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第六章 计数原理（A卷基础卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2020春•河西区期中）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会
用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，则不同的选法种数是（ ）
A．9 B．10 C．20 D．40
【解答】解：利用第一种方法有： 种，利用第二种方法有： 种方法．、
故共有：5+4＝9种完成工作．
故选：A．
2．（2020春•和平区校级期末）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第
四位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（
）
A．16种 B．18种 C．24种 D．36种
【解答】解：由题意知，甲丙的位置固定，先排乙，再把剩余的节目全排列，
故台晚会节目演出顺序的编排方案共有有A 1A 3＝18种．
3 3
故选：B．
3．（2020春•通州区期末）甲、乙等7人排成一排，甲在最中间，且与乙不相邻，那么不同的排法种数是
（ ）
A．96 B．120 C．360 D．480
【解答】解：从出甲乙之外的5人中选2人排在甲的两边并和甲相邻，剩下的全排即可，故有A 2A 4＝
5 4
480种，
故选：D．
4．（2020春•重庆期末）有6名医生到3个医院去作新冠肺炎治疗经验交流，则每个医院至少去一名的不
同分派方法种数为（ ）
A．216 B．729 C．540 D．420
【解答】解：根据题意，分2步进行计算：
先将6名医生分为3组，若分为1、1、4的三组，有C 4＝15种分组方法，
6
①若分为1、2、3的三组，有C 3C 2＝60种分组方法，
6 3若分为2、2、2的三组 15种分组方法，
则有15+60+15＝90种分组方法；
将分好的三组对应三个医院，有A 3＝6种情况，
3
②则每个医院至少去一名的不同分派方法种数为90×6＝540种；
故选：C．
5．（2020•北京）在（ 2）5的展开式中，x2的系数为（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣10 D．10
【解答】解：（ 2）5的展开式中，通项公式为 T •（﹣2）r• ，
r+1
令 2，求得r＝1，可得x2的系数为 •（﹣2）＝﹣10，
故选：C．
6．（2020•济宁模拟）在 的展开式中，常数项为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为（x ）6的通项公式为：T •x6﹣r•（ ）r＝（ ）r• •x6﹣2r；
r+1
6﹣2r＝0时，r＝3；
6﹣2r＝﹣1时，r不存在；
∴ 的展开式中，常数项为：（ ）3• 3 ；
故选：A．
7．（2020春•天津期末）若 （n N*）的展开式中常数项为第9项，则n的值为（ ）
∈
A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：∵ （n N*）的展开式中的第9项T •（﹣3）8•2n﹣8•x2n﹣20 为常数项，
9
∈
故有 2n﹣20＝0，∴n＝10，
故选：D．
8．（2020春•东城区期末）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同
的取法共有（ ）
A．36种 B．40种 C．44种 D．48种
【解答】解：根据题意，将9个数分为2组，一组为奇数：1、3、5、7、9，一组为偶数：2、4、6、
8，
若取出的3个数和为奇数，分2种情况讨论：
取出的3个数全部为奇数，有C 3＝10种情况，
5
①取出的3个数有1个奇数，2个偶数，有C 1C 2＝30种情况，
5 4
②则和为奇数的情况有10+30＝40种．
故选：B．
二．多选题（共4小题）
9．（2020春•东海县期中）下列各式中，等于n!的是（ ）
A．A B．A C．nA D．m!C
【解答】解： n!，A正确；
（n+1）!，B错误；
n n•（n﹣1）!＝n!，C正确；
m! m!• n!，D错误；
故选：AC．
10．（2020春•常州期中）若 的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大
的项为（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项【解答】解：∵ 的展开式中第3项与第8项的系数相等，
∴ ；
所以n＝9，则展开式中二项式系数最大的项为第五项和第六项；
故选：CD．
11．（2019春•日照期中）将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的
放法有多少种？下列结论正确的有（ ）
A．C C C C B．C A
C．C C A D．18
【解答】解：根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有 1〜3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒
