专题30条件概率与全概率公式（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修3_05.专项训练_专题30条件概率与全概率公式-高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练

专题30 条件概率与全概率公式 一、单选题 9 1．（2020·河南南阳高二二模（理））根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为30，下雨的 11 8 概率为30，既吹东风又下雨的概率为30.则在下雨条件下吹东风的概率为（ ） 2 8 8 9 A．5 B．9 C．11 D．11 【答案】C 【解析】 分析： 在下雨条件下吹东风的概率=既吹东风又下雨的概率 下雨的概率 详解： 8 30 8 = 在下雨条件下吹东风的概率为 ，选C 11 11 30 2．（2020·安徽省六安中学高二期中（理））根据以往数据统计,某酒店一商务房间1天有客人入住的概率 4 3 为5 ，连续2天有客人入住的概率为5,在该房间第一天有客人入住的条件下,第二天也有客人入住的概率 为（ ） 1 1 3 3 A．3 B．2 C．5 D．4 【答案】D 【解析】 4 3 3 P= P 设第二天也有客人入住的概率为P，根据题意有5 5，解得 4，故选D.ABCD I E F G 3．（2020·河南开封高三二模（理））已知正方形 ，其内切圆 与各边分别切于点 ， ， 、 H ，连接EF ，FG，GH ，HE．现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I   P B A  内，事件B：豆子落在四边形EFGH 外，则 （ ） 2 1 π 1 2 1  A．π B． π C．2 D．4 2 【答案】B 【解析】 ABCD 2a I r a a2 由题意，设正方形 的边长为 ，则圆 的半径为 ，面积为 ； EFGH 2a 2a2 正方形 的边长为 ，面积为 ； a2 2a2 2 所求的概率为P(B|A) 1 ．  a2  故选：B． 4．（2020·河南高二期末（理））把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出   P B A 现正面”为事件B，则 =（ ） 1 1 1 1 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【解析】 1 P(A) “第一次出现正面”： 2,1 1 1 P(AB)  = “两次出现正面”: 2 2 4, 1 P(AB) 1 PB| A = 4 = 则 P(A) 1 2 2 故选A 1 3 PB|A PA PAB 5．（2020·陕西临渭高二期末（文））已知 2 ， 5， 等于（ ） 5 9 3 1 A．6 B．10 C．10 D．10 【答案】C 【解析】 P(AB) 当P(A)0时，P(B| A) , 根据条件概率的定义和计算公式： P(A) 把公式进行变形，就得到 当P(A)0时，P(AB) P(B| A)P(A) ，故选C. 6．（2020·黑龙江南岗哈师大附中高二期末（理））从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2 P(B| A) 个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则 （ ） 13 13 3 3 A．8 B．40 C．45 D．4 【答案】B 【解析】 5 P(A) 由题意 9 A B  事件 为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有223313 2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有 个事件 13 13 P(A B)   98 72 P(A B) 13  P(B| A)  由条件概率的定义： P(A) 40 故选：B 7．（2020·西夏宁夏大学附属中学高二月考（理））将两颗骰子各掷一次，设事件A“两个点数不相 PA|B 同”， B“至少出现一个6点”，则概率 等于（ ） 10 5 5 5 A．11 B．11 C．18 D．36 【答案】A 【解析】 由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36-6=30 至少出现一个6点的情况分二类，给两个骰子编号，1号与2号，若1号是出现6点，2号没有6点共五种 2号是6点，一号不是6点有五种，若1号是出现6点，2号也是6点，有1种，故至少出现一个6点的情 10 况是11种∴ =11 8．（2020·广东东莞高二期末）一个袋中装有大小相同的3个白球和3个黑球，若不放回地依次取两个球， P(B A) 设事件A为“第一次取出白球”，事件B为“第二次取出黑球”，则概率 （ ） 5 3 1 2 A．6 B．5 C．2 D．5 【答案】B 【解析】 设事件A为“第一次取出白球”，事件B为“第二次取出黑球”， 3 1 3 3 3 P  A  = = ，P  AB  =  = 6 2 6 5 10，第一次取出白球的前提下，第二次取出黑球的概率为： PAB 3 P(B A)  PA 5. 故选：B. 二、多选题 9．