文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考七省专用）
黄金卷02·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A D C C D B C C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
BCD ABD AC AC
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．112 14． 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 ，所以由正弦定理可得 ．
又 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
又 ，所以 ， ．（2） 的面积 ，则 ．
由余弦定理： ，得 ，
所以 ，故 的周长为 ．
18．（12分）
【答案】(1)证明见解析
(2) ，
【解析】（1）由 可得 ，
又 ，可得 为定值，
所以数列 是以3为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1）可知， ，可得 ，
即数列 的通项公式为
所以数列 的前 项和为
．
即 .
19．（12分）
【答案】(1)棱PB上存在点N， ；(2)
【解析】（1）如图，分别延长BA与CD的延长线交于点E，连接PE，过点M在平面BEP内作直线
，交BE于点F，BP于点N，
因为 ， 平面PDC，所以 平面PDC，
因为 ， ，所以A，D分别为线段BE，CE的中点，
又 ，M为AP的中点，所以F为线段AE的中点，所以 ．
综上，棱PB上存在点N，使 平面PDC，且 ．
（2）设 ，又 ， ，所以 ， ，
又 ，所以 和 为等边三角形，
设O为CD的中点，连接OP，OB，则 ， ， ，
又平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面PDC， 平面ABCD，
又 平面ABCD， ，
综上，OP，OB，OC两两垂直．
以O为坐标原点， ， ， 的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则 ， ， ， ， ， ，
， ， ，
设平面MDC的法向量为 ，
则 即 可取 ，
设平面MDB的法向量为 ，
则 即 可取 ，
所以 ，
故二面角 的正弦值为 ．
20．（12分）
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为
(2)① ， ， ；② ，
【解析】（1） 的所有可能取值为1，2，3.则
； ； .
所以随机变量 的分布列为：
1 2 3数学期望 .
（2）若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且 次传球后球在甲手中的概率为 .
则有 .
记 表示事件“经过 次传球后，球在甲手中”.
所以
.
即 .
所以 ，且 .
所以数列 表示以 为首项， 为公比的等比数列.
所以 ， .
即 次传球后球在甲手中的概率是 .
21．（12分）
【答案】(1) ；
(2)证明见解析，定值为 .
【解析】（1）设椭圆方程为 ，则 ，解得 ，
所以椭圆的方程为 ．（2）设 ， ，
则 ，由 ，得 ，而 ，于是 ，
，同理 ，而 ，于是
，
则 ，
，
令 ，而 是椭圆上的动点，则 ，得 ，
于是 ，
所以存在 和 ，使得 是定值，且定值为 .
22．（12分）
【答案】(1)答案见解析
(2)证明过程见解析
【解析】（1）对 求导得， ，分以下
两大情形来讨论 的单调性：情形一：当 时，有 ，令 ，解得 ，
所以当 时，有 ，此时 单调递减，
当 时，有 ，此时 单调递增；
所以 在 单调递减，在 单调递增；
情形二：当 时，令 ，解得 ，
接下来又分三种小情形来讨论 的单调性：
情形（1）：当 时，有 ，此时 随 的变化情况如下表：
由上表可知 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
情形（2）：当 时，有 ，此时 ，所以此时 在 上单调递
增；
情形（3）：当 时，有 ，此时 随 的变化情况如下表：由上表可知 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
综上所述：当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）因为 ，所以由题意 ，
又因为 在区间 上存在唯一零点 ，
所以存在唯一的 ，有 ，化简得 ，
若要证明 ，则只需 ，即只需 ，
不妨设 ，求导得 ，
令 ，继续求导得 ，
所以当 时， 单调递增，
所以 ，
所以当 时， 单调递增，所以 ，
即当 时，有不等式 成立，
综上所述：若 在区间 上存在唯一零点 ，则 .