子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，
有2种解法：
（1）分2步进行分析：
、先将四个不同的小球分成3组，有C 2种分组方法；
4
①、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A 3种放法；
3
②则没有空盒的放法有C A 种；
（2）分2步进行分析：
、在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有C C 种
①情况
、将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有A 2种放法；
2
②
则没有空盒的放法有C C A 2种；
2
故选：BC．
12．（2020春•宝应县期中）若（2x+1）10＝a +a x+a x2+…a x10，x R，则（ ）
0 1 2 10
A．a ＝1 B．a ＝0 ∈
0 0
C．a +a +a +…+a ＝310 D．a +a +a +…+a ＝3
0 1 2 10 0 1 2 10
【解答】解：因为（2x+1）10＝a +a x+a x2+…a x10，x R，
0 1 2 10
令x＝0可得：a ＝1； ∈
0
令x＝1可得a +a +a +…a ＝310；
0 1 2 10
故选：AC．三．填空题（共4小题）
13．（2020•上城区校级模拟）在二项式 的展开式中，二项式系数之和是 32 ，含x4的项的系
数是 1 0 ．
【解答】解：在二项式 的展开式中，二项式系数之和是 25＝32，
通项公式为 T •（﹣1）r•x10﹣3r，令10﹣3r＝4，求得r＝2，
r+1
可得含x4的项的系数是 10，
故答案为：32；10．
14．（2020•甘肃模拟）某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排
课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．
若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种
1344 ．
【解答】解：从生物、历史、地理、政治四科中选排一节，有4种方法，
若数学排第一节，则英语可以排3，4，5，6节，其余全排列，此时有4×A ，
若数学排第二节，则英语可以排4，5，6节，其余全排列，此时有3×A ，
若数学排第三节，则英语可以排1，5，6节，其余全排列，此时有3×A ，
若数学排第四节，则英语可以排1，2，5，6节，其余全排列，此时有4×A ，
则共有4（4×A 3×A 3×A 4×A ）＝4×14×A 4×14×24＝1344，
故答案为：1344
15．（2020春•南郑区校级期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”，主要
指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；
“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排
课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射“和“御“两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不
同的排课顺序共有 12 0 种．
【解答】解：根据题意，“数”必须排在前三节，据此分3种情况讨论：
“数”排在第一节，“射“和“御“两门课程联排的情况有 4×A 2＝8种，剩下的三门课程有A 3＝6
2 3
①种情况，此时有8×6＝48种排课顺序；“数”排在第二节，“射“和“御“两门课程联排的情况有 3×A 2＝6种，剩下的三门课程有A 3＝6
2 3
②种情况，此时有6×6＝36种排课顺序；
“数”排在第三节，“射“和“御“两门课程联排的情况有 3×A 2＝6种，剩下的三门课程有A 3＝6
2 3
③种情况，此时有6×6＝36种排课顺序；
则有48+36+36＝120种排课顺序；
故答案为：120
16．（2020春•西城区校级期中）设有编号为1，2，3，4，5的五把锁和对应的五把钥匙．现给这5把钥
匙也分别贴上编为1，2，3，4，5的五个标签，则有 120 种不同的姑标签的方法；若想使这5把钥
匙中至少有2把能打开贴有相同标签的锁，则有 3 1 种不同的贴标签的方法．（用数字作答）
【解答】解：根据题意，现给这5把钥匙也贴上编号为1，2，3，4，5的五个标签，则有A 5＝120种不
5
同的贴标签的方法：
若这5把钥匙中至少有2把能打开贴有相同标签的锁，分3种情况讨论：
5把都可以打开贴有相同标签的锁，即5个标签全部贴对，有1种贴标签的方法；
①5把钥匙中有3把可以打开贴有相同标签的锁，即有3个标签贴对，有C 3＝10种贴标签的方法；
5
②5把钥匙中有2把可以打开贴有相同标签的锁，即有2个标签贴对，有2C 2＝20种贴标签的方法；
5
③则一共有1+10+20＝31种贴标签的方法；
故答案为：120，31．
四．解答题（共5小题）
