文档内容
新高考地区高 2024 届高二（上）第一次月考模拟一
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．如图所示，若正方体 的棱长为a，体对角线 与 相交于点O，则有（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系．利用向量坐标运算、数量积运算性质即可判断出结论．
【详解】如图所示，以 为坐标原点，以 、 、 分别为 、 、 建立空间直角坐标系：由上图以及已知条件可知，D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，A(a，0，a)，C (0，a，a)，C(0，a，
1 1
0)，O ．
因为 (0，a，0)， (﹣a，a，0)， a2，故A错误；
因为 (﹣a，a，a)，所以 ，故B错误；
因为 ，所以 ，故C正确；
因为 (﹣a，0，0)， (a，0，a)，所以 ，故D错误．
故选：C．
2．如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是
60°，下列说法中不正确的是（ ）
A．B．BD⊥平面ACC₁
C．向量 与 的夹角是60°
D．直线BD₁与AC所成角的余弦值为
【答案】C
【分析】利用空间向量法，通过计算线段长度、向量夹角、线线角以及证明线面垂直等知识确定正确答案.
【详解】以 为空间一组基底.
，
，
所以 ，A选项正确.
由于四边形 是菱形，所以 ，
，
，
所以 ，即 ，
由于 ，所以 平面 ，B选项正确.
，三角形 是等边三角形，
由图可知 与 的夹角为钝角，也即 与 的夹角为钝角，C选项错误.
，
，所以 .
， ，
所以 .
.
设直线 与直线 所成角为 ，
则 ，D选项正确.
故选：C
3．若正三棱柱 的所有棱长都相等，D是 的中点，则直线AD与平面 所成角的正弦
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】取AC的中点O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，用向量法求出平面 的法向量
，即可由 求所需正弦值
【详解】取AC的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．
设三棱柱的棱长为2，则 ， ，所以 ． ，
，
设 为平面 的法向量，由 ，得 ，故 ，令 ，得
．
设直线AD与平面 所成的角为 ，则 ，所以直线AD与平
面 所成角的正弦值为 ．
故选：A
4．如图，在棱长为1的正方体中，下列结论不正确的是（ ）A．异面直线 与 所成的角为
B．二面角 的正切值为
C．直线 与平面 所成的角为
D．四面体 的外接球体积为
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角，二面角及线面角，判断ABC选项，D
选项，四面体 的外接球即为正方体的外接球，从而求出外接球半径和体积.
【详解】以D为坐标原点，DA，DC， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则 ，
A选项，设异面直线 与 所成的角为 ，
则 ，
故异面直线 与 所成的角为 ，A正确；
B选项，设平面 的法向量为 ，
则有 ，令 得： ，则 ，
平面 的法向量为 ，
设二面角 的大小为 ，显然 为锐角，则 ，
所以 ， ，故二面角 的正切值为 ，B正确；
C选项，设平面 的法向量为 ，
则 令 ，则 ，
所以 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
则 ，C错误；
D选项，四面体 的外接球即为正方体 的外接球，
设外接球半径为R，则 ，则外接球体积为 ，D正确.故选：C
5．过点 且与直线 平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平行直线的特点先设出待求直线方程，代入所过点可得答案.
【详解】由题意设所求方程为 ，
因为直线经过点 ，
所以 ，即 ，所以所求直线为 .
故选：A.
6．当圆 截直线 所得的弦长最短时，实数 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标 ，可判断
在圆内，当 直线 时弦长最短，再根据两直线垂直斜率乘积为 ，求出参数的值.【详解】解：圆 ，即 ，圆心为 ，半径 ，
直线 ，即 ，令 ，解得 ，即直线 恒过定点 ，
又 ，所以点 在圆 内部，
所以当 直线 时弦长最短，又 ，所以 ，即 ，解得 ；
故选：D
7．在平面直角坐标系中，直线 与 轴和 轴分别交于 ， 两点， ，若
，则当 ， 变化时，点 到点 的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得A， 两点坐标，根据 得到 ，再结合 可得到C轨迹为动
圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案.
