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梅河口市第五中学 2024-2025 学年高三上学期开学考试
数学
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确
的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．）
1. 在等比数列 中，已知 ， ，则 （ ）
A. B. 27 C. D. 64
2. 设 是可导函数，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知由小到大排列的5个样本数据 的极差是15，则 的值为（ ）
.
A 6 B. 7 C. 8 D. 9
4. 若圆 被直线 平分，则 （ ）
A. -2 B. C. D.
5. 下列函数既是奇函数又在 上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 等差数列 前 项和为 ，则 （ ）
A. 44 B. 48 C. 52 D. 56
7. 双曲线 的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知 分别是函数 的零点，则 （ ）
A. B. C. 3 D. 4
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 若随机变量 且 ，则下列选项正确 的是（ ）
.
A B.
C. 的最小值为18 D.
10. 某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有 共7个节目，则下列结论正
确的是（ ）
A. 若节目 与节目 相邻，则共有1440种不同的安排方法
B. 若节目 与节目 不相邻，则共有3600种不同的安排方法
C. 若节目 在节目 之前表演（可以不相邻），则共有2520种不同的安排方法
D. 若决定在已经排好的节目单中临时添加3个节目，现有节目次序不变，则共有336种不同的安排方法
11. 已知函数 ，下列选项正确的是（ ）
A. 有最大值
B.
C. 若 时， 恒成立，则
D. 设 为两个不相等的正数，且 ，则
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 已知函数 ，则 ______.
13. 曲线 在点 处的切线方程为______.
14. 已知函数 ，且满足 ，则实数 的值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在数列 中，已知 ．（1）证明： 是等比数列，并求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
16. 某公司生产甲、乙两种产品，在该公司的仓库中有甲产品7万件、乙产品3万件，按甲、乙产品的数量比例，用
分层随机抽样的方法从这10万件产品中抽取一个容量为10的样本，对样本中的每件产品进行质量检测，测得样本中
甲产品的优质品率为 ，乙产品的优质品率为 ．
（1）若从样本中再随机抽取3件进行深度测试，求至少抽到2件乙产品的概率；
（2）若从样本中的甲产品和乙产品中各随机抽取2件，将抽到的这4件产品中优质品的件数记为 ，求 的分布列
和数学期望．
17. 在 中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
（1）求B；
（2）若 ，求 的周长l的取值范围．
18. 已知正项数列 的前n项和为 ，且
（1）求数列 的通项公式；
（2）求证： ．
19. 已知函数 .
（1）若方程 有两解，求实数 的取值范围；
（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.BCCD DCBC 9ACD 10ABC 11ACD
12
13 14 1
15
（1）由题意知 ， ，
两边同除以 ，得 ，
，
，则 ，
根据等比数列的定义知， 是首项为3，公比为3的等比数列，
， ；（2）
16 （1）
（2） ，分布列见解析
由题意知在这个容量为10的样本中，甲产品中有 件优质品，有 件不是优质品，乙产品中有
件优质品，有 件不是优质品，则 的所有可能取值为1，2，3，4．
， ，
， ，
的分布列为
1 2 3 4
．
17（1）
（2） ．
18（1）
（2）证∵ ，
∴ 时， ， 时， ，
∴∴ 成立．
19 （1）
（2） .
