2024届高三下学期六校数学参考答案(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新高考19题（九省联考模式）数学合集140套

安徽六校教育研究会 2024 届高三年级第二次素养测试数学试卷
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B C B D A A D A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9 10 11
ABD ACD AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
32 3 2 ar
12． 13． 14．
3 2 2
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
 π ab  
解：（1）由sinB  得ab2csinB  3csinBccosB．…………2分
 6 2c  6
由正弦定理得sinAsinB 3sinBsinCsinCcosB， ……………………3分
得sinBCsinB 3sinBsinCsinCcosB，
得cosCsinBsinB 3sinCsinB．
因为sinB0，所以 3sinCcosC1， ……………………5分
  1
即sinC  ， ……………………6分
 6 2
π
又0Cπ，所以C ． ……………………7分
3
（2）由余弦定理，（ 6）2 a2 b2 2abcosC （ab）2 3ab，…………………9分
可得ab2， ……………………10分
1 3 1 1 1 1
又S S S ， ab  aCD  bCD ……………………12分
ABC CBD CAD 2 2 2 2 2 2
3ab
则CD 1 ……………………13分
ab
数学试题参考答案 第1页，共6页
{#{QQABCYIAogCAAgAAAQhCAwVICgMQkAGAAKoGAEAAMAIBiBFABAA=}#}16．（15分）
解：（1）取棱AE上一点H ，使得AH 2HF，连接GH ，HD， ……………………1分
∵AH 2HF，BG2GE
E
1
∴GH ∥AB，且GH  AB，………2分
3
H G
∵CF 2FD F
C
D
1
∴FD∥AB，且FD AB，…………3分 A B
3
∴GH ∥FD，且GH =FD,∴FG∥DH ……………………………………5分
又∵FG平面ADE，DH 平面ADE
∴FG∥平面ADE ……………………6分
（2）取AD中点O，连接OE，OB，作EK OB，垂足为K，
∵菱形ABCD中，ADBD2，
∴△ABD为等边三角形，
∵OEAD,OBAD，OE OBO
∴∠BOE是二面角EADB的平面角，即∠EOK=180°-∠BOE=60°，且AD平面OBE
3
∴OK OEcos60  ，即OB2OK z
2
E
又∵BG2GE,∴OG∥EK
又∵EK 平面OBE G
∴EK AD F
K O C
D
又∵EK OB,AD OBO
A B
x y
∴EK 平面ABD
∴OG平面ABD …………………………………………9分
分别以为OA,OB,OG为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz………………10分
则点A(1,0,0),B(0, 3,0),D(1,0,0),G(0,0,1)， …………………………………………11分
所以BG(0, 3,1),BC AD(2,0,0)，
1 1 4 3
FGFDDOOG CDDOOG BADOOG( , ,1) ……………………12分
3 3 3 3
设n平面BCG，n(x,y,z)，记FG与平面BCE所成角大小为θ，
  nBC2x0
由 ，取n(0,1, 3) …………………………………………13分
nBG 3yz0
4 3
( , ,1)(0,1, 3)
FGn 3 3 21
sin   ，
FG n 2 7 14
2
3
21
综上，FG与平面BCE所成角的正弦值为 ． ……………………15分
14
数学试题参考答案 第2页，共6页
{#{QQABCYIAogCAAgAAAQhCAwVICgMQkAGAAKoGAEAAMAIBiBFABAA=}#}17．（15分）
证明：（1）令 f(x)ex 1x，x0, f(x)ex 10
则 f(x)在(0,)单调递增，所以 f(x) f(0)0即ex 1x； ……………………3分
x 1 1 x
令g(x)ln(1x) ，x0,g(x)   0
1x 1x (1x)2 (1x)2
x
则g(x)在(0,)单调递增，所以g(x) g(0)0即ln(1x) ……………………5分
1x
所以（1x）ln(1x) x,ln(1x)(1x)  x，所以ex (1x)1x
综上，1xex (1x)1x； …………………………………………7分
（2）结合第（1）问，ex≥1x对任意的xR恒成立，………………………………………8分
k
k  k
令x (k 1,2, ,n)，则e n≥1 ≥0， …………………………………10分
n n
k 1 2 n
(1 )n≤ek即(1 )n≤e1，(1 )n≤e2，…，(1 )n≤en ……………………12分
n n n n
1 2 n e1(1en) 1
(1 )n (1 )n  (1 )n≤e1e2  en   . ……………………14分
n n n 1e1 e1
n nn
所以(nk)n  （nN*）. ………………………………………………………………15分
e1
k1
18. （17分）
88(3371038)2
解:（1）依据表中数据，2  0.8372.706x ， ……………………2分
43457117 0.1
依据0.100的独立性检验，没有充分证据推断H 不成立，因此可以认为H 成立，即认为在
0 0
不同区域就餐与学生性别没有关联． ………………………………4分
．．
（2）设A “第i天去甲餐厅用餐”，B “第i天去乙餐厅用餐”，C “第i天去丙餐厅用餐”，
i i i
则A、B 、C 两两互斥，i1,2, ,n. …………………………………………5分
i i i
根据题意得
1 1 1 1 1
PAPB  ,PC  ，PA |A ，PA |B  ，PA |C  ，
1 1 4 1 2 i1 i 2 i1 i 3 i1 i 2
1 1 2
PB |A ，PB |C  ，PC |B  . ……………………………………7分
i1 i 2 i1 i 2 i1 i 3
数学试题参考答案 第3页，共6页
{#{QQABCYIAogCAAgAAAQhCAwVICgMQkAGAAKoGAEAAMAIBiBFABAA=}#}(i)由B B A BC ，结合全概率公式，得
2 2 1 2 1
1 1 1 1 3
P(B )P(B A BC )P(A)P(B |A)P(C )P(B |C )     ，
2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 4 2 2 2 8
3
因此，张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为 . …………………………………………9分
8
(ii)记第n(nN)天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为 p ，q ，r ，
n n n
1 1
则 p q  ,r  ，由全概率公式，得
1 1 4 1 2
p P(A )
n n
P(A A  A B  AC )
n n1 n n1 n n1 ……………………11分
P(A A )P(A B )P(AC )
n n1 n n1 n n1
P(A )PA |A P(B )PA |B P(C )PA |C 
n1 n n1 n1 n n1 n1 n n1
1 1 1
故 p  p  q  r (n≥2) ①
n 2 n1 3 n1 2 n1
1 1
同理q  p  r (n≥2) ②
n 2 n1 2 n1
2
r  q (n≥2) ③
n 3 n1
p q r 1 ④
n n n
1
由①②， p q  q ，
n n 3 n1
由④， p 1q r ，
n1 n1 n1
1 1 1 1 1
代入②，得：q   q ，即q   (q  )，
n 2 2 n1 n 3 2 n1 3
 1 1 1
故q  是首项为 ，公比为 的等比数列， ……………………14分
 n 3 12 2
1 1 1
即q   ( )n1,
n 3 12 2
1 1 
所以q  1( )n1 …………………………………………………………15分
n 3   2  
于是，当n≥2时
1
p q  q
n n 3 n1
1 1  1 1 
 1( )n1  1( )n
   
