .
故答案为： .
14．已知圆 的圆心位于第三象限且在直线 上，若圆 与两个坐标轴都相切，则圆 的标准方程是 ．
【答案】
【分析】根据几何性质求出圆心的坐标和半径，即可求出圆 的标准方程.
【详解】由题意，在圆 中，圆心位于第三象限且在直线 上，
设圆心为 ，半径为 ，
∵圆 与两个坐标轴都相切，
∴圆心到两坐标轴的距离相等， ，解得： ，
∴ ，
∴圆 的标准方程为 .
故答案为： .
15．设函数 ，若 为奇函数，则曲线 过点 的切线方程为
．
【答案】 和
【分析】由奇函数的概念求出 ，再由导数的几何意义设出切线方程后将点坐标代入求解．
【详解】因为 为奇函数， ，得 ，
， ，
设切点 ，则切线方程为 ，
又切线过点 ，代入得
解得 或 ．当 时，切点为 ，切线方程为 ；
当 时，切点为 ，切线方程为 ．
故答案为： 和16．已知双曲线 的离心率为2，左、右焦点分别为 、 ，且 到渐近线的距离为
3，过 的直线与双曲线C的右支交于 、 两点， 和 的内心分别为 、 ，则 的最
小值为 .
【答案】
【分析】求出双曲线的方程，根据 与 的内心性质得到关系式 和点 的横
坐标，设出直线 的倾斜角，得到 的表达式，即可求出 的取值范围，则得到其最小值.
【详解】由题意， ，
已知焦点到渐近线的距离为3，
由对称性，不妨设焦点为 ，渐近线 ，即 ，
则焦点 到渐近线 的距离为 ，
又 离心率为2，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴双曲线的方程为 .
记 的内切圆在边 ， ， 上的切点分别为 ，
则 ， 横坐标相等，且 ， ， ，
由 ，即 ，得 ，即 ，
由双曲线定义知点 双曲线右支上，且在 轴上，则 ，即内心 的横坐标为 .
同理内心 的横坐标也为 ，故 轴.
设直线 的倾斜角为 ，则 ， （ 为坐标原点），
在 中，
，
由于直线 与双曲线 的右支交于两点，
且 的一条渐近线的斜率为 ，倾斜角为 ，
∴ ，即 ，
∴ 的范围是 ，
当 时，即直线 垂直于 轴时，取到最小值 .
故答案为： .
【点睛】双曲线焦点三角形内切圆问题结论点睛：
双曲线上一点与两焦点若构成三角形，则焦点三角形 的内切圆与实轴相切于实轴顶点，当 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当 点在双曲线右支时，切点为右顶点.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．已知数列 为等差数列，且 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用等差数列通项和求和公式可构造方程组求得 ，由此可得通项公式；
（2）由（1）可得 ，采用裂项相消法可求得 ，进而分析得到结论.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得： ，
.
（2）由（1）得： ，
，
， .18．已知正四棱柱 中， ， ， 为线段 的中点， 为线段 的中点．
(1)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)证明：直线 平面 并且求出直线 到平面 的距离．
【答案】(1)
(2)证明见解析，直线 到平面 的距离为
【分析】（1）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果；
（2）根据 ，由线面平行的向量证明可得结论；将所求距离转化为点 到平面 的距离，由点
面距离的向量求法可求得结果.
【详解】（1）以 为坐标原点， 正方向为 轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标
系，则 ， ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，解得： ， ， ，
，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（2）由（1）知： ， ， ， ，
， ，
又 平面 ， 平面 ，
直线 到平面 的距离即为点 到平面 的距离，设该距离为 ，
则 ，即直线 到平面 的距离为 .
19．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ．
(1)求角A的大小；
(2)若D为BC上一点， ， ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)27
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；（2）根据 求出 的关系，再利用基本不等式即可得解.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得 ，即 ，
，
所以 ，
又 ，所以 ；
（2）由 ，得 ，
因为 ，
所以 ，
即 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 ．
20．某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：
该游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且游戏结束：否则继续游戏，
直至10轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是 ，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是 ，若上一次失败则下一次成功的概率是 ．记消费者甲第 次获胜的概率为 ，数列 的前 项和 ，且
的实际意义为前 次游戏中平均获胜的次数．
(1)求消费者甲第2次获胜的概率 ；
(2)证明： 为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖．
【答案】(1)
(2)详见解析
【分析】（1）应用全概率公式计算可得出 ；
（2）计算得出 ，结合等比数列的定义可证得结论成立；再结合分组求和计算判断最
少轮数即可.
