文档内容
蚌埠市 ２０２４届高三年级第三次教学质量检查考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
答 案 Ａ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ｂ
二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分。
题 号 ９ １０ １１
答 案 ＡＢＣ ＢＣ ＡＢＤ
三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分。
１２（０，１）
１３０或４；（２－槡２，２＋槡２）∪｛４｝（答对第一空给２分，答对第二空给３分）
１４１
四、解答题：本题共５个小题，共７７分。解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤。
１５（１３分）
ｂ
解：（１）由题意知ａ＝１，且 ＝１，∴ｂ＝１，……………………………………………… ２分
ａ
∴ｃ＝槡ａ２＋ｂ２＝槡２，
ｃ
所以双曲线的离心率ｅ＝ ＝槡２……………………………………………… ５分
ａ
（２）由（１）知双曲线方程为ｘ２－ｙ２＝１，
１ １
将ｙ＝ ｘ－ 即ｘ－１＝２ｙ代入ｘ２－ｙ２＝１，得３ｙ２＋４ｙ＝０， ………………… ９分
２ ２
４
因而ｙ＝０，ｙ＝－ ，
１ ２ ３
４
所以｜ＰＱ｜＝槡１＋２２· ｙ－ｙ ＝ 槡５……………………………………… １３分
１ ２ ３
１６（１５分）
解：（１）依题意，ｐ＝１，ｐ＝０５，
１ ２
ｐ＝ｐ×０５＋（１－ｐ）×（１－０４）＝０６－０１ｐ＝０５５ …………………… ６分
３ ２ ２ ２
依题意ｐ＝ｐ ×０５＋（１－ｐ ）×（１－０４）＝０６－０１ｐ
ｎ ｎ－１ ｎ－１ ｎ－１
６ １( ６) ６ ５
整理得ｐ－ ＝－ ｐ － ，又ｐ－ ＝ ≠０，
ｎ １１ １０ ｎ－１ １１ １ １１ １１
蚌埠市高三年级数学参考答案第１页（共４页）
{#{QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=}#}{ ６} ５ １
所以 ｐ－ 是首项为 ，公比为－ 的等比数列………………………… ９分
ｎ １１ １１ １０
５( １)ｎ－１ ６
（２）由（１），寒假第ｎ天不下雪的概率ｐ＝ － ＋ ，…………………… １１分
ｎ １１ １０ １１
从而小明寒假第ｎ天跑步的概率为
２３ ２( １)ｎ－１
ｑ＝ｐ×０６＋（１－ｐ）×０２＝０２＋０４ｐ＝ ＋ － ，…………… １３分
ｎ ｎ ｎ ｎ ５５ １１ １０
则他第ｎ天通过运动锻炼消耗能量为
１
３３０ｑ＋２２０（１－ｑ）＝２２０＋１１０ｑ＝２６６＋２０（－ ）ｎ－１ …………………… １５分
ｎ ｎ ｎ １０
１７（１５分）
解：（１）由题意知ＡＤ＝ＢＣ＝ＰＡ＝２，则在△ＡＢＣ中，
ＡＢ２＋ＢＣ２－ＡＣ２ ４２＋２２－（２槡７）２ １
ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝ ＝ ＝－ ，
２ＡＢ·ＢＣ ２×４×２ ２
２π π
∵∠ＡＢＣ∈（０，π）∴∠ＡＢＣ＝ ，从而∠ＤＡＢ＝ ，…………………………… ３分
３ ３
