文档内容
2024 届高三第三次模拟考试
文科数学
考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考籍号用0.5毫米的黑色签
字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦
擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作
答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．设全集 ，若集合 满足 ，则
A． B． C． D．
2．若复数 满足 ，则
A． B． C． D．
3． ， ， ，
四个数中最大的数是
A． B． C． D．
4．函数 的图象大致是
A B C D
5．地球生命来自外星吗？一篇发布在《生物学快讯》上的文章《基因库的增长是生命
起源和演化的时钟》可能给出了一种答案．该
论文的作者根据生物功能性基因组里的碱基排
列数的大小定义了基因库的复杂度 （单位：
1），通过研究各个年代的古代生物化石里基
因库的复杂度，提出了一个有趣的观点：生物
基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的，
只要知道生物基因库的复杂度就可以推测该生
物体出现的年代．如图是该论文作者根据生物
化石（原核生物，真核生物，蠕虫，鱼类，哺
乳动物）
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学科网（北京）股份有限公司中的基因复杂度的常用对数 与时间 （单位：十亿年）的散点图及回归拟合情况
（其中回归方程为： ，相关指数 ）．根据题干与图中的
信息，下列说法错误的是
A．根据信息生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的情况，不同于作者采取
取常用对数的做法，我们也可采用函数模型 来拟合
B．根据回归方程可以得到，每过10亿年，生物基因库的复杂度一定增加到原来的
倍
C．虽然拟合相关指数为 ，但是样本点只有5个，不能很好地阐释其统计规律，
所以增加可靠的样本点可以更好地完善回归方程
D．根据物理界主流观点：地球的形成始于45亿年前，及拟合信息：地球在诞生之
初时生物的复杂度大约为 ，可以推断地球生命可能并非诞生于地球
6．若 ， 是平面上两个非零的向量，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．在平面直角坐标系 中，角 ， 的始边均为 ，终边相互垂直，若 ，
则
A． B． C． D．
8．已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则当
时， 的单调递增区间为
A． B． C． D．
9．已知公比不为1的等比数列 的前 项和为 ，若数列 是首项为1的等差
数列，则
A． B． C． D．
10．已知点 ， 分别是抛物线 和直线 上的动点，若抛物线 的焦点
为 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
11．已知正方体以某直线为旋转轴旋转 角后与自身重合，则 不可能为
A． B． C． D．
12．若实数 ， 是方程 在区间 上不同的两根，则
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若双曲线 的渐近线方程为 ，则 的标准方程可以是_______（写出一个
你认为正确的答案即可）．
14．若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为_______．
15．若正实数 ， 满足 ，则 的最大值为_______（用 表示）．
16．若函数 大于 的零点有且只有一个，则实数 的值为_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
在 中， ， ， ．
（1）求 的长；
（2）求 的面积．
18．（12分）
为了更好地培养国家需要的人才，某校拟开展一项名为“书香致远，阅读润心”的
读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学
生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机
抽取 名学生，将他们的周平均阅读时间（单位：
小时）数据分成 组： ， ， ，
， ，根据分组数据制成了如图所示的频率分
布直方图．
（1）求 的值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数；
（2）用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于 小时的学生中抽出 人，再随机选
出 人作为该活动的形象大使，求这 人都来自 这组的概率．
19．（12分）
已知在四棱锥 中， 平面 ，四边形
是 直 角 梯 形 ， 满 足 ， ， 若
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学科网（北京）股份有限公司， ，点 为 的中点，点 为 的三等分点（靠近点
）．
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积．
20．（12分）
已知椭圆 : 上的点 到焦点 ， 的距离之和为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线交椭圆 于A，B两点，直线 ， 分别交直线 于
， 两点，求证： ．
21．（12分）
已知函数 ，若数列 的各项由以下算法得到：
①任取 （其中 ），并令正整数 ；
②求函数 图象在 处的切线在 轴上的截距 ；
③判断 是否成立，若成立，执行第④步；若不成立，跳至第⑤步；
④令 ，返回第②步；
⑤结束算法，确定数列 的项依次为 ， ， ， ．
根据以上信息回答下列问题：
（1）求证： ；
（2）是否存在实数 使得 为等差数列，若存在，求出数列 的项数 ；若不存
在，请说明理由．参考数据： ．
（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的
参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立
极坐标系．
（1）求 与 的极坐标方程；
（2）若 与 的两不同交点 ， 满足 ，求 的值．
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学科网（北京）股份有限公司23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知函数 ， ．
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若 ， 成立，求 的取值范围．
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