3 2  9 2 
4 1 1
  ( )n1
9 9 2
………………………………………………………………16分
数学试题参考答案 第4页，共6页
{#{QQABCYIAogCAAgAAAQhCAwVICgMQkAGAAKoGAEAAMAIBiBFABAA=}#} 1
,(n1)

 4
综上所述， p  . …………………………………………17分
n 4 1 1
  ( )n1,(n≥2)
9 9 2
19.（17分）
解:（1）由题意可得|OM|＝1，且M为NF 的中点，
1
又O为F F 的中点，
1 2
所以OM∥NF ，且|NF |＝2|OM|=2.
2 2
因为点F 关于点M的对称点为N，线段F N的中垂线与直线F N相交于点T，
1 1 2
由垂直平分线的性质可得|TN|＝|TF |，
1
所以||TF |－|TF ||＝||TF |－|TN||＝|NF |＝2＜|F F |，
2 1 2 2 1 2
所以由双曲线的定义可得，点T的轨迹是以F ，F 为焦点的双曲线.
1 2
1
a1,c FF 2,b c2 a2  3
2 1 2
y2
故曲线C的方程为x2  1 …………………………………………7分
3
（2）由题意可知：直线DE的斜率存在，设DE:ykx11,Dx,y ,Ex ,y ，
1 1 2 2
ykx11
联立方程   y2 ，消去y得： 3k2 x2 2k1kx1k2 30，……………8分
x2  1
 3
 3k2 0

则
Δ4k21k2 4  3k2 1k2 3  242k0
，

解得k2，且k  3 …………………………………………10分
2k1k 1k2 3
x x  ,xx  ， ① …………………………………………11分
1 2 3k2 1 2 3k2
y
由A1,0，得直线AD:y 1 x1，
x 1
1
y
令x2，解得y y 1 ，即P  0, y 1   ， Q
x 1  x 1
1 1
B
 y 
同理可得Q0, 2  ，……………………12分
 x 2 1 E
H
P
y y kx 11 kx 11
则 1  2  1  2 O A x
x 1 x 1 x 1 x 1
1 2 1 2
   kx 1 1k  x 2 1  kx 2 1k  x 1 1 D
x 1x 1
1 2
数学试题参考答案 第5页，共6页
{#{QQABCYIAogCAAgAAAQhCAwVICgMQkAGAAKoGAEAAMAIBiBFABAA=}#}2kxx 12kx x 21k
 1 2 1 2
xx x x 1
1 2 1 2
1k2 3 2k1k
2k 12k 21k
3k2 3k2

1k2 3 2k1k
 1
3k2 3k2
2k(1k)2 6k2k(1k)(12k)2(1k)(3k2)

(1k)2 32k1k(3k2)
6

1
6
……………………………………………………………………………………16分
所以PQ的中点为定点(2,3). ………………………………………………………………17分
数学试题参考答案 第6页，共6页
{#{QQABCYIAogCAAgAAAQhCAwVICgMQkAGAAKoGAEAAMAIBiBFABAA=}#}