文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考七省专用）
黄金卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．设 ， ， ， ，则 是 的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】由向量 ，
当 时，可得 ，解得 ；
当 时，可得 ，解得 ，
所以 是 的充分不必要条件.
故选：A.
2．已知复数 是方程 的一个根，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由复数 是方程 的一个根，
得 ，
解得 ，
故选：D.
3．已知 ，若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ，
故选：C
4．如图，在一个单位正方形中，首先将它等分成4个边长为 的小正方形，保留一组不相邻的2个小正方
形，记这2个小正方形的面积之和为 ；然后将剩余的2个小正方形分别继续四等分，各自保留一组不相
邻的2个小正方形，记这4个小正方形的面积之和为 ．以此类推，操作 次，若 ，
则 的最小值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【解析】由题意可知操作1次时有 个边长为 的小正方形，即 ，
操作2次时有 个边长为 的小正方形，即 ，
操作3次时有 个边长为 的小正方形，即 ，以此类推可知操作 次时有 个边长为 的小正方形，即 ，
由等比数列前 项和公式有 ，
从而问题转换成了求 不等式的最小正整数解，
将不等式变形为 ，注意到 ， ，且函数 在 上
单调递减，
所以 的最小值是11.
故选：C.
5．如图，A，B，C三个开关控制着1，2，3，4号四盏灯，其中开关A控制着2，3，4号灯，开关B控制
着1，3，4号灯，开关C控制着1，2，4号灯.开始时，四盏灯都亮着.现先后按动A，B，C这三个开关中
的两个不同的开关，则其中1号灯或2号灯亮的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先后按动A，B，C中的两个不同的开关，有 种方法，
若要1号灯亮，则按第一个开关时，1号灯灭，按第二个开关时，1号灯亮，
此时对应的方法有2种： ， ；若要2号灯亮，同理可得有以下2种方法： ， ；
可知：要1号灯或2号灯亮有 种方法，
故所求的概率为 .
故选：D.
6．将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，若函数 在
上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知： ，
当 时， ，
在 上单调递增， ， ；
若 ，则 ， ，此时 ，
又 ， ， ；
若 ，则 ， ，此时 ，
与 矛盾，不合题意；
综上所述：实数 的取值范围为 .
故选：B.
7．已知抛物线 的焦点 关于直线 的对称点为 ， 为坐标原点, 点在 上且满足 （ 均不与 重合），则 面积的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．20
【答案】C
【解析】在 中，焦点为 ，
焦点 关于直线 即 的对称点为 ，
，解得 ，
∴抛物线的方程为 ,
显然直线 的斜率不为 0 , 设直线 的方程为 , 且 ,
设 ,
联立 , 整理可得 ,
, 即 , 且 , ,
又因为 , 即 ,
∴ ,
∴即直线 的方程为 ，∴直线 恒过 点，
∴ ，
当且仅当 时, 等号成立.
故选：C.
8．已知函数 ，若函数 有6个零点，则 的值可能为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可得， ， 在 上单调递减，在 上单调递增，则据此
可作出函数 大致图象如图所示，
令 ，则由题意可得 有2个不同的实数解 ， ，且 ，
则 ，观察选项可知， 满足题意.
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知 是两个事件，且 ，则事件 相互独立的充分条件可以是（ ）
A．B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】若 ，
则事件 没有共同部分，即互斥，
得不出事件 相互独立，A错；
由 ，
得
，
则 ，
得 ，
即 ，
则事件 相互独立，B正确；
由 ，
即 ，
得 ，
即 ，
则事件 相互独立，C正确；由 ，①
且 ，②
②式两边平方，并利用①式可得，
，③
结合①③，可得，
，
则 ，
所以 ，
,
所以 ，
即事件 相互独立，D正确
故选：BCD
10．已知直线 ，圆 的圆心坐标为 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．直线 恒过点B．
C．直线 被圆 截得的最短弦长为
D．当 时，圆 上存在无数对点关于直线 对称
【答案】ABD
【解析】直线 ，恒过点 ，所以A正确；
圆 的圆心坐标为 ， ， ，所以B正确；
圆 的圆心坐标为 ，圆的半径为2．
直线 ，恒过点 ，圆的圆心到定点的距离为： ，
直线 被圆 截得的最短弦长为 ，所以C不正确；
当 时，直线方程为： ，经过圆的圆心，所以圆 上存在无数对点关于直线 对称，所以D
正确．
故选：ABD．
11．已知函数 的定义域为R，值域为 ， ，则（ ）
A． B．
C． D． 是函数 的极小值点
【答案】AC
【解析】取 ，则 ，且 ，故 ，A正确；
取 ，符合题意，此时 ，且 在 上单调递增，不存在极值点，B和D错误；
取 ，则 ，即 ，C正确，
故选：AC．12．如图，正三棱柱 的各棱长均为1，点 是棱 的中点，点 满足 ，
点 为 的中点，点 是棱 上靠近点 的四等分点，则（ ）
A．三棱锥 的体积为定值
B． 的最小值为
C． 平面
D．当 时，过点 的平面截正三棱柱 所得图形的面积为
【答案】AC
【解析】由题意可知 ，设点 到平面 的距离为 ，
易知平面 平面 ，
所以点 到平面 的距离等于点 到线段 的距离，
又 ，所以 ，
所以 ，为定值，
故A正确；
将 沿 展开与正方形 在同一个平面内，
记此时与 对应的点为 ，则当 三点共线时， 取得最小值，即 ，
，
故 的最小值为 ，故B错误；
由点 分别为 的中点，得 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面 ，故C正确；
连接 并延长交 于点 ，连接 ，
则过点 的平面截正三棱柱 所得截面图形为 ，
因为 ，平面 平面 ，
平面 平面 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
取 的中点 ，连接 ，则点 为 的中点，又点 为 的中点，
所以 ，
当 时，点 为 的中点，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
故 ，故D错误．故选：
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 的展开式中 的系数为 （用数字作答）.
