文档内容
新高考地区高 2024 届高二（上）期中模拟试题二
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知 为直线l的方向向量， 、 分别为平面 、 的法向量（ 、 不重合），那么下列说法中：
① ；② ；③ ；④ .其中正确的有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．设甲：实数 ；乙：方程 是圆，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．抛物线 的焦点到圆 上点的距离的最大值为（ ）
A．6 B．2 C．5 D．8
5．若正三棱柱 的所有棱长都相等，D是 的中点，则直线AD与平面 所成角的正弦
值为（ ）
A． B． C． D．6．设圆 的圆心为C，直线l过点 ，且与圆C交于A，B两点，若 ，
则直线l的方程为（ ）
A． B． 或
C．x=0 D．x=0或
7．已知 分别为双曲线 的左、右顶点，点P为双曲线C上任意一点，记直线
，直线 的斜率分别为 ．若 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
8．已知 是椭圆 上的动点，且与 的四个顶点不重合， ， 分别是椭圆的左、右焦点，若
点 在 的平分线上，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列结论正确的是（ ）
A．过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 ；
B．圆 上有且仅有3个点到直线 的距离都等于1
C．已知 ，O为坐标原点，点 是圆 外一点，且直线m的方程是 ，则
直线m与圆E相交；
D．已知直线 和以 ， 为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 ；
10．如图，已知 ， 分别是正方体 的棱 和 的中点，则（ ）A． 与 是异面直线
B． 与 所成角的大小为
C． 与平面 所成角的余弦值为
D．二面角 的余弦值为
11．（多选）已知抛物线 的焦点 到准线的距离为 ，直线 过点 且与抛物线交于
， 两点，若 是线段 的中点，则（ ）
A． B．抛物线的方程为
C．直线 的方程为 D．
12．已知 、 分别为双曲线 的左、右焦点，且 ，点P为双曲线右支一点，
I为 的内心，若 成立，则下列结论正确的有（ ）
A．当 轴时， B．离心率
C． D．点I的横坐标为定值a
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若直线m被两平行线 与 所截得的线段的长为 ，则m的倾斜角可以是
①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号是_____(写出所有正确答案的序号)．
14．若直线 与曲线 有两个交点，则实数 的取值范围是______.
15．已知菱形 中， ，沿对角线 折叠之后，使得平面 平面 ，则二面角
的余弦值为______．
16．已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ，椭圆
的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，点 为椭圆 与双曲线 的第一象限的交点，且 ，
则 的取值范围是___________.
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出
文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知圆 .
(1)过点 作圆C的切线l，求切线l的方程；
(2)设过点 的直线m与圆C交于AB两点，若点A、B分圆周得两段弧长之比为1：2，求直线m得方程.
18．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为 ， ， ．
(1)求BC边上的中线AD的所在直线方程；
(2)求△ABC的外接圆O被直线l： 截得的弦长．19．如图， 平面ABCD， ， ，四边形ABCD为菱形.
(1)证明： 平面EBD；
(2)若直线AB与平面EBD所成角的正弦值为 ，求三棱锥 的体积.
20．在四棱锥 中，已知 ， ， ， ， ，
， 是 上的点．(1)求证： 底面 ；
(2)是否存在点 使得 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出该点的位置；不存在，请说明理
由．
21．已知椭圆C； 的左右顶点分别为 ， ，以线段 为边的一个正三角形与椭圆
C的一个公共点为P（ ， ）.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过椭圆C的右焦点F的直线与椭圆C交于点M，N，直线 M， 交于点D，求证：点D在定直线
l上，并求出直线l的方程.22．在平面直角坐标系 中，设 为椭圆 的左焦点，直线 与 轴交于
点 ， 为椭圆 的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若过点 的直线与椭圆交于两点 、 ，设直线 、 的斜率分别为 、 .
①求证： 为定值；
②求 面积的最大值.
