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高二数学期末押题卷（二）
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一
项是最符合题目要求的）
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
， ，
.
故选：C.
2． （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
∵
∴
故选：B
3．如图所示，在空间四边形 中， ，点 在 上，且 ，
为 中点，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
故选：B
4．有甲、乙两个袋子，甲袋中有3个白球、1个黑球，乙袋中有2个白球、2个黑球．现从甲袋中任取2
个球放入乙袋，然后再从乙袋中任取1个球，则此球为白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
从甲中任取2球，有两种情况：2白或1白1黑，
①从甲中取出2个白球的概率为 ，此时乙袋中4个白球，2个黑球，
所以此时从乙袋中任取1个球，则此球为白球的概率 ；②从甲中取出1个白球和1个黑球的概率为 ，此时乙袋中3个白球，3个黑球，
所以此时从乙袋中任取1个球，则此球为白球的概率 ，
所以从乙袋中任取1球且此球是白球的概率 .
故选：B.
5．已知 ，则 等于（ ）
A．11 B．10 C．8 D．1
【答案】A
【详解】
，求导得 ，
则 ，解得 ，
故 ，
，
故选：A.
6．一道试题，甲解出的概率为 ，乙解出的概率为 .设解出该题的人数为X，则D(X)等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
依题意X的可能取值为0，1，2，甲乙均未答对时，P(X＝0)＝ ，
甲乙二人一人答对一人答错时，P(X＝1)＝ ，
甲乙均答对时，P(X＝2)＝ .
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)＝0× ＋1× ＋2× ＝ ，
D(X)＝ .
故选：B.
7．已知函数 在 上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程 有3
个实数根，它们分别是 ， ，2，则 的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【详解】
由 ，求导得 ， 在 上是增函数，在[0，2]上
是减函数，
，即 ，此时 的另外一个根为 ，且方程 有3个实数根，它们分
别是 ， ，2，，即 ，且 ，所以 ，
化简函数 ，
所以 则 ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以
的最小值是5.
8．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险.为防控新冠
肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布 ，从已经生产出的测温
门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间 内的概率为（ ）
（附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意可知
则
，二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项
是符合题目要求的，多选或错选不得分）
9．袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记
4次取球的总分数为 ，则（ ）
A． B． C．X的期望 D．X的方差
【答案】ACD
【详解】
从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，
并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，
取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，
所以随机变量 服从二项分布 ，故A正确；
，记其概率为 ，故B错误；
因为 ，所以 的期望 ，故C正确；
因为 ，所以 的方差 ，故D正确．
故选：ACD．
10．变量x，y之间的一组数据如下表所示:
x 1 3 6 7 8
y 1 2 3 4 5
甲、乙两位同学给出的回归直线方程分别为① 和② ，通过分析得出②的拟合效果更好，则下列分析理由正确的是（ ）参考公式：
A．①的残差和大于②的残差和，所以②的拟合效果更好
B．①的残差平方和大于②的残差平方和，所以②的拟合效果更好
C．①的 R2小于②的 R2，所以②的拟合效果更好
D．残差图中直线②的残差点分布的水平带状区域比①的残差点分布的水平带状区域更窄，所以②的拟合
效果更好
【答案】BCD
【详解】
解：用 作为拟合直线时，所得 的实际值与 的估计值的差的平方和为：
．
残差和为
用 作为拟合直线时，所得 的实际值与 的估计值的差的平方和为：
．
残差和为
， ①的残差和大于②的残差和，①的残差平方和大于②的残差平方和，则②的拟合效果更好，
故 错误， 正确；
残差图中直线②的残差点分布的水平带状区域比①的残差点分布的水平带状区域更窄，所以直线②拟合效
果更好，故 正确；
，①的 ，②的 ，①的 小于②的 ，②拟合效果更好，故 正确．
故选：BCD．
11．在棱长为a的正方体 中， 分别是 的中点下列说法正确的是
（ ）
A．四边形 是菱形
B．直线 与 所成的角的余弦值是
C．直线 与平面 所成的角正弦值是
D．面 与面 所成角的正弦值是
【答案】ABD
【详解】
分别以 为 轴建立空间直角坐标系，如图，则 ，
， ， ， ，
， ， ，所以 是平行四边形，由
正方体知 ，因此 为菱形，A正确；， ，
，B正确；
，设平面 的一个法向量为 ，
由 得： ，取 ，则 ，即 ，
，
，
直线 与平面 所成的角正弦值是 ，C错；
平面 的一法向量是 ，
，
面 与面 所成角的所以的余弦值为 ，其正弦值为 ，D正确．
故选：ABD．12．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 在 单调递增，则实数
B．当 时， 是 的极值点
C．当 时， 的零点 满足
D．当 时， 恒成立
【答案】AC
【详解】
对于 ，若 在 单调递增，则 在 上恒成立，即 在 上恒
成立，
令 ，则 ，易知函数 在 单调递增，故 （1） ，
，即 ，选项 正确；对于 ，当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，故 （1） ，
在 上单调递增，无极值点，选项 错误；
对于 ，当 时， ， ,
在 上单调递减，在 上单调递增，故 （0） ，
， 在 上递增，则 仅有一个零点 ，
又 ，
由零点存在性定理可知， ，选项 正确；
对于 ，当 时， ，当 时， ，选项 错误．
三、填空题（每小题5分，共计20分）
13．曲线 在点 处的切线方程为___________.