【答案】112
【解析】因为 的展开式中含 的项为 ，
的展开式中 的系数为112.
故答案为：112.
14．如图，在 中， ，P为CD上一点，且满足 ，则m的值为
．
【答案】
【解析】因为 ， 即，
所以 ,又
所以 ，解得 .
故答案为： .
15．若函数 为偶函数，则 的最小正值为 .
【答案】 /
【解析】函数 的定义域为 ， 为偶函数，
则 ，即 ，
则 ，即 是偶函数，
可知 ， ，即 ， ，故 取最小正值为 .
故答案为： .
16．已知函数 有三个零点，且它们的和为0，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】设 ， ， 是 的三个零点，则 ，
所以 ，所以 ， ，
若 有三个零点，则 有两个极值点，
故对于方程 ， ， ， 的两个极值点分别为 和 ，其中为极大值点， 为极小值点.
若 存在三个零点，则需满足 ，且 ，
所以 ，解得 ，
又因为 ，所以 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 ，所以由正弦定理可得 ．
又 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
又 ，所以 ， ．
（2） 的面积 ，则 ．
由余弦定理： ，得 ，
所以 ，故 的周长为 ．18．（12分）已知数列 满足： ．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式及其前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2) ，
【解析】（1）由 可得 ，
又 ，可得 为定值，
所以数列 是以3为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1）可知， ，可得 ，
即数列 的通项公式为
所以数列 的前 项和为
．
即 .
19．（12分）如图，在四棱锥 中， ， ，M为棱AP的中点．(1)棱PB上是否存在点N，使 平面PDC?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
(2)若平面 平面ABCD， ， ，求二面角 的正弦值．
【答案】(1)棱PB上存在点N， ；
(2)
【解析】（1）如图，分别延长BA与CD的延长线交于点E，连接PE，过点M在平面BEP内作直线
，交BE于点F，BP于点N，
因为 ， 平面PDC，所以 平面PDC，
因为 ， ，所以A，D分别为线段BE，CE的中点，
又 ，M为AP的中点，所以F为线段AE的中点，所以 ．
综上，棱PB上存在点N，使 平面PDC，且 ．
（2）设 ，又 ， ，所以 ， ，
又 ，所以 和 为等边三角形，
设O为CD的中点，连接OP，OB，则 ， ， ，
又平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面PDC， 平面ABCD，
又 平面ABCD， ，
综上，OP，OB，OC两两垂直．
以O为坐标原点， ， ， 的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则 ， ， ， ， ， ，
， ， ，
设平面MDC的法向量为 ，
则 即 可取 ，
设平面MDB的法向量为 ，
则 即 可取 ，
所以 ，
故二面角 的正弦值为 ．
20．（12分）从甲、乙、丙、丁、戊5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将
球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.
(1)记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望；
(2)若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记 次传球后球在甲手中的概率为 .
①直接写出 ， ， 的值；
②求 与 的关系式 ，并求出 .
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为
(2)① ， ， ；② ，
【解析】（1） 的所有可能取值为1，2，3.则
； ； .
所以随机变量 的分布列为：
1 2 3
数学期望 .
（2）若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且 次传球后球在甲手中的概率为 .
则有 .
记 表示事件“经过 次传球后，球在甲手中”.
所以
.
即 .
所以 ，且 .所以数列 表示以 为首项， 为公比的等比数列.
所以 ， .
即 次传球后球在甲手中的概率是 .
21．（12分）以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点 ．
(1)求椭圆的方程．
(2)设 是椭圆上一点（异于 ），直线 与 轴分别交于 两点．证明在 轴上存在两点 ，
使得 是定值，并求此定值．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析，定值为 .
【解析】（1）设椭圆方程为 ，则 ，解得 ，
所以椭圆的方程为 ．
（2）设 ， ，
则 ，由 ，得 ，而 ，于是 ，，同理 ，而 ，于是
，
则 ，
，
令 ，而 是椭圆上的动点，则 ，得 ，
于是 ，
所以存在 和 ，使得 是定值，且定值为 .
22．（12分）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 在区间 上存在唯一零点 ，求证： .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明过程见解析
【解析】（1）对 求导得， ，分以下
两大情形来讨论 的单调性：
情形一：当 时，有 ，令 ，解得 ，
所以当 时，有 ，此时 单调递减，当 时，有 ，此时 单调递增；
所以 在 单调递减，在 单调递增；
情形二：当 时，令 ，解得 ，
接下来又分三种小情形来讨论 的单调性：
情形（1）：当 时，有 ，此时 随 的变化情况如下表：
由上表可知 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
情形（2）：当 时，有 ，此时 ，所以此时 在 上单调递
增；
情形（3）：当 时，有 ，此时 随 的变化情况如下表：由上表可知 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
综上所述：当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）因为 ，所以由题意 ，
又因为 在区间 上存在唯一零点 ，
所以存在唯一的 ，有 ，化简得 ，
若要证明 ，则只需 ，即只需 ，
不妨设 ，求导得 ，
令 ，继续求导得 ，
所以当 时， 单调递增，
所以 ，
所以当 时， 单调递增，
所以 ，
即当 时，有不等式 成立，综上所述：若 在区间 上存在唯一零点 ，则 .