【详解】由 得 ，
故 由 得 ，
由 得 ，设 ，则 ，
即 ，即点C轨迹为一动圆，
设该动圆圆心为 ，则 ，
整理得 ，代入到 中，
得： ，即C轨迹的圆心在圆 上，
故点（1,1）与该圆上的点 的连线的距离加上圆的半径即为点 到点 的距离的最大值，最大值为，
故选：B
8．设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 ，则
的最大值（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】D
【分析】根据动直线方程求出定点 的坐标，并判断两动直线互相垂直，进而可得 ，
最后由基本不等式 即可求解.
【详解】解：由题意，动直线 过定点 ，
直线 可化为 ，令 ，可得 ，
又 ，所以两动直线互相垂直，且交点为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，当且仅当 时取等号.
故选：D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知空间三点 ，设 .则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，且 ，则B． 和 的夹角的余弦值
C．若 与 互相垂直，则k的值为2；
D．若 与z轴垂直，则 ， 应满足
【答案】BD
【分析】根据给定条件，求出 的坐标，借助共线向量的意义判断A；求出向量 和 的坐标，再分别计
算判断B，C，D作答.
【详解】依题意， ， ，
对于A，因 ，而 ，且 ，则 或 ，A不正确；
对于B， ，B正确；
对于C，因 与 互相垂直，则 ，
解得 或 ，C不正确；
对于D， ，z轴的一个方向向量 ，
依题意， ，即 ，D正确.
故选：BD
10．如图，已知 ， 分别是正方体 的棱 和 的中点，则（ ）A． 与 是异面直线
B． 与 所成角的大小为
C． 与平面 所成角的余弦值为
D．二面角 的余弦值为
【答案】ABD
【分析】根据异面直线的概念可判断A，建立空间直角坐标系，用向量的方法可判断BCD．
【详解】根据异面直线的概念可得“平面内一点与平面外一点的连线，与此平面内不经过该点的直线是异
面直线异面直线”可知A正确；
以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2， ， ， ， ，
所以 ， ，
设 与 所成角的大小为 ，
则 ，所以 ，故B正确；
由题意可知，平面 的法向量可取 ，
，
设 与平面 所成角为 ，则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 ，故C错误；
， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，得 ，
同理可得平面 的法向量 ，
则 ，
又因为二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 ，故D正确.
故选：ABD．
11．已知圆 ，直线 ，点 在直线 上运动，直线 分别于圆 切于
点 .则下列说法正确的是（ ）
A．四边形 的面积最小值为
B． 最短时，弦 长为C． 最短时，弦 直线方程为
D．直线 过定点
【答案】ABD
【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离 和半径 之间关系，即切线长
可知当 时， 最小，可确定四边形面积最小值，同时利用面积桥可求得 ，由此可
知AB正确；设 ，可知 方程为： ，由 可求得 点坐标，由此可
得 方程，知C正确；将 代入 方程，根据直线过定点的求法可知D正确.
【详解】由圆的方程知：圆心 ，半径 ，
对于AB，四边形 的面积 ，
则当 最短时，四边形 的面积最小，
点 到直线 的距离 ， ，
此时 ，A正确；又 ， 此时 ，B正确；
对于C，设 ， ， ，
则过 作圆的切线，切线方程为： ；过 作圆的切线，切线方程为：
，
又 为两切线交点， ，
则 两点坐标满足方程： ，即 方程为： ；
当 最小时， ， 直线 方程为： ，
由 得： ，即 ，
方程为： ，即 ，C错误；
对于D，由C知： 方程为： ；
又 ，即 ，
方程可整理为： ，
由 得： ， 过定点 ，D正确.
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：过圆 上一点 作圆的切线，则切线方程为：
；过圆 外一点 作圆的两条切线，切点弦所在直线方程为： .
