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平面向量的应用 练习
一、选择题（共10题）
1.在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 ， ， ，则
( )
A. B. C. 或 D. 或
2.如图，在重 的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡
时，两根绳子拉力的大小分别为( )
A. B.
C. D.
3. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 ，
，则 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
4.在 中，内角 所对的边长分别是 ，若 ，则
的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
5.长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度 的大小
，水流的速度 的大小 ，设 和 所成的角为 ，
若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则 等于( )
A. B. C. D.6.在 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若 ， ，则
的面积是( )
A.3 B. C. D.
7.在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若 ， ， ，则满足条
件的 的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.无数多个
8.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，
且 ，则建筑物的高度为( )
A. B. C. D.
9.若 的三个内角 所对的边分别是 ，若 ，且
，则 ( )
A. 10 B. 8 C. 7 D. 4
10.在等腰梯形 中， ，P是腰 上的动点，则|
|的最小值为（ ）
A. B.3 C. D.
二、填空题（共4题）
11.在 中，若 ， ， ，则AB边上的高是_____________.
12.一条两岸平行的河流，水速为 ，小船的速度为 ，小船欲到河的正对岸，为
使所走路程最短，小船应朝_______的方向行驶.
13.在 中， ， ， ，点D在线段AC上.若 ，则
______________， ____________.
14.设O为 的外心，若 ，则 的值为___________.
三、计算题15.在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 ， ， .
（1）求B；
（2）若内角B的平分线交AC于点D，求 的面积.答案解析
1.答案：A
解析：因为 ， ， ，所以由正弦定理 ，可得
，又 ，可得B为锐角，则 .
2.答案：C
解析：作平行四边形OACB，使 ，如图.
在平行四边形OACB中， ， ，
， ， .
3.答案：A
解析：由 ，结合正弦定理，得 ，所以
.由余弦定理得 ，即 ，整理得 .
故选A.
4.答案：D
解析：由余弦定理得 ，
，代入原式得 ，
所以 ，所以 ，
解得 或 ，则 为等腰三角形或直角三角形.
5.答案：B
解析：设游般的实际速度为v， 与河流南岸上游的夹角为 ， ， .以
AD，AC为邻边作平行四边形如图所示，要使得游船正好航行到B处，则 ，即 .又 ，所以 ，故选B.
6.答案：B
解析：由 可得 ，又由余弦定理得
，所以 ，解得 .则
.故选B.
7.答案：B
解析：由正弦定理得 ， ， ，所以C只有一解，
所以满足条件的 只有1个，故选B.
8.答案：D
解析：设建筑物的高度为 .由题图知， ， ， .在 和
中，分别由余弦定理得， ，①
.② ， .③由
①②③，解得 或 （舍去）.即建筑物的高度为 .
9.答案：B
解析： ，
即 ，
即 ，
由正弦定理和余弦定理得： ，即 ，
即 ，
则 ，故选B.
10.答案：C
解析：如图，以 为原点，射线 为 轴正半轴建立直角坐标系，则由题意可得
，设 ，其 ，
则 ，
所以 ，
所以
，
所以当 时， 取最小值 ，
故选：C
11.答案：1或2
解析：由正弦定理 ，得 . ，
或 .
当 时， ，AB边上的高为2；
当 时， ，AB边上的高为 .
12.答案：与水速成120°角解析：如图，为使小船所走路程最短， 应与岸垂直.
又 ，所以 .
所以小船应朝与水速成120°角的方向行驶.
13.答案： ；
解析：在 中，由正弦定理得 ，即 ，则 ，则
.
14.答案：
解析：设 外接圆的半径为R，
因为 ，所以 ，
所以 ，且 ，
取 的中点M，连接 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
在 中由余弦定理可得：，
在 中，由正弦定理可得： ，故答案为： .
15.答案：（1）
（2）
解析：（1）在 中，由余弦定理得
，解得 ， .
由余弦定理得 .
因为 ，所以 .
（2）由（1）知， ， ， .
在 中，
.
由正弦定理得 ，所以 ，得 .
所以 的面积 .
