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2024 届高考新结构数学-选择填空强化训练(8)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，
288，则这组数据的百分位数为75的快递个数为（ ）
A. 290 B. 295 C. 300 D. 330
【答案】B
【解析】将数据从小到大排序为：188，240，260，284，288， 290，300，360，
，所以 分位数为 .
故选：B
2．若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ，所以 定义域为 ，
所以 ，即 ，
所以 .
故选：D.
3．设函数 ，数列 ， 满足 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
令 ，解得 ，
故选：B.
4．抛物线 的焦点为F，且抛物线C与椭圆 在第一象限的交点为A，若
轴，则 （ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】由题设 ，且 在第一象限， 轴，则 ，又 在椭圆上，故 ，而 ，故 .
故选：C
5．某单位计划从5人中选4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排两人，
则安排方法数为（ ）
A. 30 B. 60 C. 120 D. 180
【答案】B
【解析】先从5人中选出4人值班，
再从4人中选出2人值第三天，剩余2人分别值第一、二天，
所以安排方法数为 .
故选：B.
6．已知 是 的重心， 是空间中的一点，满足 ，
，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意知 是 的重心，则 ，即
所以 ，
又因为 ，
所以 .
故选：C.
7．已知 ， ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ，
.，
， ，
， ，
又因为 ，所以 ，
则 ，所以
.
.
故选：A
8．已知O为坐标原点，双曲线C: 的左、右焦点分别是F，F，离心率为 ，
1 2
点 是C的右支上异于顶点的一点，过F作 的平分线的垂线，垂足是M， ，
2
若双曲线C上一点T满足 ，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
设半焦距为c，延长 交 于点N，由于PM是 的平分线， ，
所以 是等腰三角形，所以 ，且M是NF的中点.
2
根据双曲线的定义可知 ，即 ，由于 是 的中点，
所以MO是 的中位线，所以 ，又双曲线的离心率为 ，所以 ， ，所以双曲线C的方程为 .
所以 ， ，双曲线C的渐近线方程为 ，
设 ，T到两渐近线的距离之和为S，则 ，
由 ，即 ，
又T在 上，则 ，即 ，解得 ， ，
由 ，故 ，即距离之和为 .
.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列命题正确的是（ ）
A. 若 两组成对数据的样本相关系数分别为 ，则 组数据比 组数据的相关
性较强
B. 若样本数据 的方差为2，则数据 的方差为8
C. 已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据的22%分位数不等
于原样本数据的22%分位数
D. 某人解答5个问题，答对题数为 ，若 ，则
【答案】BCD
【解析】对于A，因为 ，即 组数据比 组数据的相关性较弱，故A错误；
对于B，若样本数据 方的差为 ，则数据 的方差为
，故B正确；
对于C，将这原来的30个数从小大大排列为 ，则 ，所以原来的22%分位
数为 ，
若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据为 ，则 ，所以剩下28个数
据的22%分位数为 ，
由于 互不相同，所以C正确；
对于D，某人解答5个问题，答对题数为 ，若 ，则 ，故D正确.
故选：BCD.
10．设复数 的共轭复数为 ， 为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 的最小值是
【答案】ABD【解析】设 ，
对于选项A： ，所以 ，所以 ，故选项A正确；
对于选项B： ，所以 ，即 ，故选项B正确；
对于选项C： ，则 ，故选项C不正确；
对于选项D： 即 表示点 到点
和到点 的距离相等，所以复数 对应的点的轨迹为线段 的垂直平分线，
因为 中点为 ， ，
所以 的中垂线为 ，整理可得： ，
所以 表示点 到 的距离，
所以 ，故选项D正确，
故选：ABD.
11．设函数 的定义域为 ，若存在 ，使得 ，则称 是函数 的二阶不
动点.下列各函数中，有且仅有一个二阶不动点的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】若 ，称 为一阶不动点，
显然若 ，则满足 ，故一阶不动点显然也是二阶不动点，
若 ，则有 ，即 都在函数 的图象上，
即 上存在两点关于 对称，此时这两点的横坐标也为二阶不动点，
下证：当 单调递增时，一阶不动点和二阶不动点等价，
因为 ，若 ，因为 单调递增，所以 ，
即 ，矛盾，
若 ，因为 单调递增，所以 ，即 ，矛盾，
综上：当 单调递增时，一阶不动点和二阶不动点等价；由题意得：只需 与直线 的交点个数为1，
A选项， ，解得： ， 有且仅有1个根，
画出 与 的图象，如下：
显然 上不存在两点关于 对称，
综上： 有且仅有一个二阶不动点，满足要求，A正确；
B选项，令 ，定义域为 ，
显然 ，
则 均为 的二阶不动点，不满足要求，B错误；
C选项， 定义域为R，单调递增，只需寻找一阶不动点即可，
令 ，整理得： ，
令 ，则 ，单调递减，
再同一坐标系总画出两函数 与 图象，如下：
两函数只有1个交点，满足要求，C正确；D选项，令 ，
作出函数 的图象，
由图可知，点 与点 关于直线 对称，
故函数满足题意，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知 的展开式中 的系数为240，则实数 ______．
【答案】
【解析】 ，
二项式 通项公式为 ，
的
其中 的展开式中无含 项，含 的项为 ，
∴ 中含 的项为 ，则 ．解得 ．
故答案为：
13.已知四面体 ，其中 ， ， ， 为 的中
点，则直线 与 所成角的余弦值为__________；四面体 外接球的表面积为__________．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】在四面体 中， ， ， ，将四面体 补成长方体 ，
则 ，解得 ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标
系，
则 、 、 、 ，
所以， ， ，
则 ，
所以，直线 与 所成角的余弦值为 ，
长方体 的体对角线长为 ，
所以，四面体 外接球半径为 ，故四面体 外接球的表面积为 .
故答案为： ； .
14.如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角 ，使得对于曲线G上的任意两个不
同的点 恒有 成立，则称角 为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界
角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C： （其中e是自然对数的底
数），点O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为 ，则 ____________.【答案】1
【解析】函数 ，
因为 ，
所以该函数在 单调递减，在 单调递增.
过原点作 的切线，设切点 ，
由 ，则切线 的斜率为 ，
直线 过 ，
∴ ，∴ ，
即 ，由函数 与 的图象在 有且只有一个交点，
且当 时满足方程，故方程有唯一解 ，则 ；
过原点作 的切线，设切点 ，
由 ，得切线 的斜率 ，
则切线 过原点 ，
则有 ，∴ ，则 ，则有 ，
∴两切线垂直，曲线C 的相对于点O的“确界角”为 ，
则 ， .
故答案为：1.