【详解】（1）
（2）
,
,
,
为等比数列, 且公比为 ； .,
因为 单调递增，
当n为奇数时， ，所以得获
奖至少要玩9轮.
当n为偶数时， ，得奖至
少要玩10轮，
所以平均至少要玩9轮才可能获奖.
21．已知椭圆 的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在 轴上，离心率 ，且过点 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆交于 两点，且直线 的倾斜角互补，判断直线 的斜率是否为定值？若是，
求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值，定值为2
【分析】（1）利用离心率求得 之间的关系，结合点在椭圆上，解方程即可得答案；
（2）设出直线方程，联立椭圆方程，得到根与系数的关系，利用直线 的倾斜角互补，可得
，结合根与系数关系化简即可得结论.【详解】（1）设椭圆 的标准方程为 ，
由题意知 ，
故椭圆的标准方程又为 ，即 ，
又椭圆过点 ， ，
椭圆的标准方程为 ；
（2）由题意可知直线 的斜率存在且不过点 ，
设直线 的方程为 ， ，
由 ，消去 整理得 ，
需满足 ，则 ， ，
直线 的倾斜角互补， ，
，
，
将 ， 代入得 ，
整理得 ，而 ，，
所以直线 的斜率为定值，其定值为2.
【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆位置关系中的定值问题，解答的难点在于
定值问题，解答时困难在于计算的复杂性，且都是关于字母参数的计算，计算量较大，要十分细心才可以.
22．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)当 ，若不等式 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数几何意义可求得切线斜率 ，结合 可得切线方程；
（2）方法一：构造 ，将问题转化为 恒成立；利用导数和零点存在定理可说
明 的单调性，得到 ；令 ，利用导数可得 单调性，从而确定
的范围，再次构造函数 ，利用导数可求得 的范围，即为所求的 的取值范围；
方法二：采用同构法，将恒成立的不等式化为 ，构造函数 ，
利用导数求得 单调性，从而得到 ，采用分离变量法可得 ，令
，利用导数可求得 ，由此可得 的取值范围；
方法三：由恒成立不等式可确定 ，构造函数 ，利用导数可求得 的单
调性，结合 可求得 的范围为 ；通过证明当 时， 恒成立和 时，不等式不恒成立可得到最终范围.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
，又 ，
在 处的切线方程为： ，即 .
（2）方法一：令 ，则 恒成立，
的定义域为 ， 且 ；
令 ，则 ，
在 上单调递增，即 在 上单调递增，
又 ， ，
，使得 ，且当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
，
由 得： ， ， ，
，
，即 ，
令 ，则 在 上单调递减，
又 ， ， ，
设 ，则 ，在 上单调递增， ， ，
又 ， 的取值范围为 .
方法二：由 得： ，
，
当 时， 在 ， 时恒成立， ；
当 时，设 ，则 ，
， 在 上单调递增，
，即 ， ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增， ，
，又 ， ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
方法三： 定义域为 ， 恒成立， 必然成立；
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，当 时， ，
当 时， ；下面证明：当 时， 恒成立.
， ，
，
令 ，则 ，
令 ，则 ， 在 上单调递增，
当 时， ， ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增， ，
恒成立，即 恒成立；
当 时， ， ，
，使得 ，且当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增， ，
由 得： ， ，
，
， ， ， ，
恒成立，即 恒成立；
当 时， ，显然不满足 恒成立；综上所述：实数 的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：本题重点考查了导数中的恒成立问题的求解；本题求解恒成立的基本方法有：
1.通过直接构造函数的方式，将问题转化为含参数函数的单调性的讨论和最值的求解问题，利用最值求得
参数的取值范围；
2.采用同构法，将问题转化为同一函数的不同函数值的大小关系的问题，从而通过求解函数的单调性得到
自变量的大小关系；
3.采用由特殊到一般的思路，通过特殊位置必然成立的思路得到 的一个取值范围，再证明在此范围时不
等式恒成立，并通过反例说明不在此范围时不等式不恒成立来得到最终范围.
