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格致课堂
8.6.3 平面与平面垂直
第 1 课时 平面与平面垂直的判定
一、选择题
1．在长方体 中， ， ，则二面角 的大小是（
）
A．30º B．45º C．60º D．90º
【答案】A
【解析】由题意，作出长方体 的图象，
取 中点为 ，连接 、 ，
因为 平面 ，所以 即 在平面 上的投影，
又 平面 ，所以 ，
因为 ，所以四边形 是正方形，
为 中点，所以 ，又 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
即二面角 ，
又 ， ，
所以 ， .格致课堂
故选：A
2．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P
－BC－A的大小为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，
∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故
选C． △
3．如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论
中错误的是 ( )
A．平面EFG∥平面PBC
B．平面EFG⊥平面ABC
C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
【答案】D格致课堂
【解析】对于A，因为点E，F分别是AB,AP的中点，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．同理 平面 ，
又 ,
所以平面 平面 ．因此A正确．
对于B，因为 ,
所以 平面 ．
又 ,
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 ．因此B正确．
对于C，由于平面 平面 ，且与平面PAB交于EF，PB，∴
所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角．因此C正确．
对于D，由于FE,GE与AB不垂直，所以∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角，因此D
不正确．
综上选项D不正确．选D．
4．已知 是圆柱上底面的一条直径， 是上底面圆周上异于 ， 的一点， 为下底面圆周上一点，
且 圆柱的底面，则必有（ ）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
【答案】B
【解析】因为 是圆柱上底面的一条直径，格致课堂
所以 ，又 圆柱的底面，所以 ，
因为 ，所以 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 .
故选：B.
5．（多选题）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ，侧面 为正三角
形，且平面 平面 ，则下列说法正确的是（ ）
A．在棱 上存在点M，使 平面
B．异面直线 与 所成的角为90°
C．二面角 的大小为45°
D． 平面
【答案】ABC
【解析】解：如图，对于 ，取 的中点 ，连接 ，∵侧面 为正三角形，
，又底面 是菱形， ， 是等边三角形，
，又 ， ， 平面 ，
平面 ，故 正确.
对于 ， 平面 ， ，即异面直线 与 所成的角为90°，故 正确.格致课堂
对于 ，∵平面 平面 ， ， 平面 ， ，
是二面角 的平面角，设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，故二面角 的大小为45°，故
正确.
对于 ，因为 与 不垂直，所以 与平面 不垂直，故 错误.
故选：
6．（多选题）如图，梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB=1，AD⊥AB，∠BCD=45°，将ΔABD
沿对角线BD折起.设折起后点A的位置为A'，并且平面A'BD⊥平面BCD.给出下面四个命题正确的：()
√2
A．A'D⊥BC B．三棱锥A'-BCD的体积为
2
C．CD⊥平面A'BD D．平面A'BC⊥平面A'DC
【答案】CD
【解析】如图所示：E为BD中点，连接A'E
AD//BC，AD=AB=1，AD⊥AB得到∠DBC=∠ADB=45°
又∠BCD=45°故ΔBCD为等腰直角三角形
平面A'BD⊥平面BCD，CD⊥BD ，所以CD⊥平面A'BD，所以C正确
E为BD中点，A'E⊥BD则A'E⊥平面BCD 所以A'E⊥BC
如果A'D⊥BC，则可得到BC⊥平面A'BD，故BC⊥BD 与已知矛盾.故A错误
1 1 √2 √2
三棱锥A'-BCD的体积为S= × ×√2×√2× = .故B错误
3 2 2 6
在直角三角形A'CD中，A'C2=CD2+A'D2∴A'C=√3
在三角形A'BC中，A'B=1,BC=2,A'C=√3 满足BC2=A'B2+A'C2∴BA'⊥CA'
又BA'⊥DA' 所以BA'⊥平面A'DC，所以平面A'BC⊥平面A'DC，故D正确
综上所述：答案为CD格致课堂
三、填空题
7．在长方体 中， ， ，则平面 与平面 所成的二面角的正
弦值是_________.
