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4.2.2等差数列的前n项和公式（2） -A基础练
一、选择题
1．（2020·江苏省锡山高级中学高二期中）为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制
定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李
同学前三天共跑了 米，最后三天共跑了 米，则这15天小李同学总共跑的路程为
（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】B
【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为 ，
则 ，故 ， ，故 ，
则 .故选：B.
2．（2020·湖北荆州市高二月考）世界上最古老的数学著作《莱茵德纸草书》中有一道这样的题目：
把60磅面包分给6个人，使每人所得成等差数列，且较少的三份之和是较多的三份之和的 ，则
最少的一份为（ ）
A． 磅 B．6磅 C． 磅 D． 磅
【答案】C
【详解】由题意，设数列前6项为 ，
则 ，解得 ，
所以 ，故选：C
3．（2021·北京丰台区高二期末）已知等差数列 是无穷数列，若 ，则数列 的前项和 （ ）
A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
【答案】A
【详解】由数列 为等差数列，且 ，得 ，
故数列 为递增数列，且 ，所以 有最小值，无最大值，故选：A.
4．（2021·天津滨海新区高二期末）某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次
募捐活动，共收到捐款1200元.他们第一天只得到10元，之后采取了积极措施，从第二天起每一天
收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（ ）
A．15天 B．16天 C．17天 D．18天
【答案】A
【详解】设他们每天收到的捐款形成数列 ，则由题可得 是首项为10，公差为10的等差数
列， ，解得 （舍去）或 ，
所以这次募捐活动一共进行的天数为15天.故选：A.
5．（多选题）（2021·山东枣庄市高二期末）已知递减的等差数列 的前 项和为 ， ，
则（ ）
A． B． 最大 C． D．
【答案】ABD
【详解】因为 ，故 ，所以 ，
因为等差数列 为递减数列，故公差 ，所以 ，故AB正确.
又 ， ，故C错误，D正确.故选：ABD.
6．（多选题）（2021·全国高二课时练）等差数列 的前n项和 ，且 ，，则下列各值中可以为 的值的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】CD
【详解】因为等差数列 的前n项和 ，所以可设 ，
因为 ， ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，当且仅当 时等号成
立，又 ，所以等号不能取得，因此 ，故CD正确，AB错.故选：CD.
二、填空题
7．（2021·贺州市桂东高级中学高二期末）等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，
当 ________时， 最大.
【答案】6或7
【详解】解：因为 ，所以 ，化简得 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
它的图像是开口向下的抛物线，其对称轴为 ，
因为 ，所以当 或 时， 取得最大值，故答案为：6或78．（2020·咸阳百灵学校高二月考）已知等差数列 和 的前 项和分别为 与 ，且
，则 ________．
【答案】
【详解】解：由 ，设 ， ，
则 ，
， .故答案为：
9．（2021·河南郑州高二期末）我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将
1，2，…，9填入 的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，
将连续的正整数 填入 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相
{x2 + y2 =1¿¿¿¿ (b2 +a2k2 )x2 +2kma2x+a2m2 −a2b2 =0
等，这个正方形叫做 阶幻方.记 阶幻方的对角线上的数字之和为a2b2 ，如图三阶幻方的 ，
那么 的值为__________ .
【答案】369
【详解】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，根据等差数列的性质可知对角上的两个数
相加正好等于 ，根据等差数列的求和公式， ，故.
10．（2021·徐汇区上海中学高二期末）已知数列 为等差数列， ， 表示数列
的前 项和，若当且仅当 时， 取到最大值，则 的取值范围是________
【答案】
【详解】由 ，得 即
当且仅当 时， 取到最大值，则
则 ，即 ，得到
由 ，可得 故答案为：
三、解答题
11．（2021·延安市第一中学高二期末）如图，某报告厅的座位是这样排列的：第一排有9个座位，
从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位．
（1）求第六排的座位数；
（2）某会议根据疫情防控的需要，要求：同排的两个人至少要间隔一个座位就坐，且前后排要错
位就坐．那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议？（提示：每一排从左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可保证安
排的参会人数最多）
【详解】解：（1）依题意，得每排的座位数会构成等差数列 ，其中首项 ，公差 ，
所以第六排的座位数 ．
（2）因为每排的座位数是奇数，为保证同时参会的人数最多，第一排应坐5人，
第二排应坐6人，第三排应坐7人，……，这样，每排就坐的人数就构成等差数列 ，
首项 ，公差 ，所以数列前10项和 ．
故该报告厅里最多可安排95人同时参加会议．
12.（2021·福建省福州一中高二期末）新能源汽车环保､节能，以电代油，减少排放，既符合我国的
国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万
辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.福建某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电
桩，每台12800元，第一年每台设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电
桩每年可给公司收益6400元.
（1）每台充电桩第几年开始获利？(参考数据： )
（2）每台充电桩前几年的年平均利润最大(前 年的年平均利润= ).
【详解】（1）每台充电桩第 年总利润为
所以每台充电桩第3年开始获利
（2）每台充电桩前 年的年平均利润当且仅当 时取等号
所以每台充电桩前8年的年平均利润最大
