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期末模拟试卷 1
一、单项选择题
1. 若复数 的虚部为1，则 在复平面对应的点的坐标为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考察复数的概念，共轭复数和复数的几何意义，属于基础题.
根据虚部为1求出m，再根据共轭复数定义写出答案.
【解答】
解： 的虚部为1，
得 ，所以 ， ，
故 在复平面对应的点的坐标为 ，
故答案选
2. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，
常用区间 内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽
取6位小区居号，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第
80百分位数是
A. 7 B. C. 8 D. 9【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查一组数据的百分数问题，属于基础题.
把该组数据从小到大排列，计算 ，从而找出对应的第80百分位数；
【解答】
解：该组数据从小到大排列为：5，5，6，7，8，9，且 ，
故选：
3. 设 为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培
养．
利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解．
【解答】
解：若 ， ，则a与b相交、平行或异面，故A错误；
若 ， ，则由直线与平面垂直的判定定理知 ，故B正确；若 ， ，则 或 ，故C错误；
若 ， ，则 ，或 ，或b与 相交，故D错误．
故选：
4. 在平行四边形ABCD中， = ， = ，则 =
2 1 2
A. -3 B. -2 +3
1 3 1 3
C. 3 -4 D. -3 +4
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的加减运算，属于基础题.
利用向量的加法表示出 ，再利用共线转化可得到答案.
【解答】
解：因为 ， ，
所以
故答案选5. 已知圆锥的表面积为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查圆的面积、周长、圆锥的侧面积及体积等知识点，考查运算求解能力，
属于基础题型.
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，根据其表面积为 ，得到 ，再
由它的侧面展开图是一个半圆，得到 ，联立求得半径和高，利用体积公式求
解.
【解答】
解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，
因为其表面积为 ，
所以 ，
即 ，
又因为它的侧面展开图是一个半圆，
所以 ，
即 ，所以 ，
所以此圆锥的体积为
故选：
6. 《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事，其中，田忌的上等马优于齐王的中等
马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；
田忌的下等马劣于齐王的下等马，若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1
匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查古典概型，是基础题.
本题先将所有的基本事件都列出来共9种，再将田忌的马获胜的事件选出共3种，最
后计算概率即可.
【解答】
解：设田忌的上等马为 ，中等马为： ，下等马为 ，
齐王的上等马为 ，中等马为： ，下等马为 ，双方各自随机选1匹马进行1场比赛产生的基本事件为：
， ， ， ， ， ， ， ， ，共9种；
其中田忌的马获胜的事件为： ， ， ，共3种，
所以田忌的马获胜的概率为：
故选：
7. 雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这
个大学的象征，在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫
若的雕像．雕像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，
在 中， ，在 中，
，且 米，求像体AD的高度 最后结果精确到 米，
参考数据： ， ，
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查解三角形的实际应用中的高度问题的求解，属于基础题.
在 和 中，利用正切值可求得AC，进而求得【解答】
解：在 中， 米 ，
在 中， 米 ，
米
故选：
8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，原点O为正八边形 的中心，
轴，若坐标轴上的点 异于点 满足 其中
，且i、 ，则满足以上条件的点M的个数为
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查符合条件的点的个数的求解，考查了平面向量加法法则的应用，属于中等题.分点M在x、y轴进行分类讨论，可得出点 、 关于坐标轴对称，由此可得出点M
的个数.
【解答】
解：分以下两种情况讨论：
①若点M在x轴上，则 、 关于x轴对称，
由图可知， 与 、 与 、 与 、 与 关于x轴对称，
此时，符合条件的点M有4个；
②若点M在y轴上，则 、 关于y轴对称，
由图可知， 与 、 与 、 与 、 与 关于y轴对称，
此时，符合条件的点M有4个.
综上所述，满足题中条件的点M的个数为
故选：
二、多项选择题
9. 已知复数z满足 ，则下列关于复数z的结论正确的是
A.
B. 复数z的共轭复数为C. 复平面内表示复数z的点位于第二象限
D. 复数z是方程 的一个根
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于
基础题.
利用复数的除法运算求出 ，再根据复数的模长公式求出 ，可知A正确；
根据共轭复数的概念求出 ，可知B正确；根据复数的几何意义可知C正确；将z代
入方程成立，可知D正确.
【解答】
解：因为 ，所以 ，所以
，故A正确；
所以 ，故B正确；
由 知，复数z对应的点为 ，它在第二象限，故C正确；
因为 ，所以D正确.
故选：10. 某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，
他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则
下面叙述正确的是
A. 样本中女生人数多于男生人数
B. 样本中B层人数最多
C. 样本中E层次男生人数为6人
D. 样本中D层次男生人数多于女生人数
【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题考查了统计图表，意在考查学生的计算能力和应用能力.
根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案.
【解答】
解：样本中女生人数为： ，男生数为 ，A正确；
样本中A层人数为： ；样本中B层人数为： ；
样本中C层人数为： ；样本中D层人数为： ；
样本中E层人数为： ；故B正确；样本中E层次男生人数为： ，C正确；
样本中D层次男生人数为： ，女生人数为9，D错误.
