文档内容
高一数学试题参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的．
1．A 2．A 3．C 4．D 5．B 6．B 7. B 8．B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．ACD 10．BCD 11．ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
π
12．-12 13．2 3 14．
6
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）
解：（1）根据正弦定理，因为b ( cosC +1 )= c ( 2- cosB ) ,
所以sinBcosC+sinB =2sinC- sinCcosB; ...........2分
整理得sinBcosC+sinCcosB+sinB =2sinC,
所以sin ( B+C )+sinB = 2sinC,
因为A+B+C =π，所以sinA=sin ( B+C )
，
所以sinA+sinB =2sinC ，...........5分
由正弦定理可得a+b=2c；...........6分
9
（2）因为cosC = ，由余弦定理可得c2 =a2 +b2 - 2abcosC，
16
9
即25=a2 +b2 - ab， ...........8分
8
25
又c=5，故a+b=10，从而25+ ab=(a+b)2 =100，解得ab=24，
8
...........10分
9 5 7
因为cosC = ，所以sinC = 1- cos2C= ，...........11分
16 16
1 1 5 7 15 7
所以S = absinC = · 24· = . ...........13分
△ABC
2 2 16 4
高一数学答案 第1页（共4页）
{#{QQABZYQQogAIAJAAAQgCAQ3aCEOQkBAACSgOhEAAMAAAgRNABAA=}#}16.（15分）
解：（1）根据分层抽样知：
应抽取小吃类80· ( 1- 30-% 1-5% -10%- 5%= 5% ) 28家，
生鲜类80· 15%= 12家，
所以应抽取小吃类28家，生鲜类12家. ...........4分
（2）（i）根据题意可得 ( 0.002· 3+ 2a+ 0.006·) 5=0 1，解得a=0.004，...........6分
设75百分位数为x，因为 ( 0.002+0.004+0.006 )· 50= 0.6，
所以 ( x- 450·) 0.00+4 0=.6 0.75，解得x=487.5，
所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元. ...........9分
平均数为
( 325· 0.002+ 375· 0.00+4 42· 5 0.0+06 4· 75 0+.004 · 525 +0.002· 575 0.002 )
· 50= 440，
所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元. ...........12分
500- 480
（ii） · 0.004+ 0.002+ 0.002· 5· 0 10=00 280，
50
所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280. ...........15分
17.（5分）
解：（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件A，B，C，
因为A，B，C为两两互斥事件， ...........1分
1
P(A)= ,
P(A)+P(B)+P(C)=1,
2
3 1
由已知得P(A)+P(B)= , 解得P(B)= ,...........5分
4 4
1 1
P(B)+P(C)= , P(C)= ,
2 4
所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1； ...........6分
（2）（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用 1，2表示红球，用a表示
黄球，用b表示蓝球，m表示第一次取出的球，n表示第二次取出的球，(m,n)表示
试验的样本点，
则样本空间W= {(1,1)，(1,2)，(1,a)，(1,b)，(2,1)，(2,2)，(2,a)，(2,b)，(a,1)，(a,2)，
(a,a)，(a,b)，(b,1)，(b,2)，(b,a)，(b,b)}；...........10分
高一数学答案 第2页（共4页）
{#{QQABZYQQogAIAJAAAQgCAQ3aCEOQkBAACSgOhEAAMAAAgRNABAA=}#}（ii）由(i)得n(W =) 16，记“取到两个球颜色相同”为事件M ，“取到两个球颜色
不相同”为事件N ，
6 3
则n(M)=6，所以P(M)= = ，...........12分
16 8
3 5
所以P(N)=1- P(M=) 1- = ，...........13分
8 8
5 3
因为 > ，所以此游戏不公平．...........15分
8 8
18.（17分）
（1）证明：因为四边形MNEF，ECDF 都是矩形，
所以MN //EF//CD，MN =EF =CD， ...........2分
所以四边形MNCD是平行四边形，
所以NC//MD， ...........3分
因为NC¸ 平面MFD，所以NC//平面MFD； ...........5分
（2）证明：连接ED，设ED∩FC=O，
因为平面MNEF ^ 平面ECDF ，交线为EF，且NE^ EF，
所以NE ^ 平面ECDF ，所以NE^ FC， ...........7分
又EC= AB=3，所以四边形ECDF 为正方形，所以FC ^ ED， ...........8分
NE˙ ED= E,所以FC ^ 平面NED，...........10分
又ND(cid:204) 平面NED，所以ND^ FC， ...........11分
（3）解：设NE=x，则EC =4- x，其中0< x<4，
由（1）得NE ^ 平面FEC，
所以四面体NFEC的体积为：
V = 1 S (cid:215) NE= 1 (cid:215) x(cid:215) (-4 =x ) - 1( +x2 =4x ) - 1 - (+x 2 )2 4 ， ...........15分
NFEC 3 ΔEFC 2 2 2
x=2时，四面体NFEC的体积最大，其最大值为2. ...................17分
高一数学答案 第3页（共4页）
{#{QQABZYQQogAIAJAAAQgCAQ3aCEOQkBAACSgOhEAAMAAAgRNABAA=}#}19.（17分）
解：（1）因为cos2B+cos2C- cos2A= 1，即1- 2sin2B+ 1- 2sin2-C+ 1 2sin=2 A 1，
故sin2 A=sin2B+sin2C，由正弦定理可得a2 =b2 +c2，..........3分
π
故D ABC直角三角形，即A= ；..........4分
2
p
（2）由（1）可得A= ，所以三角形ABC的三个角都小于120(cid:176) ，
2
则由费马点定义可知：— APB=— BP=C— =APC(cid:176) 120 ，..........5分
(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4)
设|PA|=x,|PB|= y,|PC|=z，
1 3 1 3 1 3 1
由S +S +S =S ，得 xy(cid:215) + yz(cid:215) + xz(cid:215) = · 2，
D APB D BPC D APC D ABC
2 2 2 2 2 2 2
4 3
整理得xy+ yz+xz= ，..................8分
3
(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4)
1 1 1 1 4 3 2 3
则PA(cid:215) PB+ PB(cid:215) PC+ PA(cid:215) PC= x(cid:215)y- ( + ) (cid:215) -yz +( (cid:215))- xz=-( · ) =- ；
2 2 2 2 3 3
..................10分
2π
（3）点P为D ABC的费马点，则— APB=— BP=C— =CPA ，
3
设|PB|=m|PA|，|PC|=n|PA|，|PA|=x，m>0，n>0，x>0，
则由|PB|+|PC|=t|PA|，得m+n=t；..........12分
2π
由余弦定理得|AB|2=x2+m2x2- 2mx2cos = (m2+ m+ 1)x2，
3
2π
|AC|2=x2 +n2x2- 2nx2cos = (n2+ n+ 1)x2，
3
2π
|BC|2=m2x2+n2x2 - 2mnx2cos = (m2+ n2+ mn)x2，
3
故由|AC|2 +|AB|2=|BC|2，得(n2 +n+1)x2 +(m2 +m+1)x2 =(m2 +n2 +mn)x2，
m+n
即m+n+2=mn，而m>0，n>0，故m+n+2=mn(cid:1)( )2，..........15分
2
当且仅当m=n，结合m+n+2=mn，解得m=n=1+ 3时，等号成立，
又m+n=t，即有t2 - 4-t 8(cid:2)0，解得t(cid:2)2+2 3或t(cid:1)2- 2 3（舍去）．
故实数t的最小值为2+2 3．..........17分
高一数学答案 第4页（共4页）
{#{QQABZYQQogAIAJAAAQgCAQ3aCEOQkBAACSgOhEAAMAAAgRNABAA=}#}