π １
△ＡＢＤ中，ＢＤ２＝ＡＤ２＋ＡＢ２－２ＡＤ·ＡＢ·ｃｏｓ ＝２２＋４２－２×２×４× ＝１２，
３ ２
则ＢＤ２＋ＡＤ２＝１２＋４＝１６＝ＡＢ２
∴ＢＤ⊥ＡＤ， ……………………………………………………………………… ５分
又ＢＤ⊥ＡＥ，ＡＤ∩ＡＥ＝Ａ，所以ＢＤ⊥平面ＰＡＤ，
而ＢＤ平面ＡＢＣＤ，
∴平面ＰＡＤ⊥平面ＡＢＣＤ……………………………………………………… ８分
（２）由（１）知 ＢＤ⊥平面 ＰＡＤ，ＰＤ平面 ＰＡＤ，
∴ＢＤ⊥ＰＤ，
∴ＰＤ＝槡ＰＢ２－ＢＤ２＝２，
所以△ＰＡＤ为等边三角形，……… １０分
如图，在平面ＰＡＤ内作ＤＨ⊥ＡＤ，
则ＤＨ⊥平面ＡＢＣＤ，
以ＤＡ，ＤＢ，ＤＨ分别为 ｘ轴，ｙ轴，ｚ轴建立 第１７题答案图
空间直角坐标系（如图所示），则
Ｄ（０，０，０），Ｂ（０，２槡３，０），Ｃ（－２，２槡３，０），Ｐ（１，０，槡３），……………………… １２分
→ →
从而ＢＰ＝（１，－２槡３，槡３），ＢＣ＝（－２，０，０）
显然平面ＡＢＣ的一个法向量为ｎ＝（０，０，１）
设平面ＰＢＣ的法向量为ｍ＝（ｘ，ｙ，ｚ），则
→
{ＢＰ·ｍ＝０， {ｘ－２槡３ｙ＋槡３ｚ＝０，
即
→
ＢＣ·ｍ＝０， －２ｘ＝０，
蚌埠市高三年级数学参考答案第２页（共４页）
{#{QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=}#}取ｍ＝（０，１，２），
记二面角Ｐ－ＢＣ－Ａ的平面角为α，则
｜ｍ·ｎ｜ １×２ ２槡５
ｃｏｓα＝ ｃｏｓ〈ｍ，ｎ〉 ＝ ＝ ＝
｜ｍ｜·｜ｎ｜ １×槡５ ５
２槡５
即二面角Ｐ－ＢＣ－Ａ的余弦值为 ……………………………………… １５分
５
１８（１７分）
１
解：（１）记ｇ（ｘ）＝ｔａｎｘ－ｘ，则ｇ′（ｘ）＝ －１， ……………………………………… ２分
ｃｏｓ２ｘ
( π)
因为ｘ∈ ０， ，所以ｃｏｓｘ∈（０，１），所以ｇ′（ｘ）＞０，
２
所以ｇ（ｘ）单调递增，
从而ｇ（ｘ）＞ｇ（０）＝０，即ｔａｎｘ＞ｘ……………………………………………… ４分
当ａ＝１时ｘ＞ｘｆ（ｘ）等价于ｘ＞ｓｉｎｘ，记ｈ（ｘ）＝ｘ－ｓｉｎｘ，
则ｈ′（ｘ）＝１－ｃｏｓｘ＞０，ｈ（ｘ）单调递增， ……………………………………… ６分
所以ｈ（ｘ）＞ｈ（０）＝０，即ｘ＞ｓｉｎｘ
( π)
综上，当ａ＝１，ｘ∈ ０， 时，ｔａｎｘ＞ｘ＞ｘｆ（ｘ）………………………………… ８分
２
ｘ ｘ ａｓｉｎｘ ｘ ａｓｉｎｘ
（２） ＜ｆ（ｘ）等价于 ＜ ，记Ｆ（ｘ）＝ － ，
ｔａｎｘ ｔａｎｘ ｘ ｔａｎｘ ｘ
则Ｆ（－ｘ）＝Ｆ（ｘ），
( π)
所以题设等价于当ｘ∈ ０， 时，Ｆ（ｘ）＜０即ｘ２ｃｏｓｘ－ａｓｉｎ２ｘ＜０
２
当ａ≤０时，Ｆ（ｘ）＞０，不合题意……………………………………………… １０分
当０＜ａ＜１时，ｘ２ｃｏｓｘ－ａｓｉｎ２ｘ＞ｘ２ｃｏｓｘ－ａｘ２＝ｘ２（ｃｏｓｘ－ａ）
( π)
存在θ∈ ０， ，ｃｏｓθ－ａ＝０，
２
因此当ｘ∈（０，θ），ｘ２ｃｏｓｘ－ａｓｉｎ２ｘ＞０，即Ｆ（ｘ）＜０不成立，不合题意 …… １３分
当 ａ≥１时，ｘ２ｃｏｓｘ－ａｓｉｎ２ｘ≤ｘ２ｃｏｓｘ－ｓｉｎ２ｘ，
( π)
记Ｇ（ｘ）＝ｘ２ｃｏｓｘ－ｓｉｎ２ｘ，ｘ∈ ０， ，由于ｔａｎｘ＞ｘ，所以ｓｉｎｘ＞ｘｃｏｓｘ，故
