专题07直线的交点坐标与距离公式（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修1_06.专项练习_专题07直线的交点坐标与距离公式-高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练

专题07 直线的交点坐标与距离公式 一、单选题 P(1，3) x2y3＝0 1．（2020·洞口县第九中学高二月考）过点 且垂直于直线 的直线方程为（ ） 2x y1＝0 2x y5＝0 x2y5＝0 x2y7＝0 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 1 根据题意，易得直线x2y3＝0的斜率为2 ， 由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为2， (1，3) 又知其过点 ， y32(x1)2x y1＝0 由点斜式得所求直线方程为 ． 故选：A． 2x y10 x 2．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）与直线 关于 轴对称的直线方程为（ ） 2x y10 2x y10 A． B． 2x y10 x2y10 C． D． 【答案】A 【解析】 Px,y 设对称直线上的点为 ， x Qx,y 2x y10 则其关于 轴的对称点 在直线 上， 2xy10 2x y10 所以 即 ，选A. 点睛：若直线 l:AxByC 0  A2 B2 0  ，那么l关于x轴的对称直线的方程为 AxByC 0 ，y AxByC 0 y  x Bx AyC 0 关于 轴的对称直线的方程为 ，关于直线 对称的直线的方程 . l :3x- 4y-1=0 l :6x-8y-7=0 3．（2019·瓦房店市实验高级中学高二月考）两条平行线 1 与 2 间的距离 为( ) 1 3 6 A．2 B．5 C．5 D．1 【答案】A 【解析】  7 5 1     2 2 1 直线 7 ，所以两条平行线间的距离为   . l 2 :3x4y 2 0 32 42 5 2 故选：A 4．（2020·哈密市第十五中学高二期末）已知直线 过点 ，且与直线 平行，则 的方程 l (1,1) 6x5y40 l 为（ ） A． B． 5x6y110 5x6y10 C． D． 6x5y110 6x5y10 【答案】D 【解析】 设直线 的方程为 ，又因为该直线过点 ，所以 ，即 ， 的方程为 l 6x5ym0 (1,1) 65m0 m1 l ；故选D． 6x5y10 5．（2018·山西省山西大附中高二期中（文））已知点 P1,2 与直线 l ： x y10 ，则点P关于直线 l 的对称点坐标为 3,1 2,4 3,2 2,2 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】b2 (1)1  a1  设 关于直线 ： 对称的点为 ，则 a1 b2 ，解得a 3，即   10  P1,2 l x y10 Q(a,b)  2 2 b2 P1,2 l x y10 (3,2) 关于直线 ： 对称的点为 .故选C. 6．（2020·广东省高三月考（文））已知直线l：x+（m+1）y+m＝0，l：mx+2y+1＝0，则“l∥l”的必要 1 2 1 2 不充分条件是（ ） A．m＝﹣2 B．m＝1 C．m＝﹣2或m＝1 D．m＝2或m＝1 【答案】C 【解析】 ∵直线l：x+（m+1）y+m＝0，l：mx+2y+1＝0， 1 2 若l∥l，则m（m+1）-2＝0，解得：m＝﹣2或m＝1 1 2 当m＝1时，l 与l 重合，故“l∥l” “m＝﹣2”， 1 2 1 2 故“l∥l”的必要不充分条件是“m＝⇔-2或m＝1”， 1 2 故选：C． 3m1x4m1y12m10 m 7．（2018·山西省山西实验中学高二期中）无论 取何值，直线 都恒 过一个定点，则定点的坐标为（ ） (8,9) (9,8) (15,14) (14,15) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 3m1x4m1y12m10 由题直线 ， 3x4y120  即m3x4y12x y10，令 x y10 ， x8  解得 y 9 ，所以该直线过定点(8,9). 故选：A1,aa 0 l:x y20 a 8．（2019·浙江省镇海中学高一期末）已知点 到直线 的距离为1，则 的值为 （ ） 2 2 2 21 21 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 1a2 1a1 2 由题, 12 12 ,因为 a0 ,故 a  21 . 故选：D 9．（2019·陕西省高三月考（理））已知直线l：2x﹣y﹣2=0与直线l：3x+y﹣8=0的交点为P，则点P到 1 2  5 直线l：y=﹣2x 的距离为（ ） 4 30 5 A．5 B． 5 6 55 6 5 C． 5 D． 5 【答案】C 【解析】 2x y20  联立 3x y80 ，得P（2，2），  5 ∴点P（2，2）到直线l：y=﹣2x 的距离 6 5 6 55 d   ． 5 5 故选：C l l :x y10 10．