【答案】
【详解】
解： ，则 ，则切线方程为 ，
故答案为： .
14．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ___________．
【答案】
【详解】由题意，随机变量 服从正态分布 ，可得对称轴 ，则 ，
因为 ，
根据正态分布曲线的对称性，可得 .
故答案为： .
15． 展开式中 的系数为__________．
【答案】
【详解】
展开式的通项公式是
，
要求 ，只需 ，解得： .
∴ .
16．如图在圆锥 中，A，B是圆O上的动点， 是圆O的直径，M，N是 的两个三等分点，
，记二面角 ， 的平面角分别为 ，若 ，则
的最大值是________．【答案】
【详解】
圆锥SO中，令底面圆半径r=3，高SO=3h，过M，N分别作MP//SO，NQ//SO交OB于P，Q，如图：
因SM=MN=NB，则OP=PQ=QB=1，MP=2h，NQ=h，而SO⊥平面AOB，则MP⊥平面AOB，NQ⊥平面
AOB，
过P作 于F，连MF， 平面AOB，则 ， 平面MPF， ，
即 是二面角 的平面角， ，
过Q作QE⊥直线OA于E( 时E与O重合， 时E在AO延长线上)，连NE，同理
，因 ，则 ， ，
，
与 中， ， ，
显然 均为锐角， ， ，
即 ，
则 ， ，
所以，符合条件的 的最大值是 .
四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，17题10分，其余各题每题各12
分）
17．某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分 ， ， 三大类，其中
类有 个项目，每项需花费 小时， 类有 个项目，每项需花费 小时， 类有 个项目，每项需花
费 小时．要求每位员工从中选择 个项目，每个项目的选择机会均等．
（1）求小张在三类中各选 个项目的概率；
（2）设小张所选 个项目花费的总时间为 小时，求 的分布列．
【答案】（1） ；（2）答案见解析．
【详解】
解：（1）记事件 为在三类中各选 个项目则 ，
所以小张在三类中各选 个项目的概率为 ．
（2） 的可能取值为 ， ， ， ， ， ，则
；
；
；
；
；
．
所以分布列如下表所示：
18．作为世界最大棉花消费国、第二大棉花生产国，我国2020—2021年度棉花产量约 万吨，总需求量
约 万吨，年度缺口约 万吨．其中，新疆棉花产量 万吨，占国内产量比重约 ，占国内消费
比重约 ．新疆地区的棉花是世界上最好的棉花之一，新疆长绒棉，世界顶级，做衣被暖和、透气、舒适，长年供不应求．评价棉花质量的重要指标之一就是棉花的纤维长度，新疆农科所在土壤环境不同的
、 两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从 、 两
地的棉花中各随机抽取 根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于 的为“长纤
维”，其余为“短纤维”）．
纤维长度
地（根数）
地（根数）
（1）由以上统计数据，填写下面 列联表；
（2）判断能否在犯错误概率不超过 的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．
地 地 总计
长纤维
短纤维
总计
附：临界值表：
（ ）
【详解】
（1）根据已知数据得到如下 列联表：
地 地 总计
长纤维
短纤维
总计（2）根据 列联表中的数据，可得 ， ，能认为在
犯错误概率不超过 前提下纤维长度与土壤环境有关系．
19．如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，其中 ，
平面 ，且 ，点 在棱 上， ，点 为 中点.