２
Ｇ′（ｘ）＝２ｘｃｏｓｘ－ｘ２ｓｉｎｘ－２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＜２ｓｉｎｘ－ｘ２ｓｉｎｘ－２ｓｉｎｘｃｏｓｘ
＝－ｓｉｎｘ［ｘ２－２（１－ｃｏｓｘ）］＝－ｓｉｎｘ
(
ｘ２－４ｓｉｎ２
ｘ)
＝－４ｓｉｎｘ
[(ｘ)２
－ｓｉｎ２
ｘ]
＜０
２ ２ ２
( π)
从而Ｇ（ｘ）在 ０， 单调递减，Ｇ（ｘ）＜Ｇ（０）＝０，Ｆ（ｘ）＜０恒成立，符合题意
２
综上，实数ａ的取值范围是［１，＋∞） ……………………………………… １７分
蚌埠市高三年级数学参考答案第３页（共４页）
{#{QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=}#}１９（１７分）
解：（１）令ｘ＝０，则ｅ（０）＝１
由ｅ（ｘ）ｅ（ｙ）＝ｅ（ｘ＋ｙ），令ｙ＝－ｘ，则ｅ（ｘ）ｅ（－ｘ）＝ｅ（０）＝１
１
因为ｅ（ｘ）≠０，故ｅ（－ｘ）＝ ……………………………………………… ５分
ｅ（ｘ）
（ｉｘ）４ｎ （－ｉｘ）４ｎ ｘ４ｎ ｘ４ｎ ２ｘ４ｎ
（２）证明：因为 ＋ ＝ ＋ ＝ ，
（４ｎ）！ （４ｎ）！ （４ｎ）！ （４ｎ）！ （４ｎ）！
（ｉｘ）４ｎ＋１ （－ｉｘ）４ｎ＋１ ｉｘ４ｎ＋１ －ｉｘ４ｎ＋１
＋ ＝ ＋ ＝０，
（４ｎ＋１）！ （４ｎ＋１）！ （４ｎ＋１）！ （４ｎ＋１）！
（ｉｘ）４ｎ＋２ （－ｉｘ）４ｎ＋２ －ｘ４ｎ＋２ －ｘ４ｎ＋２ －２ｘ４ｎ＋２
＋ ＝ ＋ ＝ ，
（４ｎ＋２）！ （４ｎ＋２）！ （４ｎ＋２）！ （４ｎ＋２）！ （４ｎ＋２）！
（ｉｘ）４ｎ＋３ （－ｉｘ）４ｎ＋３ －ｉｘ４ｎ＋３ ｉｘ４ｎ＋３
＋ ＝ ＋ ＝０，
（４ｎ＋３）！ （４ｎ＋３）！ （４ｎ＋３）！ （４ｎ＋３）！
ｅ（ｉｘ）＋ｅ（－ｉｘ）＝∑ ∞ [２ｘ４ｎ － ２ｘ４ｎ＋２ ] ＝∑ ∞ ２（－１）ｋ ｘ２ｋ＝２∑ ∞ （－１）ｋ ｘ２ｋ＝２ｃ（ｘ），
ｎ＝０ （４ｎ）！ （４ｎ＋２）！ ｋ＝０ （２ｋ）！ ｋ＝０（２ｋ）！
ｅ（ｉｘ）＋ｅ（－ｉｘ）
所以ｃ（ｘ）＝ …………………………………………………… １１分
２
ｘ
（３）证明：令ｇ（ｘ）＝ ，则有
ｅ（ｘ）－１
－ｘ ｘ [ １ １ ]
ｇ（－ｘ）－ｇ（ｘ）＝ － ＝－ｘ ＋
ｅ（－ｘ）－１ ｅ（ｘ）－１ ｅ（－ｘ）－１ ｅ（ｘ）－１
［ｅ（ｘ）－１］＋［ｅ（－ｘ）－１］ ｅ（ｘ）＋ｅ（－ｘ）－２
＝－ｘ· ＝－ｘ· ＝ｘ，………… １４分
［ｅ（－ｘ）－１］［ｅ（ｘ）－１］ ２－ｅ（ｘ）－ｅ（－ｘ）
∞ Ｂ ∞ Ｂ
因此ｘ＝ｇ（－ｘ）－ｇ（ｘ）＝∑ ｎ（－ｘ）ｎ－∑ ｎｘｎ
ｎ＝０ｎ！ ｎ＝０ｎ！
＝－２∑ ∞ Ｂ ２ｋ＋１ ｘ２ｋ＋１＝－２ [ Ｂｘ＋∑ ∞ Ｂ ２ｋ＋１ ｘ２ｋ＋１ ]
ｋ＝０（２ｋ＋１）！ １
ｋ＝１
（２ｋ＋１）！
１ ∞ Ｂ
故Ｂ＝－ 且∑ ２ｋ＋１ ｘ２ｋ＋１＝０，即Ｂ ＝０（ｋ＝１，２，３，…）………… １７分
１ ２ ｋ＝１（２ｋ＋１）！ ２ｋ＋１
（以上答案仅供参考，其它做法请参考以上评分标准赋分）
蚌埠市高三年级数学参考答案第４页（共４页）
{#{QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=}#}