12．已知直线 ，圆 ，则下列选项中正确的是
（ ）
A．圆心 的轨迹方程为
B． 时，直线 被圆截得的弦长的最小值为
C．若直线 被圆 截得的弦长为定值，则
D． 时，若直线 与圆相切，则
【答案】BC
【分析】首先表示出圆心坐标，即可判断A，再求出直线过定点坐标，由弦长公式判断B，求出圆心到直
线的距离，当距离为定值时，弦长也为定值，即可判断C，求出圆心到直线的距离，即可判断D；
【详解】解：圆 的圆心坐标为 ，
所以圆心 的轨迹方程为 ，故A错误；
直线 ，令 ，解得 ，即直线 恒过点 ，
当 时圆 ，圆心为 ，半径 ，又 ，
所以直线 被圆截得的弦长的最小值为 ，故B正确；
对于C：若直线 被圆 截得的弦长为定值，则圆心到直线的距离
为定值，
所以 ，解得 ，故C正确；对于D：当 时直线 ，圆心到直线的距离 ，
当 时 ，此时直线与圆不相切，故D错误；
故选：BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若三个向量 ， ， 共面，则实数m的值为______．
【答案】21
【分析】根据向量共面基本定理即可求解.
【详解】 ， ， 共面，则存在实数 ，使得 ，即
，
故答案为：21
14．如图所示，在三棱锥P-ABC中，M为线段BC的中点， ，则 ______．
【答案】0
【分析】以 为基底表示出 ，由此求得 ，进而求得正确答案.
【详解】以 为一组基底，
则 ，所以 .
故答案为：
15．已知直线 过 ，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线 的方程是________.
【答案】 或
【分析】由题意可得所求直线的倾斜角为 或 ，从而可得直线的点斜式方程，转化为一般式方程即
可.
【详解】由题意可知，所求直线的倾斜角为 或 ，即直线的斜率为1或 ，
故直线方程为 或 ，即 或 .
故答案为: 或 .
16．已知直线 ： 与 轴相交于点 ，过直线 上的动点 作圆 的两条切线，切点分
别为 ， 两点，记 是 的中点，则 的最小值为__________．
【答案】
【分析】利用圆的性质，结合图像，把问题转化为跟圆有关的最值问题进行处理.
【详解】由题意设点 ， ， ，
因为 ， 是圆的切线，所以 ， ，
所以 在以 为直径的圆上，其圆的方程为:
，又 在圆 上，
将两个圆的方程作差得直线 的方程为： ，
即 ，所以直线 恒过定点 ，
又因为 ， ， ， ， 四点共线，所以 ，
即 在以 为直径的圆 上，其圆心为 ，半径为 ，如图所示:
所以 ，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出
文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知直线 .
(1)若直线不经过第四象限，求 的取值范围；
(2)若直线 交 轴负半轴于 ，交 轴正半轴于 ， 的面积为 （O为坐标原点），求 的最小值和
此时直线 的方程.
【答案】(1) ；
(2) ，直线 的方程为 .
【分析】(1)将直线方程化为斜截式，再利用数形结合求出k的取值范围.
(2)先求直线在 轴和 轴上的截距，表示 的面积，利用基本不等式求其最小值.
（1）
方程 可化为 ，
要使直线不经过第四象限，则 ，解得 ，
所以k的取值范围为 .
（2）
由题意可得 ，
由 取 得 ，
取 得 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时取等号，
此时 ，直线 的方程为 .
18．已知 的顶点 .
(1)求 边上的中线所在直线的方程；
(2)求经过点 ，且在 轴上的截距和 轴上的截距相等的直线的方程.
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）先利用中点坐标公式求出线段 的中点，再利用两点式即可求出所求；
（2）分类讨论截距是否为0的情况，再利用截距式即可求得所求.
（1）
线段 的中点为 ，
则中线 所在直线方程为： ，即 .
（2）
设两坐标轴上的截距为 ，
若 ，则直线经过原点，斜率 ，
直线方程为 ，即 ；若 ，则设直线方程为 ，即 ，
把点 代入得 ，即 ，直线方程为 ；
综上，所求直线方程为 或 .
19．已知圆 的圆心在坐标原点，且过点 .
(1)求圆 的方程；
(2)已知点 是圆 上的动点，试求点 到直线 的距离的最小值；
(3)若直线 与圆 相切，且 与 轴的正半轴分别相交于 两点，求 的面积最小时直线 的方程.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用两点间距离公式可求得半径 ，由此可得圆 方程；
（2）利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离 ，可知最小值为 ；
（3）设 ，由圆心到直线距离等于半径，结合基本不等式可知当 时
面积取得最小值，由此可得直线 方程.