故选：
11. 已知事件A，B，且 ， ，则下列结论正确的是
A. 如果 ，那么 ，
B. 如果A与B互斥，那么 ，
C. 如果A与B相互独立，那么 ，
D. 如果A与B相互独立，那么 ，
【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查在包含关系，互斥关系，相互独立的前提下的和事件与积事件的概率，是基
础题.
A选项在 前提下，计算出 ， ，即可判断；
B选项在A与B互斥前提下，计算出 ， ，即可判断；C、D选项在A与B相互独立前提下，计算出 ， ，
， ，即可判断.
【解答】
解：A选项：如果 ，那么 ， ，故A选项错误；
B选项：如果A与B互斥，那么 ， ，故B选项正确；
C选项：如果A与B相互独立，那么 ， ，故C选项错误；
D选项：如果A与B相互独立，那么 ，
，故D选项正确.
故选：
12. 如图，正方体 的棱长为1，则下
列四个命题正确的是
A. 若点M，N分别是线段 ， 的中点，则B. 点C到平面 的距离为
C. 直线BC与平面 所成的角等于
D. 三棱柱 的外接球的表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，通过线线平行、点到面的距离、线面角，以及外接球的知
识点来考查，解题时要注意空间思维能力的培养，是中档题.
A选项：通过平行的传递性得到结论；
B选项：根据点C到平面 的距离为CE，进一步得到答案;
C选项：根据直线BC与平面 所成的角为 ，进一步得出结论；
D选项：根据三棱柱 的外接球的半径为正方体 体对
角线的一半，进一步得到答案.
【解答】
解：A选项：若点M，N分别是线段 ， 的中点，则 又
所以 ，故A正确；B选项：连接 交 于点E，由题易知点C到平面 的距离为CE， 正方
体 的棱长为1， ，故B错误；
C选项：易知直线BC与平面 所成的角为 ，
，故C正确；
D选项：易知三棱柱 的外接球的半径为正方体 体对
角线的一半，
表面积为 ，故D正确.
故选：
三、填空题13. 已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边，且
，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的
正弦，属于基础题．
根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得 的值
进而求得
【解答】
解： ，
，
，
，
由于A为三角形内角，可得
故答案为：14. 已知数据 ， ， ，…， 的平均数为10，方差为2，则数据 ，
， ，…， 的平均数为__________，方差为__________.
【答案】19
8
【解析】
【分析】
本题考查了平均数与方差的计算，考查了运算求解能力，属于基础题.
由题意结合平均数公式和方差公式计算即可得解.
【解答】
解：由已知条件可得 ，
，
所以数据 、 、 、 、 的平均数为
，
方差为，
故答案为：19；
15. 已知 ， ， ，则 与 的夹角为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查运用向量数量积的定义与运算求向量的夹角，是基础题.
先求 ， ， ，再根据 化简整
理得 ，最后求 与 的夹角为
【解答】
解： ， ，， ，
，
，
，
整理得： ，
与 的夹角为：
故答案为：
16. 如图，在三棱锥 中， ， ， ，且 ，
，则二面角 的余弦值是__________.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二面角余弦值的计算，考查二面角的定义，考查计算能力，属于中等题.
取AB的中点O，连接VO、OC，证明出 ， ，可得出二面角
的平面角为 ，计算出VO、OC，利用余弦定理求得 ，
由此可得出二面角 的余弦值.
【解答】
解：取AB的中点O，连接VO、OC，如下图所示：
，O为AB的中点，则 ，且 ， ，
，
同理可得 ，且 ，所以，二面角 的平面角为 ，由余弦定理得 ，
因此，二面角 的余弦值为
故答案为：
四、解答题
17. 已知向量 ，
求向量 与 的夹角；
若 ，且 ，求m的值
【答案】解： ， ，
，
由题得 ， ，
设向量 与 的夹角为 ，则 ，，所以 ，
即向量 与 的夹角为
， ， ，
， ，
， ，解得
【解析】本题考查了向量的夹角公式，向量的坐标运算和向量的垂直的条件，属于中
档题．
根据向量的坐标运算和向量的夹角公式即可求出.
根据向量的坐标运算先求出 ，再由垂直的条件得到
，解得即可．
18. 已知a、b、c分别为 三个内角A、B、C的对边，且 ， ，
求b及 的面积S；
若D为BC边上一点，且，______，求 的正弦值．从① ，② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作
答．
【答案】解： 由余弦定理得 ，
整理得 ，
，
，
；
选①，如下图所示：
在 中，由正弦定理得 ，
可得 ，在 中， ，则 ，
；
选②，在 中，由正弦定理得 ，
可得 ，
由于 为锐角，则 ，
，
【解析】本题考查利用正、余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，同时也考查了
三角恒等变换，考查计算能力，属于中档题.利用余弦定理可得出关于b的二次方程，可解出b的值，进而可求得 的面积
S；
选①，在 中，利用正弦定理可求得 的值，再由 可得出
，进而可求得 的正弦值；
选②，利用正弦定理求得 的值，由同角三角函数的基本关系可求得 ，
再利用两角和的正弦公式可求得 的值.