（2018·山西省山西大附中高二期中（文））已知直线 过直线 1 与直线 l :2x3y80 P0,4 l l 2 的交点，且点 到直线 的距离为2，则这样的直线 的条数为A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】 x2y30 x1 { { 方法一 由 2x3y80，得 y 2，即直线l过点(1,2) ，设Q1,2 ,因为 PQ  102 242  5 2,所以满足条件的直线l有2条.故选C. l ,l l 方法二 依题意，设经过直线 1 2交点的直线 的方程为 2x3y8x2y30R 2x32y380 ，即 .由 12-83-8 2 18 题意得 22 3-22 ，化简得 ，解得 或 ，代入得直线 的方程为 52-8-360 -2 5 l y 2 4x3y20 或 ，故选C. 二、多选题 11．（2020·江苏省启东中学高一开学考试）（多选题）下列说法正确的是（ ） x y20 A．直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是2 (0,2) yx1 (1,1) B．点 关于直线 的对称点为 y y xx 1  1 C．过(x ,y )，(x ,y )两点的直线方程为 y  y x x 1 1 2 2 2 1 2 1 (1,1) x y x y20 D．经过点 且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为 【答案】AB 【解析】 0+1 21 ( , ) A中直线在坐标轴上的截距分别为2，2，所以围成三角形的面积是2正确，B中 2 2 在直线 yx1 (0,2),(1,1) 1 y  y ,x  x 上，且 连线的斜率为 ，所以B正确，C选项需要条件 2 1 2 1，故错误，Dy  x 选项错误，还有一条截距都为0的直线 . l :x y10 l :(k1)xkyk 0(kR) 12．（2018·全国单元测试）已知直线 1 ，动直线 2 ，则下列结 论错误的是（ ） l l l k k A．不存在 ，使得 2的倾斜角为90° B．对任意的 ， 1与 2都有公共点 l l l l k k C．对任意的 ， 1与 2都不重合 D．对任意的 ， 1与 2都不垂直 【答案】AC 【解析】 逐一考查所给的选项： l k 0 x0 A.存在 ，使得 2的方程为 ，其倾斜角为90°，故选项不正确． l :x y10 0,1 l :k1xkyk 0kRkx y1x0 B直线 1 过定点 ，直线 2 过定 0,1 点 ，故B是正确的． 1 1 1 1 x x y 0 C.当 2 时，直线 l 2 的方程为2 2 2 ，即x y10， l 1 与 l 2 都重合，选项C错误； 1k11k 0 l l k D.两直线重合，则： ，方程无解，故对任意的 ， 1与 2都不垂直，选项D正确． 故选：AC. l: 3x y10 13．（2019·山东省高二期末）已知直线 ，则下列结论正确的是（ ）  A．直线 l 的倾斜角是 6 B．若直线m:x 3y10,则 l m ( 3,0) l 2 (2 3,2) l 3x y40 C．点 到直线 的距离是 D．过 与直线 平行的直线方程是 【答案】CD 【解析】  对于A．直线l：3x y10的斜率k＝tanθ 3，故直线l的倾斜角是 3 ，故A错误；3  对于B．因为直线m：x 3y10的斜率k′ 3 ，kk′＝1≠﹣1，故直线l与直线m不垂直，故B错误； 3 301   对于C．点 3，0 到直线l的距离d  3 2 12 2，故C正确；   2 3，2 对于D．过 与直线l平行的直线方程是y﹣2 3（x﹣2 3），整理得： 3x y40，故D 正确． 综上所述，正确的选项为CD． 故选：CD． 三、填空题 l :ax y10 l :x y30 d a  14．（2019·浙江省高三月考）已知两条平行直线 1 与 2 的距离为 ，则 ____________，d  _________. 2 2 【答案】-1 【解析】 4 d  2 2 因为l 1 l 2 ，所以a1，两直线的距离为 2 . 2 2 故答案为：-1； . 3x4y50 M(2,3) 15．（2020·江苏省启东中学高一开学考试）直线 关于点 对称的直线的方程为 _________. 3x4y410 【答案】 【解析】 P(x,y) M(2,3) x ,y  设所求直线上任一点坐标为 ，P点关于点 对称的点为 0 0 x x 2 0   2  根据坐标中点公式可得： y  y  3 0  2 x 4x 0  解得： y 6 y ①  0 —— x ,y  3x4y50 点 0 0 在直线 3x 4y 50  —— 0 0 ② 3(4x)4(6 y)50 将①代入②可得： 3x4y410 整理可得： . 3x4y410 故答案为： . A0,2 B4,0 16．（2020·山西省高二期末（文））将一张画有直角坐标系的图纸对折，使点 与 重合， C0,4 若此时点 恰与点D重合，则点D的坐标是________． 28 6 ,   【答案】 5 5 【解析】 1 k  设折线方程为ykxb， AB 2 ，故k 2，AB中点为 2,1 ，故b3. y 2x3 故 .  n4 1    m 2  设 ，则 n4 m ，解得 28， 6 .  2 3 m n Dm,n  2 2 5 528 6 ,   故答案为： 5 5. 17．（2019·陕西省高二竞赛）已知 为正数，且直线 与直线 互相 m,n x(n2)y50 nxmy30 垂直，则m2n的最小值为________． 【答案】9 【解析】 因为直线 与直线 互相垂直， x(n2)y50 nxmy30 因为n-（n-2）m=0,所以2m+n=mn， 2 1 从而有  1 n m 2 1 2m 2n ， m2n (m2n)(  ) 52  9 n m n m 故答案为：9． 