（1）证明：直线 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值.
【详解】
如图，以 为原点，分别以 方向为 ，
z轴方向建立空间直角坐标系.由题意，可得 ，
，（1）显然， 是平面 的一个法向量，
，故 ，即 .
又因为 平面 ，
故直线 //平面 .
（2）设平面 的一个法向量为 ，由 ，有
即 不妨取 ，可得 .
由已知可得 .
同理可求平面 的一个法向量为 .
所以， ，
因此 .
所以，二面角 的正弦值为 .
20．当前“停车难”已成为城市通病，因停车问题引发的纠纷屡见不鲜，无论在北京､上海等超大型城市，还是其它城市，甚至人口只有几万､十几万的县城和乡镇，“停车难”都给群众生活和政府管理带来了深
深的烦恼，由于“停车难”是事关百姓生活质量和切身利益的问题，也是建设和谐社会不容忽视的问题之
一，某小区物业公司决定动手解决小区“停车难”问题，并统计了近六年小区私家车的数量，以编号1对
应2015年，编号2对应2016年，编号3对应2017年，以此类推，得到相应数据如下：
年份编号 1 2 3 4 5 6
数量
41 96 116 190 218 275
（辆）
（1）若该小区私家车的数量 与年份编号 的关系可用线性回归模型来拟合，试用相关指数 分析其拟
合效果（ 精确到 ）；
（2）由于车辆增加，原有停车位已经不能满足有车业主的需求，因此物业公司欲在小区内对原有停车位
进行改造，重新规划停车位.若要求在2021年小区停车位数量仍可满足需要，求至少需要规划多少个停车
位.
参考数据： ， ， ， .
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， ；
相关指数 ，残差 .
【详解】
（1）由题意得 ， ，
∴ ，且 ，
所以 关于 的线性回归方程为 ；
又 时， ； 时， ； 时， ；
时， ； 时， ； 时， ；
故 ， ，
由相关指数 近似为 ，接近1，说明拟合效果较好.
（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取 ，可得 .
故若要求在2021年小区停车位数量仍可满足需要，则至少需要规划317个停车位.
21．某学校组织一次“强基提素”的知识竞赛，每个参赛选手依次回答 道题，每答对一道获得相应的分
值，再继续答下一道，且在答前 题时，有且仅有一次“复活”机会.即选手首次答错后，裁判会给选手另
外出一道复活题，若选手把复活题答对，则该选手复活成功，接着答下一道题，若选手把复活题答错，则
结束答题，答第 题时没有“复活”机会.每道题的分值如下：
题号 复活题
分值
现有甲、乙两名参赛选手，甲答对每一题（包括复活题）的概率均为 ，乙答对第 、 题的概率均为 ，
答对第 、 、 题的概率均为 ，答对复活题的概率为 ，且两人回答每道题是相互独立的.
（Ⅰ）求甲恰好回答 道题的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人的得分之和为 分的概率；
（Ⅲ）求乙的得分不小于 分的概率.
【详解】
（Ⅰ）甲恰好回答 道题分三种情况：①甲连续答对前 道题；②前 题答对，第 题和复活题连续答错；
③前 题中答错 次，复活题答对，第 题答错.
故所求概率为 .
（Ⅱ）两人得分之和为 分仅当两人各得 分.
一名选手得 分有两种情况：①前 题答对第 题和复活题答错；②前 题答对，第 题答错，复活题答
对，第 题答错.
甲得 分的概率为 ；
乙得 分的概率为 .
所以甲、乙两人得分之和为 分的概率为 .
（Ⅲ）设乙的得分为 ，则 小于 分的情况有四种： ， ， ， .
，
，
，，
因此 .
22．已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）讨论 的单调性．
【详解】
解：（1） 时，函数 ， ，
则 ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
．
（2） 的定义域为 ，
①当 时， ，令 ，解得 ；令 ，解得 ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
②当 时，令 ，解得 或 ；令 ，解得 ．
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．③当 时， ，所以 在 上单调递增．
④当 时，令 ，解得 或 ；令 ，解得 ．
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减
综上，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；当 时， 在 ，
上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增；当 时，
在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