19. 在四面体 中，点E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，且
，
求证： 平面ACD；
求异面直线AC与BD所成的角.
【答案】解： 由题意，点E，F分别是AB，BC的中点，所以 ，因为 平面ACD， 平面ACD，
所以 平面ACD；
由 知 ，
因为点F，M分别是BC，CD的中点，可得 ，
所以 即为异面直线AC与BD所成的角 或其补角
在 中， ，所以 为等边三角形，
所以 ，
即异面直线AC与BD所成的角为
【解析】本题主要考查了线面平行的判定与证明，以及异面直线所成角的求解.
由点E，F分别是AB，BC的中点，得到 ，结合线面平行的判定定理，
即可求解；由 知 和 ，得到 即为异面直线AC与BD所成的角，
在 中，即可求解.
20. 溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普
及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个
问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，
假设甲队每人回答问题正确的概率均为 ，乙队每人回答问题正确的概率分别为
，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．
分别求甲队总得分为3分与1分的概率；
求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．
【答案】解： 记“甲队总得分为3分”为事件A，记“甲队总得分为1分”为事件
B，
甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为 ，
甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，
其概率为
甲队总得分为3分与1分的概率分别为 ，记“甲队得分为2分”为事件C，记“乙队得分为1分”为事件D，
事件C即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，
则 ，
事件D即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，
则 ，
由题意得事件C与事件D相互独立，
甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率：
【解析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运
算求解能力，属于中档题．
记“甲队总得分为3分”为事件A，记“甲队总得分为1分”为事件B，甲队得3
分，即三人都回答正确，甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，
由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为3分与1分的概率．
记“甲队得分为2分”为事件C，记“乙队得分为1分”为事件D，事件C即甲队
三人中有2人答对，其余1人答错，事件D即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，
由题意得事件C与事件D相互独立，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队
总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．21. 如图，在三棱锥 中， 底面ABC， ，
，点D为线段AC的中点，点E为线段PC上一点.
求证：平面 平面
当 平面BDE时，求三棱锥 的体积.
【答案】解： 证明：因为 底面ABC，且 底面ABC，
所以
因为 ，且点D为线段AC的中点，
所以
又 ，
所以 平面
又 平面BDE，
所以平面 平面解：因为 平面BDE， 平面PAC，平面 平面 ，
所以
因为点D为AC的中点，所以点E为PC的中点.
法一：
由题意知点P到平面BDE的距离与点A到平面BDE的距离相等，
所以
所以三棱锥 的体积为
法二：
因为 平面BDE，
由题意知点P到平面BDE的距离与点A到平面BDE的距离相等.
所以 ，又 ， ， ， ，
由 知， ，又 ，且 ，所以 平面BDE，
所以
所以三棱锥 的体积为
法三：
又 ， ， ， ，
由 知： 平面PDE，
且
所以
所以三棱锥 的体积为【解析】本题考查面面垂直的证明，三棱锥的体积，是中档题.
先证明 ，再证明 ，从而证明 平面PAC，最后证明平面
平面PAC；
先判断点E为PC的中点，再判断三棱锥 的体积等于三棱锥 的
体积，最后求体积即可.
22. 2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“ ”模
式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依
据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、
地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试 选 ，每科满分100分，
2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的
选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化
学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：
画
出频率分布直方图如图所示．求频率分布直方图中a的值；
由频率分布直方图；
求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；
估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数 同一组中的数
据用该组区间的中点值作代表 ；
为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分
成绩在 和 的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，
再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不
同组的概率．
【答案】解： 由 ，
得 ；
因为 ，
，
所以中位数在 设中位数为x，
所以 ，解得 ，
所以物理、化学、生物三科总分成绩的中位数为224；这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数为
物理、化学、生物三科总分成绩在 和 的两组中的人数分别为：
人， 人，
根据分层随机抽样可知，
从成绩在 的组中应抽取 人，记为 ，
从成绩在 的组中应抽取2人，记为 ，
从这7名学生中随机抽取2名学生的所有基本事件为：
，
，共有21种，
其中这2名学生来自不同组的共有10种，
根据古典概型的概率公式可得所求概率为
【解析】本题考查了利用频率分布直方图求中位数、平均数，考查了分层抽样，考查
了古典概型的概率公式，属于中档题.根据7组频率和为1列方程可解得结果；
根据前三组频率和为 ，前四组频率和为 可知中位数在第四
组，设中位数为x，根据 即可解得结果；
利用各组的频率乘以各组的中点值，再相加即可得解；
根据分层抽样可得从成绩在 的组中应抽取5人，从成绩在 的
组中应抽取2人，再用列举法以及古典概型的概率公式可得解.
