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8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
一、选择题
1．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的
侧面积是( )．
A．130 B．140 C．150 D．160
【答案】D
【解析】
设直四棱柱 中，对角线 ，
因为 平面 ,平面 ，所以 ，
在 中， ，可得 ,
同理可得 ，
因为四边形 为菱形，可得 互相垂直平分，
所以 ，即菱形 的边长为 ，
因此，这个棱柱的侧面积为 ，
故选D.
2．若正方体的棱长为 ，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：所求八面体体积是两个底面边长为1，高为 ， 的四棱锥的体积和，一个四棱锥体积V=
1格致课堂
，故八面体体积V=2V= ，故选B．
1
3．长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1：2：3，对角线长为 ，则这个长方体的体积为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
【答案】D
【解析】∵长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1：2：3，
∴设三条棱长分别为k，2k，3k
则长方体的对角线长为 =k =2
∴k=2
长方体的长宽高为6，4，2
∴这个长方体的体积为6×4×2=48
故答案为48应选D
4．三棱柱 中， ， ， ， ，
侧棱长为 ，则其侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，由已知条件可知，侧面 和侧面 为一般的平行四边形，侧面 为矩形.
在 中， ， ，
∴ ，∴ .
∵ ， ，
∴点 到直线 的距离为 .
∴ .格致课堂
∴ .
故选C
5．（多选题）下列结论中，正确的是（ ）
S =cl（其中c为底面周长，l为棱柱侧棱长)仅适用于正棱柱。
A. 棱柱侧
B.在棱柱
ABC−A'B'C'
中，
V
A'−ABC
=V
B'−ABC；
1
S = ch(其中c为底面周长，h为斜高）
C .在正棱锥P−ABC中， 侧 2 ；
D.棱锥的体积是棱柱体积的三分之一。
【答案】BC
【解析】直棱柱的侧面积是底面周长乘以侧棱长，选项A错；根据棱锥的体积公式可知选项B正确；选项
C正确；等底等高的棱锥体积是棱柱体积的三分之一，选项D错。故选BC。
6.（多选题）如图，直三棱柱 中， ， ， ，侧面
中心为O，点E是侧棱 上的一个动点，有下列判断，正确的是（ ）
A．直三棱柱侧面积是 B．直三棱柱体积是
C．三棱锥 的体积为定值 D． 的最小值为格致课堂
【答案】ACD
【解析】在直三棱柱 中， ， ，
底面 和 是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2+
，故A正确；
直三棱柱的体积为 ，故B不正确；
由BB∥平面AAC C，且点E是侧棱 上的一个动点， 三棱锥 的高为定值 ，
1 1 1
× ×2＝ ， × × ＝ ，故C正确；
设BE＝x ，则BE＝2﹣x，在 和 中，∴ ＝ ．
1
由其几何意义，
即平面内动点（x，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值，由对称可知，当 为 的中点时，
其最小值为 ，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题
7．【2019年江苏省高考数学试卷】如图，长方体 的体积是120，E为 的中点，则
三棱锥E-BCD的体积是_____.格致课堂
【答案】10.
【解析】因为长方体 的体积为120，
所以 ，
因为 为 的中点，
所以 ，
由长方体的性质知 底面 ，
所以 是三棱锥 的底面 上的高，
所以三棱锥 的体积 .
8．如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边 作一个平行于棱 的平
面 ，记平面分三棱台两部分的体积为 （三棱柱 ）， 两部分，那么
______.格致课堂
【答案】3：4
【解析】设三棱台的高为 ，上底面的面积是 ，则下底面的面积是 ，
， .
故答案为： ..
9．正六棱柱的高为 ，最长的对角线为 ，则它的侧面积为______．
【答案】
【解析】设正六棱柱的底面边长为 ，
则底面上最长对角线长为 ，
所以由 ，解得 ，
所以侧面积为 .
故答案为
10．【五省优创名校2019届高三联考（全国I卷)数学（文)试题】
已知正三棱柱ABC—A B C 的高为6，AB＝4，点D为棱BB 的中点，则四棱锥C—AABD的表面积是
1 1 1 1 1
________，三棱柱的体积为 。
8√3
【答案】
【解析】 正三棱柱的高为6， ，
四棱锥 的表面 为等腰三角形，
， 到 距离为 ，
，
梯形 的面积为 ， ，格致课堂
，
所以，四棱锥 的表面积为
，
1 1 √3
V= sh= × ×42 ×6=8√3
3 3 4
三棱柱的体积为
四、解答题
11．如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm，侧棱长都相等，E为BC的中点，高为PO，且
，求该四棱锥的侧面积和表面积．
【答案】 ，
【解析】如图， ， 在 中， ．
，E为BC的中点，
侧棱长都相等，
，
12．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－ABC D，下部的形状是正
1 1 1 1
四棱柱ABCD－ABC D(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO是正四棱锥的高PO 的4倍，若AB＝6 m，
1 1 1 1 1 1格致课堂
PO＝2 m，则仓库的容积是多少？
1
【答案】
【解析】由PO＝2 m，知OO＝4PO＝8 m.因为AB＝AB＝6 m，所以正四棱锥P－ABC D 的体积V ＝
1 1 1 1 1 1 1 1 1 锥
· ·PO＝ ×62×2＝24(m3)；
1
正四棱柱ABCD－ABC D 的体积
1 1 1 1
V ＝AB2·OO＝62×8＝288(m3)，
柱 1
所以仓库的容积V＝V ＋V ＝24＋288＝312(m3).
锥 柱
故仓库的容积是312 m3.