（1）
由题意知：圆心 ，半径 ，
圆 的方程为： .
（2）
圆心到直线 的距离 ，
点 到直线 的距离最小值为 .（3）
设直线 ，即 ，
则圆心到直线 距离 ，
（当且仅当 时取等号），解得： ，
当 时， 面积取得最小值 ，
则直线 ，即 .
20．已知圆 过点 ，且与直线 相切于点 ．
(1)求圆 的方程；
(2)过点 的直线 与圆 交于 两点，若 为直角三角形，求直线 的方程；
(3)在直线 上是否存在一点 ，过点 向圆 引两切线，切点为 ，使 为正三角形，若
存在，求出点 的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
(3)存在点 或 ，使 为正三角形
【分析】（1）设圆心为 ，根据圆心和切点连线与切线垂直、圆心到圆上两点的距离相等可构造方程
组求得圆心坐标，进而得到半径 ，由此可得圆的方程；
（2）由等腰直角三角形性质可知圆心到直线 的距离 ；分别在直线 斜率不存在和存在的情
况下，根据 构造方程求得结果；
（3）由等边三角形性质可知 ，设 ，利用两点间距离公式可构造方程求得 ，进而得到 点坐标.
（1）
设圆心坐标为 ，则 ，解得： ，
圆的半径 ，
圆 的方程为： .
（2）
为直角三角形， ， ，
则圆心 到直线 的距离 ；
当直线 斜率不存在，即 时，满足圆心 到直线 的距离 ；
当直线 斜率存在时，可设 ，即 ，
，解得： ，
，即 ；
综上所述：直线 的方程为 或 .
（3）
假设在直线 存在点 ，使 为正三角形， ， ，
设 ， ，解得： 或 ，
存在点 或 ，使 为正三角形.
21．如图，在三棱柱 中，侧面 底面 ，侧面 是菱形， ，， .
(1)若 为 的中点，求证： ；
(2)求二面角 的正弦值.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)结合已知条件和平面几何关系知 ，然后利用面面垂直性质和线面垂直性质可知
，最后利用线面垂直判定和性质即可证明；(2)取 的中点 ，然后利用面面垂直性质证明
底面 ，再建立空间直角坐标系，分别求出平面 和平面 的法向量，最后利用二面角的
向量公式即可求解.
（1）
∵侧面 是菱形，∴ ，
∵ 为 的中点，∴ ，
∵侧面 底面 ，侧面 底面 ， ， 底面 ，∴ 侧面 ，
∵ 侧面 ，∴ ，
∵ ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴ .
（2）
取 中点 ，连接 ，从而 ，
又由 ，则 ，
∵侧面 底面 ，侧面 底面 ，
∴ 底面 ，
以 为坐标原点，以 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如下图：
由已知条件和上图可知， ， ， ， ，
由题意可知， 为平面 的一个法向量，
不妨设 平面 的一个法向量，
因为 ， ，从而 ，
令 ，则 ， ，即 ，
设二面角 为 ，由图可知 为钝角，
从而 ，即 ，
故二面角 的正弦值为 .
22．如图，已知 垂直于梯形 所在的平面，矩形 的对角线交于点F，G为 的中点，
， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)在线段 上是否存在一点H，使得 与平面 所成角的大小为 ？若存在，求出 的长；若不
存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
(3)存在， .【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明；（2）证明出 ， .利用向量法
求解；（3）利用向量法求解.
（1）
连接FG.
在△ 中，F、G分别为 的中点，所以 .
又因为 平面 , 平面 ，所以 平面 .
（2）
因为 平面 , 平面 ，所以 .
又 ，所以 .
以 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 .
则 , . , .
设平面SCD的一个法向量为 .则 ，即 ，
令 ,得 .
所以平面SCD的一个法向量为 .
又平面ESD的一个法向量为 .
所以
所以平面SCD与平面ESD夹角的余弦值为 .
（3）
假设存在点H,设 ,则 .
由（2）知,平面 的一个法向量为 .则 ，
即 ,所以 .
故存在满足题意的点H,此时 .