（2020·大名中学高二月考）甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面 上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件 A B C 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件 为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件 为 “乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ） P(A) P(B) P(C) P(BC) P(AC) P(AB) A． B． 1 1 P(ABC) P(A)P(B)P(C) C． 8 D． 8 【答案】ABD 【解析】 2 2 2 2 1 2 1 P(A)     P(B) P(C)  由已知 4 4 4 4 2 ， 4 2， 1 1 1 P(AB) P(A)P(B) P(AC) P(BC) 由已知有 4， 4 ， 4， P(A) P(B) P(C) 所以 ，则A正确； P(BC) P(AC) P(AB) ，则B正确； 1 P(ABC) 事件A、B、C不相互独立，故 8 错误，即C错误 1 P(A)P(B)P(C) 8，则D正确； 综上可知正确的为ABD.故选:ABD． 10.（2020·江苏海安高级中学高二期中）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3 A A A 个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以 1， 2， 3表示由甲箱中取出的是红 球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结 论正确的是（ ） 2 5 P(B) P(B A) A． 5 B． 1 11 A A A A C．事件 B 与事件 1相互独立 D． 1、 2、 3两两互斥 【答案】BD 【解析】 A A A 因为每次取一球，所以 1， 2， 3是两两互斥的事件，故D正确； 5 2 3 pA  ,pA  ,pA  因为 1 10 2 10 3 10， 5 5  P(BA) 10 11 5 P(B A) 1   所以 ，故B正确； 1 P(A) 5 11 1 10 2 4 3 4   P(BA ) 10 11 4 P(BA ) 10 11 4 P(B A ) 2   ,P(B A ) 3   同理 ， 2 P(A ) 2 11 3 P(A ) 3 11 2 3 10 10 5 5 2 4 3 4 9 P(B) P(BA)P(BA )P(BA )       所以 1 2 3 10 11 10 11 10 11 22 ，故AC错误； 故选：BD 11．（2020·江苏海安高级中学高一期中）以下对各事件发生的概率判断正确的是（ ） 1 A．连续抛两枚质地均匀的硬币，有3个基本事件，出现一正一反的概率为3 B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如12＝5＋7，在不超过15的素数中随机选取两个不1 同的数，其和等于14的概率为15 5 C．将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，记下两次向上的点数，则点数之和为6的概率是36 1 D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是2 【答案】BCD 【解析】 A.连续抛两枚质地均匀的硬币，有4个基本事件，包含两正，两反，先反再正，先正再反，出现一正一反 2 1 P  的概率 4 2 ，故A不正确； 3,11 B.不超过15的素数包含2,3,5,7,11,13，共6个数字，随机选取两个不同的数字，和等于14的包含 ， 1 1 P  则概率为 C2 15 ，故B正确； 6 1,5,2,4,3,3,4,2,5,1 C.将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，共36种情况，点数之和为6包含 ， 5 P 共5种，所以点数之和为6的概率 36，故C正确； C2 1 P 3  D.由题意可知取出的产品全是正品的概率 C2 2，故D正确. 4 12．（2020·山东昌乐二中高二月考）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任 3 取3球，恰有一个白球的概率是5；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为80 243；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率 2 26 为5 ；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为27 . 则其中正确命题的 序号是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】ABD 【解析】 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球， C2C1 3 p 4 2  ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是 C3 5故正确； 6 2 1 p  ②从中有放回的取球6次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为 6 3，则恰好有两次白球的概率 4 2 2 1 80 pC2  为 6  3    3   243 ，故正确； ③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为 C1C1 3 4 3  C1C1 5，故错误； 4 5 4 2 ④从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为 p  ：则至少有一次取到红球的概 6 3 1 3 26 率为p1C 3 0  3    27 ，故正确. 