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1.4 充分条件与必要条件
一、选择题
1．（2018·海林市朝鲜族中学高一课时练习）有以下四种说法,其中正确说法的个数为 ( )
(1)“m是实数”是“m是有理数”的充分不必要条件;
(2)“a>b>0”是“a2>b2”的充要条件;
(3)“x=3”是“x2-2x-3=0”的必要不充分条件;
(4)“A∩B=B”是“A=⌀”的必要不充分条件.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】若m是实数,则m可能是无理数,故(1)错误;
a>b>0⇒a2>b2,反之则不成立,故(2)错误;
x2-2x-3=0⇒x=3或-1,故(3)错误;
由A=∅,有A∩B=∅,不能得出A∩B=B,故(4)错误，
正确说法的个数为0，故选A.
2．（2018·全国高二课时练习）实数a，b，c不全为0的等价条件是( )
A．实数a，b，c均不为0
B．实数a，b，c中至多有一个为0
C．实数a，b，c中至少有一个为0
D．实数a，b，c中至少有一个不为0
【答案】D
【解析】实数a，b，c不全为0等价于为a，b，c中至少有一个不为0，
故选：D．
3．（2018·海林市朝鲜族中学高一课时练习）设甲、乙、丙是三个条件,如果甲是乙的必要条件,
丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么( )
A．丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
【答案】A
【解析】由甲是乙的必要不充分条件，知甲不能推出乙，乙能推出甲，由丙是乙的充分不必要条件，
知丙能推出乙，乙不能推出丙,所以，丙能推出甲，甲不能推出丙，即丙是甲的充分条件,但不是甲
的必要条件，故选A.4．（2016·广东高二课时练习）设 ，则“ ”是“ ，且 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由 ，且 可得到 ，反之不成立，所以“ ”是“ ，且
”的必要而不充分条件
5．（2016·全国高一课时练习（文））集合 的关系如 图所示，那么“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由Venn图可知
x>2 是x2−4>0的真子集，所以“
”是“ ”的充分非必要条件，故
选A．
6．（2017·全国高一课时练习（文））已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为 ，所以当 时， 成立，当 时， 不一定成立，所以“
”是“ ”的充分不必要条件.
二、填空题
7．（2018·海林市朝鲜族中学高二课时练习）设计如图所示的四个电路图，条件p：“开关S闭
合”；条件q：“灯泡L亮”，则p是q的充分不必要条件的电路图是__________．【答案】(1)(4)
【解析】图(1)开关S闭合则灯泡L亮，反之，灯泡L亮不一定有开关S闭合，∴p⇒q，但q/⇒p，
所以p是q的充分不必要条件．图(2)p⇔q，∴p是q的充要条件．图(3)开关S，S
1
与灯泡L串联，
∴p/⇒q，q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．图(4)开关S闭合则灯泡L亮，反之，灯泡L亮不一定
有开关S闭合，∴p⇒q，但q/⇒p，∴p是q的充分不必要条件．
8．（2018·海林市朝鲜族中学高二课时练习）已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，
则s是q的________条件，r是q的________条件，p是s的________条件．
【答案】充分充分必要
【解析】将题目条件借助于推出符号表示为 s是q的充分条件，r是q的充分条件，p是s
的必要条件．
9．（2018·海林市朝鲜族中学高二课时练习）p：x，x 是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x＋x＝
1 2 1 2
－5，那么p是q的______________条件．
【答案】充分不必要
【解析】∵x，x是方程x2＋5x－6＝0的两根，∴x＋x＝－5.当x＝－1，x＝－4时，x＋x＝－
1 2 1 2 1 2 1 2
5，而－1，－4不是方程x2＋5x－6＝0的两根
10．（2019·乐陵市第一中学高三课时练习（理））设集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，则“
A∪B=R”是“a=1”的______ 条件.(从如下四个中选一个正确的填写：充要条件、充分不必要
条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件)
【答案】必要不充分
【解析】∵集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，
当A∪B=R时，a≤1，
∵a≤1不一定得到a=1
当a=1时一定可以得到a≤1
∴“A∪B=R”是“a=1”的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分条件
三、解答题11．（2012·全国高二课时练习）设集合 ， ，写出
的一个充分不必要条件．
【答案】 ， ， 中之一即可．
【解析】主要考查充要条件的概念及其判定方法。
解： ， 等价于 m=0， 或 =－3 或 =2，即
，或 ，或 ，故 的一个充分不必要条件是 ， ， 中
之一即可。
12．（2018·海林市朝鲜族中学高一课时练习）证明:△ABC是等边三角形的充要条件是
a2+b2+c2=ab+bc+ac(其中a,b,c是△ABC的三条边).
【答案】见解析
【解析】充分性:∵a2+b2+c2=ab+bc+ac,∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,
∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,∴a-b=0,b-c=0,a-c=0,即a=b=c,
∴△ABC是等边三角形.
必要性:∵△ABC是等边三角形,
∴a=b=c,∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=a2+b2+c2-a2-b2-c2=0,∴a2+b2+c2=ab+bc+ac.
综上所述,△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+bc+ac(其中a,b,c是△ABC的三条边).