四、解答题 l A  m,1  B3,4 l 18．（2019·四川省仁寿一中高二期中（文））已知直线 1经过点 ， ，直线 2经过 C1,m D1,m1 ， . l //l m （1）若 1 2，求实数 的值； l l m （2）若 1 2，求实数 的值. 9 m 【答案】（1）m3；（2） 2 . 【解析】 1 1 41 k  k   （1）∵ 2 2，若 l //l ， 1 2 3m，m3； 1 2 1 41 9 k  k 2 m （2）∵ 2 2，若 l 1 l 2 ， 1 3m， 2 .l :3x2y10 l :5x2y10 19．（2020·四川省高二期末（文））求经过直线 1 和 2 的交点，且平行 l :3x y60 于直线 3 的直线的方程. 3x y50 【答案】 【解析】 3x2y10 x1   由 5x2y10，求得 y 2 ， l :3x2y10 l :5x2y10 1,2 故直线 1 和 2 的交点为 ， 3x yc0 1,2 设所求的直线的方程为 ，再把点 代入， 求得c5， 3x y50 故所求的直线的方程为 . 20．（2019·四川省绵阳南山中学高二期中（理））在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1 ＝0，∠A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标． 1,0 5,6 【答案】 , 【解析】 x2y10,  由方程组  y 0, 解得点A的坐标为(－1,0)． 又直线AB的斜率k ＝1，x轴是∠A的平分线， AB 所以k ＝－1，则AC边所在的直线方程为y＝－(x＋1)．① AC 又已知BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0， 故直线BC的斜率k ＝－2， BC 所以BC边所在的直线方程为y－2＝－2(x－1)．②  x5,  解①②组成的方程组得 y 6, 即顶点C的坐标为(5，－6)． 21．（2020·陕西省陕西师大附中高一期末） 已知直线l：ax－y＋b＝0；l：bx＋y＋a＝0(a∈R， 1 2b∈R)． (1)直线l，l 能否平行？说明理由； 1 2 (2)若直线l，l 重合，求证：点P(a，b)与点Q(b，a)在同一条直线上； 1 2 (3)求证：两条直线l，l 的交点共线． 1 2 【答案】(1)直线l，l 不能平行． 1 2 (2)见解析 (3) 见解析 【解析】 l :ax yb0 l :bx ya0 (1)由题意，假设直线 1 与 2 平行， AB A B 0 BC B C 0 a(b)0 ab0 则满足 1 2 2 1 且 1 2 2 1 ，即 且 ，显然矛盾， l ,l 所以直线 1 2不能平行． l ,l ab0 P(a,b) Q(b,a) (2)证明：若直线 1 2重合，由（1）可知必有 ，故点 与点 在同一条直线上． l ,l ab0 (3)证明：若两条直线 1 2相交，可得 ， ax yb0 x1   解方程组 bx ya0，得 y ba，故直线的交点为(1,ba)， 由此可得直线的交点都在直线x1上． l:2abxabyab0 P3,4 22．（2020·江苏省启东中学高一开学考试）已知直线 及点 ． 1 l 证明直线 过某定点，并求该定点的坐标． 2 当点P到直线 l 的距离最大时，求直线 l 的方程． 2,3 5x y70 【答案】（1）证明见解析,定点坐标为 （2） 【解析】 1 a2x y1bx y10 l 直线 方程可化为：2x y10  由 x y10 ，解得 x2 且y 3， 2,3 直线恒 l 过定点A，其坐标为 ． 2 A2,3  l 直线恒 过定点 当点P在直线l上的射影点恰好是A时， 即PAl 时，点P到直线l的距离最大 43 1 k   PA的斜率 PA 32 5  1 k  5  直线l的斜率 k PA 由此可得点P到直线l的距离最大时， l y35x2 5x y70 直线 的方程为 ，即 ． ABC AB AC 23．（2019·浙江省效实中学高一期中）三角形 中，边 和 所在的直线方程分别为 x3y100 x y20 BC M(3,1) 和 ， 的中点为 . A,B,C （1）求 的坐标； （2）求角B的内角平分线所在直线的方程. A1,3,B(2,4),C(4,2) y 2x 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 AB AC x3y100 x y20 （1）边 和 所在的直线方程分别为 和 ， x1,y 3 ∴两直线方程联立解得 ， A1,3 ∴点 ， BC M(3,1) B(x ,y ),C(x ,y ) ∵ 的中点为 ，设 1 1 2 2 ，x 3y 100 x =2 1 1 1   x  y 20 x 4 2 2 2 ∴ ，解得 ， x +x =6 y =4  1 2  1   y  y 2   y 2 1 2 2 B(2,4),C(4,2) 即 ， (2)BC直线方程为3x+y-10=0, 设角B的内角平分线所在直线的上的点为P（x，y）， 根据角平分线性质，P点到AB、BC的距离相等， x3y10 3x y10  可得 132 132 ， x+2y100 2x y 0 化简可得 或者 ， 根据三角形ABC在坐标系中位置， 可得角B内角平分线所在直线的斜率为正值， 2x y 0 故为 .