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6.3 二项式定理（精练）
【题组一 二项式定理展开式】
1．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州）计算 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】原式可变为（ + ）- = 选项D.
2．（2021·江苏无锡市））设 ，化简 ______.
【答案】
【解析】容易知 .故答案为： .
3．（2021·上海市）已知 ，若 ，则 ________.
【答案】
【解析】
故答案为：
4．（2018·江苏无锡市）求值
__________．
【答案】1
【解析】通项展开式中 的 ，故
=
【题组二 二项式指定项的系数与二项式系数】1.（2020·湖北高二） 展开式中含 的项是（ ）
A．第8项 B．第7项 C．第6项 D．第5项
【答案】C
【解析】 展开式的通项公式为： ；
令 ；故展开式中含 的项是第6项.故选：C.
2．（2020·安徽合肥市）二项式 展开式中的第2020项是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】由二项展开式 ，可得展开式的通项为 ，
所以展开式中第2020项为 .故选：C.
3．（2020·常州市新桥高级中学高二期中）二项式 的展开式中，常数项为________.
【答案】
【解析】 的展开式的通项公式为 ，
令 ，可得 ，所以展开式的常数项为 ，故答案为： .
4（2020·全国高二）已知 在的展开式中，第6项为常数项．
（1）求 ；
（2）求含 的项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项．【答案】（1） ；（2） ；（3） ， ， .
【解析】（1） 的展开式的通项为 ，因为第6
项为常数项，所以 时，有 ，解得 ．
（2）令 ，得 ，所以含 的项的系数为 ．
（3）根据通项公式与题意得 ，令 ，则 ，即 ．
，∴ 应为偶数．又 ，∴ 可取2，0，-2，即 可取2，5，8．所以第3项，第6项与第
9项为有理项，它们分别为 ， ， ，即 ， ， ．
【题组三 多项式指定项系数或二项式系数】
1．（2021·郏县）在 的展开式中， 项的系数为（ ）
A． B． C．30 D．50
【答案】B
【解析】 表示5个因式 的乘积，在这5个因式中，
有2个因式都选 ，其余的3个因式都选1，相乘可得含 的项；或者有3个因式选 ，有1个因式选 ，1个因式选1，相乘可得含 的项，
故 项的系数为 ，故选B．
2．（2021·全国） 展开式中 的系数为（ ）
A．92 B．576 C．192 D．384
【答案】B
【解析】 展开式中含 的项为 ，即 的系数为576；故
选B.
3．（2020·河南鹤壁市） 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 展开式中含 项为 展开式中 项的系数为
项的系数为 展开式中 的系数为
，故选B.
4．（2020·新疆高二期末）代数式 的展开式的常数项是________（用数字作答）
【答案】3
【解析】 的通项公式为 .
令 ，得 ；令 ，得 .
∴常数项为 故答案为 .
5．（2020·民勤县第一中学高二期末） 的展开式中的常数项为_____．（用数字作答）【答案】180
【解析】 的展开式中的通项公式 ，
而 分别令 ， ，解得 ，或
．
∴ 的展开式中的常数项 ．故答案为：180．
6．（2020·全国高二课时练习）求 的展开式中 的系数 .
【答案】
【解析】因为 的展开式中含 的项为 ，所以其系数为 .故
答案为：600
7．（2020·江苏省太湖高级中学高二期中） 的展开式中 的项的系数是________.
【答案】1560
【解析】由题意， ，
因为 的展开式的通项公式为 ， 的展开式的通项公式为 ，
所以 的展开式中 的项的系数是
.故答案为：1560.
8．（2020·全国高二课时练习）已知 的展开式中 的系数是 ，求实数a的值
.
【答案】2【解析】由 的展开式的通项公式为 ，
令 ，可得 ，令 ，可得 ，
所以 的展开式中 的系数为 ，
解得 .故答案为： .
