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格致课堂
8.6.2 直线与平面垂直
第 1 课时 直线与平面垂直的判定
一、选择题
1．如图，在正方体 中， 是底面 的中心， ， 为垂足，则
与平面 的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．斜交 D．以上都不对
【答案】A
【解析】
连接 .
∵几何体 是正方体，底面 是正方形，
∴ .
又∵ ，∴ 平面 .格致课堂
∵ 平面 ，∴ .
∵ ，∴ 平面 .
故选A.
2．若斜线段 是它在平面 上的射影长的2倍，则 与平面 所成的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，作点 在平面 上的射影 ，连接 ，
则 即是斜线 与平面 所成的角，且 为直角三角形.
又 ，所以 ，
所以 .
故选A.
3．正方体 中， 与平面 所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，连接 交 于点E，连接AE，格致课堂
正方体中，证得： 平面 ，
所以 与平面 所成的角为 ，
设正方体的边长为 ，
在 中，求得： ， ，
,所以 ，
故选：A
4．如图所示的正方形 中， 分别是 ， 的中点，现沿 ， ， 把这个正方
形折成一个四面体，使 ， ， 重合为点 ，则有（ ）
A． 平面 B． 平面
C． 平面 D． 平面
【答案】A
【解析】由题意： ， ，格致课堂
， 平面
所以 平面 正确，D不正确；.
又若 平面 ，则 ，由平面图形可知显然不成立；
同理 平面 不正确；
故选：A
5．（多选题）如图，在以下四个正方体中，直线 与平面 垂直的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】对于A，由 与 所成角为 ，
可得直线 与平面 不垂直；
对于B，由 ， ， ，
可得 平面 ；
对于C，由 与 所成角为 ，
可得直线 与平面 不垂直；
对于D，连接 ，由 平面 ，
可得 ，同理可得 ，
又 ，所以 平面 .
故选：BD
6．（多选题）如果一条直线垂直于一个平面内的：
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.格致课堂
那么能保证该直线与平面垂直的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】ACD
【解析】根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的；
选项A、C、D中给定的两条直线一定相交，能保证直线与平面垂直；而B中梯形的两边可能是上、下底
边，它们互相平行，不满足定理条件.
故选：ACD.
二、填空题
7．如图，正三棱柱 中， ，则 与平面 所成角的正弦值为______.
【答案】
【解析】取 中点 ，连接 ，如下图所示：
正三棱柱 ， ，
则 ，格致课堂
因为 平面 ，
平面 ，所以
而 ，则 平面 ，
则 即为 与平面 所成角.
因为 ，
所以
故答案为： .
8．如图，在直三棱柱 中，底面是 为直角的等腰直角三角形， ，
， 是 的中点，点 在线段 上，当 _______时， 平面 .
【答案】 或
【解析】由已知得 是等腰直角三角形， ， 是 的中点，∴ ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，∴ .格致课堂
若 平面 ，则 .
设 ，则 ，
，
∴ ，
解得 或 .
9．已知平面 和直线 ，给出条件：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
（1）当满足条件 时，有 ；
（2）当满足条件 时，有 ．（填所选条件的序号）
【答案】③⑤；②⑤
【解析】
试题分析：若m α，α∥β，则m∥β；
若m⊥α，α∥β，⊂则m⊥β．
故答案为（1）③⑤（2）②⑤
10.已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线
AB与平面SBC所成角的正弦值为________.
【答案】
【解析】 如图所示，取BC的中点D，连接SD，AD，则BC⊥AD.
过点A作AG⊥SD于点G，连接GB.
∵SA⊥底面ABC，BC 平面ABC，
⊂格致课堂
∴BC⊥SA，又SA∩AD＝A，
∴BC⊥平面SAD.
又AG 平面SAD，∴AG⊥BC.
又AG⊂⊥SD，SD∩BC＝D，∴AG⊥平面SBC.
∴∠ABG即为直线AB与平面SBC所成的角.
∵AB＝2，SA＝3，∴AD＝，SD＝2.
在Rt SAD中，AG＝＝.
∴sin△∠ABG＝＝＝.
三、解答题
11．如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ，
， .
（I）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（II）求证： 平面 ；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ） .（Ⅱ）见解析;（Ⅲ） .
【解析】（Ⅰ）如图，由已知AD//BC，故 或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.
因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.
在Rt PDA中，由已知，得 ，
△格致课堂
故 .
所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为 .
（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD 平面PDC，所以AD⊥PD.
又因为BC//AD，所以PD⊥BC，
又PD⊥PB，
所以PD⊥平面PBC.
（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，
则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，
所以 为直线DF和平面PBC所成的角.
由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，
由已知，得CF=BC–BF=2.
又AD⊥DC，故BC⊥DC，
在Rt DCF中，可得 ,
△
在Rt DPF中，可得 .
△
所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为 .
12．如图，已知多面体ABC-A B C ，AA，B B，C C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，AA=4，
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C C=1，AB=BC=B B=2．
1 1
（Ⅰ）证明：AB ⊥平面AB C ；
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（Ⅱ）求直线AC 与平面ABB 所成的角的正弦值．
1 1
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ）由 得 ，
所以 .
故 .
由 ， 得 ，
由 得 ，
由 ，得 ，所以 ，故 .
因此 平面 .
（Ⅱ）如图，过点 作 ，交直线 于点 ，连结 .格致课堂
由 平面 得平面 平面 ，
由 得 平面 ，
所以 是 与平面 所成的角.
由 得 ，
所以 ，故 .
因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 .