【答案】
【解析】画出图像如下图所示，将平面 延展成平面 ，将平面 延展成平面 ，
平面 与平面 相交于 ，且 ，所以 是平面 与平
面 所成的二面角.在 中 ，所以 .
故答案为：
8．如图，在四棱锥 中， 底面 且底面各边都相等， 是 上一点， 当点
满足 时，平面 平面 （只要填写一个你认为正确的条件即可）格致课堂
【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)
【解析】连接 ，因为 底面 ，所以 ,因为四边形 的各边相等，所以
,且 ，所以 平面 ，即 ，要使平面 平面 ，只需
垂直于面 上的与 相交的直线即可，所以可填 ；故填
．
9．如图所示，正方形 的边长为 ，已知 ，将 沿 边折起，折起后 点在平
面 上的射影为 点，则翻折后的几何体中有如下描述：① 与 所成角的正切值为 ；②
；③ ；④平面 平面 ，其中正确的命题序号为___________．格致课堂
【答案】③④
【解析】
作出折叠后的几何体直观图如图所示：
∵AB= a,BE=a,∴AE= a.
∴ .
∵BC∥DE，∴∠ABC是异面直线AB，DE所成的角，
在Rt ABC中, ,故①不正确；
△
连结BD，CE，则CE⊥BD，
又AD⊥平面BCDE，CE 平面BCDE，
∴CE⊥AD，又BD∩AD=⊂D，BD 平面ABD，AD 平面ABD，
∴CE⊥平面ABD，又AB 平面A⊂BD， ⊂
∴CE⊥AB.故②错误． ⊂
三棱锥B−ACE的体积 .
故③正确．
∵AD⊥平面BCDE，BC 平面BCDE，
∴BC⊥AD，又BC⊥CD⊂，
∴BC⊥平面ACD，∵BC 平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ACD.⊂
故答案为③④．
10．如图所示，在长方体中 ，棱 与棱 的位置关系是_________，棱 与平面
的位置关系是__________，平面 与平面 的位置关系是_________.格致课堂
【答案】平行 垂直 垂直
【解析】根据长方体的性质可知，棱 与棱 平行，棱 与DC,DH垂直，所以棱 与平面
垂直，长方体的侧面与底面垂直，故平面 与平面 垂直.
三、解答题
11．已知四棱锥 的底面 是菱形， ， 的中点 是顶点 在底面
的射影， 是 的中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)见解析（2）
【解析】 (1)证明 ∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，
且M是AD的中点，∴MB⊥AD，∴MB⊥BC.
又∵P在底面ABCD的射影M是AD的中点，
∴PM⊥平面ABCD，
又∵BC 平面ABCD，∴PM⊥BC，
而PM∩⊂MB＝M，PM，MB 平面PMB，
⊂格致课堂
∴BC⊥平面PMB，又BC 平面PBC，
∴平面MPB⊥平面PBC. ⊂
(2)解 过点B作BH⊥MC，连接HN，
∵PM⊥平面ABCD，BH 平面ABCD，∴BH⊥PM，
又∵PM，MC 平面PMC⊂，PM∩MC＝M，
∴BH⊥平面P⊂MC，
∴HN为直线BN在平面PMC上的射影，
∴∠BNH为直线BN与平面PMC所成的角，
在菱形ABCD中，设AB＝2a，则MB＝AB·sin 60°＝ a，
MC＝ ＝ a.
又由(1)知MB⊥BC，
∴在 MBC中，BH＝ ＝ a，
△
由(1)知BC⊥平面PMB，PB 平面PMB，
⊂
∴PB⊥BC，∴BN＝ PC＝ a，
∴sin∠BNH＝ ＝ ＝ .
12．如图在三棱锥 中， 分别为棱 的中点，已知
.格致课堂
求证：（1）直线 平面 ；
（2）平面 平面 .
【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）由于 分别是 的中点，则有 ，又 平面 ， 平面
，所以 平面 ．
（2）由（1） ，又 ，所以 ，又 是 中点，所以 ，
， 又 ，所以 ，所以 ， 是平面 内两
条相交直线，所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ．