故选：ABD. 三、填空题 13．（2020·全国高三课时练习（理））一个口袋中装有6个小球，其中红球4个，白球2个．如果不放回 地依次摸出2个小球，则在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率为________.3 【答案】5 【解析】 2 PAB 5 3 P(B| A)   PA 2 5 3 3 故答案为：5 14．（2020·邢台市第二中学高二期末）某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用 抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一 个出场的概率为__________． 1 【答案】4 【解析】 设事件A：“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”；事件B：“学生丙第一个出场”， 对事件A，甲和乙都不是第一个出场，第一类：乙在最后，则优先从中间4个位置中选一 C1A4 个给甲，再将余下的4个人全排列有 4 4 种；第二类：乙没有在最后，则优先从中间4 A2A4 nAC1A4  A2A4 个位置中选两个给甲乙，再将余下的4个人全排列有 4 4 种，故总的有 4 4 4 4 . 对事件AB，此时丙第一个出场，优先从除了甲以外的4人中选一人安排在最后，再将余下的4人全排列有 C1A4 4 4 种 nAB C1A4 1 P  B A    4 4  故 nA C1A4  A2A4 4. 4 4 4 4 1 故答案为：4 15．（2020·湖南天心长郡中学高三其他（理））甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个A A A 红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 1， 2和 3表示由甲罐取出的球 是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列 结论中正确的是___________． 2 5 PB P  B A   ① 5；② 1 11；③事件B与事件 A 相互独立；④ A ，A ， A 是两两互斥的事件 1 1 2 3 【答案】②④ 【解析】 A A A 因为每次取一球，所以 1， 2， 3是两两互斥的事件，故④正确； 5 2 3 PA  ,PA  ,PA  因为 1 10 2 10 3 10 ， 5 5  P(BA) 10 11 5 P(B A) 1   所以 ，故②正确； 1 P(A) 5 11 1 10 2 4 3 4   P(BA ) 10 11 4 P(BA ) 10 11 4 P(B A ) 2   ,P(B A ) 3   同理 ， 2 P(A ) 2 11 3 P(A ) 3 11 2 3 10 10 5 5 2 4 3 4 9 P(B) P(BA)P(BA )P(BA )       所以 1 2 3 10 11 10 11 10 11 22 ， 故①③错误. 故答案为：②④ 4 2 16．（2018·全国高二课时练习）某气象台统计，该地区下雨的概率为15，刮四级以上风的概率为15，既 1   P B A 刮四级以上的风又下雨的概率为10，设A为下雨，B为刮四级以上的风，则 ＝_______，   P A B ＝__________3 3 【答案】4 8 【解析】 4 2 1 PA PB PAB 由已知 15， 15， 10， PAB 3 PAB 3 PB| A  PA|B  ∴ PA 8， PB 4 3 3 故答案为4 ，8 求条件概率一般有两种方法： n（AB） 一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)＝ n（A），其中n(AB)表示 事件AB包含的基本事件个数，n(A)表示事件A包含的基本事件个数． p（AB） 二是直接根据定义计算，P(B|A)＝ p（A），特别要注意P(AB)的求法． 四、解答题 20 5 17．（2020·甘肃省静宁县第一中学高二月考（理））有 件产品，其中 件是次品，其余都是合格品， 现不放回的从中依次抽2件.求：（1）第一次抽到次品的概率； （2）第一次和第二次都抽到次品的概率； （3）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率. 1 1 4 【答案】（1）4 ；（2）19；（3）19. 【解析】 （1）因为有5件是次品，第一次抽到次品，有5中可能，产品共有20件，不考虑限制，任意抽一件，有 20中可能，所以概率为两者相除． （2）因为是不放回的从中依次抽取2件，所以第一次抽到次品有5种可能，第二次抽到次品有4种可能， 第一次和第二次都抽到次品有5×4种可能，总情况是先从20件中任抽一件，再从剩下的19件中任抽一件，所以有20×19种可能，再令两者相除即可． 4 （3）因为第一次抽到次品，所以剩下的19件中有4件次品，所以，抽到次品的概率为19 18．