17．（2019春•武汉期中）现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学．
（1）若5本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？
（2）若5本书都不相同，共有多少种分法？
（3）若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？
【解答】解：（1）根据题意，若5本书完全相同，将5本书排成一排，中间有4个空位可用，
在4个空位中任选2个，插入挡板，有C 2＝6种情况，
4
即有6种不同的分法；
（2）根据题意，若5本书都不相同，每本书可以分给3人中任意1人，都有3种分法，
则5本不同的书有3×3×3×3×3＝35＝243种；
（3）根据题意，分2步进行分析：
将5本书分成3组，
①若分成1、1、3的三组，有C 3＝10种分组方法，
5若分成1、2、2的三组，有 15种分组方法，
则有10+15＝25种分组方法；
将分好的三组全排列，对应3名学生，有A 3＝6种情况，
3
②则有25×6＝150种分法．
18．（2019春•黄浦区校级期中）从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，请解答下列问
题：
（1）如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？（用数字作答）
（2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有多少种不同的
建组方案？
（3）男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率．（化成最简分数）
【解答】解：（1）根据条件可知有以下两种情况：
选两个男医生和三个女医生，有C •C 15种建组方案；
①
选三个男医生和两个女医生，有C •C 60种建组方案；
②
故共有15+60＝75种不同的建组方案．
（2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，
若选2男3女，甲必选，则还需要在5名男医生选1名，有 5种建组方案；
若选3男2女，甲必选，则还需要在5名男医生选2名，有 30种建组方案；
若选4男1女，甲必选，则还需要在5名男医生选3名，有 30种建组方案；则共有5+30+30＝65
种组建方案．
（3）6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，有 126种组建方法，
若男医生甲与女医生乙被同时选中，则有 35种方法，
则男医生甲与女医生乙不被同时选中的方法有126﹣35＝91种，则男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率P ．
19．（2020春•栖霞市月考）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
（1）选5人排成一排；
（2）排成前后两排，前排4人，后排3人；
（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
（4）全体排成一排，女生必须站在一起；
（5）全体排成一排，男生互不相邻．
【解答】解：（1）根据题意，有3名男生、4名女生，共7人，从中选出5人排成一排，有A 5＝2520
7
种排法；
（2）根据题意，前排4人，有A 4种排法，后排3人，有A 3种排法，
7 3
则有A 4×A 3＝5040种排法；
7 3
（3）根据题意，甲不站排头也不站排尾，有5种情况，
将剩下的6人全排列，有A 6种排法，
6
则有5×A 6＝3600种排法；
6
（4）根据题意，将4名女生看成一个整体，有A 4种排法，
4
将这个整体与3名男生全排列，有A 4种排法，
4
则有A 4×A 4＝576种排法；
4 4
（5）根据题意，先排4名女生，有A 4种排法，
4
排好后有5个空位，在5个人空位中任选3个，安排3名男生，有A 3种排法，
5
则有A 4×A 3＝1440种排法．
4 5
20．（2019春•台州期末）已知 （1+x）n的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等．
（Ⅰ）求n的值和这两项的二项式系数；
（Ⅱ）在 （1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）n+2的展开式中，求含x2项的系数（结果用数字表示）．
【解答】解：（Ⅰ）因为 ，
所以n＝10，
所以 120，
故两项的二项式系数120．（Ⅱ）含x2项的系数为 285，
故答案为：285．
21．（2020•南通模拟）已知（1+2x）n＝a +a x+a x2+…+a xn（n N*）．
0 1 2 n
（1）当n＝6时，求a +a +a +a 的值； ∈
0 2 4 6
（2）化简： C 22k．
【解答】解：（1）当n＝6时，令x＝1，则（1+2）6＝36＝a +a +a +a +a +a +a ，
0 1 2 3 4 5 6
令x＝﹣1，则（1﹣2）6＝1＝a ﹣a +a ﹣a +a ﹣a +a ， ①
0 1 2 3 4 5 6
②
+ 得， ；
① ②
（2） ，
③
，
④
+ 得， ，即 ．
③ ④