【题组四 二项式定理的性质】
1．（2020·安徽省六安中学高二期中）在 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展
开式中 的系数为（ ）
A． B． C． D．7
【答案】D
【解析】因为在 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大所以 所以 的展
开式的通项 令 ，得
所以展开式中 的系数为 故选：D
2．（2020·利川市第五中学高二期末）若 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式
中含 项的系数是（ ）
A．132 B． C． D．66【答案】D
【解析】因为 展开式中只有第7项的二项式系数最大，
所以 为偶数，展开式有13项， ，
所以二项式展开式的通项为
由 得 ，所以展开式中含 项的系数为 .故选：D
3．（2020·银川市·宁夏大学附属中学高二期中） 展开式中只有第六项的二项式系数最大，
则展开式中的常数项是（ ）
A． B． C．-180 D．-90
【答案】A
【解析】 展开式中只有第六项的二项式系数最大， ，
故 展开式的通项公式为 ，令 ，解得
，所以展开式中的常数项为 .故选：A
4．（多选）（2020·江苏泰州市·高二期末）在 的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0
C．常数项为20 D．二项式系数最大的项为第4项
【答案】ABD
【解析】 的展开式中所有二项式系数和为 ，A正确；令 可得 的展开式中所有项的系数和为 ，B正确；
通项为 ，令 ，所以 的展开式中常数项为 ，C错
误；
的展开式共有7项，二项式系数最大为第4项，D正确.故选：ABD
5．（多选）（2020·苏州市第四中学校高二期中）已知 （其中 ）的展开式中第9项，
第10项，第11项的二项式系数成等差数列．则下列结论正确的是（ ）
A．n的值为14 B．展开式中常数项为第8项
C．展开式中有理项有3项 D．二项式系数最大的项是第7项
【答案】AC
【解析】由题意 ，化简得 ，∵ ，∴ ．A正确；
展开式通项为 ，
显然其中无常数项，B错误；
当 时， 为整数，因此展开式中有3项为有理项，C正确；
展开式有15项，二项式系数最大的项为第8项，D错误．故选：AC．
6．（2020·山东潍坊市·寿光现代中学高二期中）关于 的说法，正确的是（ ）
A．展开式中的二项式系数之和为2048
B．展开式中只有第6项的二项式系数最大
C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最大
【答案】AC
【解析】 的展开式中的二项式系数之和为 ，所以 正确；因为 为奇数，所以展开式中有 项，中间两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以
不正确， 正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以 不正确.故选： AC
7．（2020·河北石家庄市·石家庄二中高二期中）（多选题）已知 展开式中，各项系数的和
比它的二项式系数的和大 ，则下列结论正确的为（ ）
A．展开式中偶数项的二项式系数之和为 B．展开式中二项式系数最大的项只有第三项
C．展开式中系数最大的项只有第五项 D．展开式中有理项为第三项、第六项
【答案】CD
【解析】令 ，可得展开式中各项系数的和为 ，又二项式系数的和 ，
因为各项系数的和比它的二项式系数的和大 ，所以 ，解得 ，
对A：因为二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，
所以展开式中，偶数项的二项式系数的和为 ，故A错误；
对B：因为 ，所以第三项、第四项的二项式系数最大，故B错误；
对C： ，设展开式中系数最大的项是第 项，
则 ，解得 ，又 ，所以 ，
所以展开式中系数最大的项只有第五项，故C正确；
对D：若 是有理项，则当且 为整数，又 ， ，
所以 ，所以展开式中有理项为第三项、第六项，故D正确.故选：CD
【题组五 二项式系数或系数和】
1．（2020·浙江台州市·高二期中）若 ，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】令 可得： ，
令 可得： ，两式相加可得： ，
所以 ，故选：B
2．（2020·奈曼旗实验中学高二期中）已知 ，
，则自然数 等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【解析】由题意，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，解得 .故选：C.