（2020·阜新市第二高级中学高二月考）甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道 甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问： （1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少? （2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少 【答案】（1）0.67（2）0.60 【解析】 A B  （1）设 “甲地为雨天”， “乙地为雨天”，则根据题意有 PA0.20 PB0.18 PAB0.12 ， ， . P(AB) 0.12 PA|B  0.67 所以乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是 P(B) 0.18 . P(AB) 0.12 PB| A  0.60 （2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是 P(A) 0.20 . 19．（2020·山东平邑高二期中）已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个. （1）若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率； （2）若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率. 1 3 【答案】（1）9（2）5 【解析】 2 2 1 P   （1）两次都取得白球的概率 6 6 9； （2）记事件A：第一次取出的是红球；事件B：第二次取出的是红球， 45 2 43 2 P(A)  P(AB)  则 65 3 ， 65 5 ，P(AB) 2 3 3 P(B|A)    利用条件概率的计算公式，可得 P(A) 5 2 5. a,b 20．（2019·攀枝花市第十五中学校高二期中（理））先后抛掷一枚骰子两次，将出现的点数分别记为 .     m(a,b) n(2,1) mn1 （1）设向量 ， ，求 的概率； a,b a,b （2）求在点数 之和不大于5的条件下， 中至少有一个为2的概率. 1 1 【答案】（1）12 ；（2）2 【解析】 先后抛掷一枚骰子两次， a,b “将出现的点数分别记为 ”包含的基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)， (1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，…，(6，5)，(6，6)，共36个.     m(a,b) n(2,1) mn1 A （1）记“向量 ， ，且 ”为事件 ，   mn1 2ab1 由 得： ， (1,1),(2,3),(3,5) B 从而事件 包含 共3个基本事件， 3 1 P(A)  故 36 12. a,b B （2）设“点数 之和不大于5”为事件 ， 包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)， (2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共10个基本事件； a,b C 设“ 中至少有一个为2”为事件 ， 包含(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，共5个基本事件， a,b a,b 故“在点数 之和不大于5的条件下， 中至少有一个为2” 的概率：n(BC) 5 1 P   n(B) 10 2. 21．（2020·延安市第一中学高二月考（文））10张奖券中有3张有奖，甲，乙两人不放回的各从中抽1张， 甲先抽，乙后抽.求： （1）甲中奖的概率. （2）乙中奖的概率. （3）在甲未中奖的情况下，乙中奖的概率. 3 3 1 【答案】（1）10；（2）10；（3）3 【解析】 3 PA （1）设“甲中奖”为事件A，则 10 PB P  AB AB   PABP  AB  （2）设“乙中奖”为事件B，则 PAB 3  2  1 P  AB   7  3  7 又 10 9 15 ， 10 9 30 PB PABP  AB   1  7  9  3 所以 15 30 30 10   7   7 P A  P AB  （3）因为 10， 30 7   P AB   30 1 P B| A    所以 P  A  7 3 10 22．（2020·河南南阳高二期中（文））某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举 办的文艺汇演活动. （1）求男生甲被选中的概率； （2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； （3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.1 1 1 【答案】（1）3；（2）5；（3）2 ． 【解析】 （1）记4名男生为A，B，C，D，2名女生为a，b， 从6名成员中挑选2名成员，有 AB，AC ，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba， Bb CD Ca Cb Da Db ab ， ， ， ， ， ， 共有15种情况，， 记“男生甲被选中”为事件M，不妨假设男生甲为A AB AC AD Aa Ab 事件M所包含的基本事件数为 ， ， ， ， 5 1 PM  共有5种，故 15 3． M N （2）记“男生甲被选中”为事件 ，“女生乙被选中”为事件 ， 不妨设女生乙为b， 1 1 PMN PM 则 15，又由（1）知 3， PMN 1   P N M   故 PM 5 ． 8 PS （３）记“挑选的2人一男一女”为事件S ，则 15， 4 PSN “女生乙被选中”为事件N ， 15， PSN 1   P N S   故 PS 2．