3．（2020·河北石家庄市·石家庄二中高二期中）若
，则 （ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】C
【解析】 ，
当 且 时， ，
因此， .故选：C.
4．（2020·古丈县第一中学高二月考）已知多项式
可以写成，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，多项式
，
即 ，
令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
两式相加，可得 ，可得 .
故选：C.
5．（2020·青海高二期末）已知 的展开式中第9项为常数项，则展开式中的各项系数之和为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，所以 ，则 ,
令 ，可得 ，所以展开式中的各项系数之和为 ．故选：A.
6．（2020·宁夏吴忠市·吴忠中学）设复数 （ 是虚数单位），则
（ ）A．i B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
，故选D.
7．（2020·宜昌天问教育集团高二期末）已知 展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式
系数相等， ，若 ，则
的值为( )
A．1 B．－1 C．8l D．－81
【答案】B
【解析】因为 展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，
故可得 ，令 ，故可得 ，
又因为 ，令 ，则 ，
解得 令 ，则 .故选：B.
8．（2020·全国高二课时练习（理））已知(x＋1)10＝a＋ax＋ax2＋…＋ax10．若数列a，a，a，…，
1 2 3 11 1 2 3
a(1≤k≤11，k∈N*)是一个单调递增数列，则k的最大值是（ ）
k
A．5 B．6
C．7 D．8
【答案】B
【解析】由二项式定理知a＝ (n＝1，2，3，…，11)．又(x＋1)10展开式中二项式系数具有对称性，
n
且最大的项是第6项，且从第1项到第6项二项式系数逐渐增大，第6项到底11项二项式系数逐渐减小，∴k的最大值为6.故选：B.
【题组六 二项式定理的运用】
1．（2020·全国高二课时练习） 除以88的余数是（ ）
A．2 B．1 C．86 D．87
【答案】B
【解析】因为
，
所以 除以88的余数是1.故选：B.
2．（2020·全国高二课时练习）设 ，且 ，若 能被13整除，则 （ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
【答案】D
【解析】由题意，因为 ，
所以 ，
又因为52能被13整除，所以只需 能被13整除，
因为 ， ，所以 .
故选：D.
3．（2020·江苏省如东高级中学高二期中）已知 ，且 恰能被14整除，则 的取值可以
是（ ）
A． B．1 C．7 D．13
【答案】D
【解析】因为
其中 能被14整除，所以 的取值可以是 .故选：D.4．（2020·全国高二单元测试）设a∈Z，且0≤a＜13，若512020+a能被13整除，则a＝（ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
【答案】D
【解析】512020＝（52﹣1）2020＝（1﹣52）2020
.
因为52能被13整除，所以上式从第二项起，每一项都可以被13整除，
所以上式被13除，余数为 ，
所以要使512020+a能被13整除，因为a∈Z，且0≤a＜13，只需a+1＝13即可，
故a＝12.
故选：D.
5．（2020·江苏盐城市·盐城中学高二期中）设n∈N*，则 1n80+ 1n﹣181+ 1n﹣282+ 1n﹣383+……
+ 118n﹣1+ 108n除以9的余数为（ ）
A．0 B．8 C．7 D．2
【答案】A
【解析】因为C 1n80+C 1n﹣181+C 1n﹣282+C 1n﹣383+……+C 118n﹣1+C 108n＝（1+8）n＝9n；
故除以9的余数为0；故选：A.
6．（2020·山东临沂市·高二期中） 的近似值（精确到0.01）为（ ）
A．1.12 B．1.13 C．l.14 D．1.20
【答案】B
【解析 .
故选：B．
7．（2020·全国高二课时练习） 的计算结果精确到个位的近似值为（）
A．106 B．107 C．108 D．109
【答案】B
【解析】∵ ，∴ .故选B
8．（2020·江苏苏州市·高二期中）已知 为正整数，若 ，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】因为
，
而 ，
所以 ，
因此 ，
又 为正整数， ，所以 ；
故选：C.
