文档内容
期末模拟卷
（B 能力卷）
班级______ 姓名_______ 考号______
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个
选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．已知 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．1
2．已知 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知 是直角三角形 内的一点，直角三角形 斜边 长为4，若点 在 上，
满足 ，则 等于（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
C．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n D．若m∥n，n α，则m∥α
5．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤
⊂
维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图
所示.估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是（ ）
A．28 mm B．28.5 mm
C．29 mm D．29.5 mm
6．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥
林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.小林观看了本届冬奥会后，打算从
冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项这四个项目中任意选两项进行系统的学习，则小林没
有选择冰壶的概率为（ ）A． B． C． D．
7．已知直三棱柱 的顶点都在一个球的球面上，若
，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积
的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四
约之，为实一为从阳，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是
，其中a，b，c是 的内角A，B，C的对边，若
，且 ，则 面积S的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个
选项中有多项是符合题目要求的，多选或错选不得分）
9．若复数 （i为虚数单位），其中真命题为（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则z为纯虚数
C．若 ，则 D．若 ，则
10．在边长为2的正三角形 中，则（ ）
A． B．
C． 在 上的投影的数量为-1 D．
11．某高中有学生 人，其中男生 人，女生 人，希望获得全体学生的身高信息，
按照分层抽样的原则抽取了容量为 的样本．经计算得到男生身高样本均值为 ，方
差为 ；女生身高样本均值为 ，方差为 ．下列说法中正确的是（ ）
A．男生样本量为 B．每个女生入样的概率均为
C．所有样本的均值为 D．所有样本的方差为12．如图，已知正方体 的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ）
A．直线 与 为异面直线 B． 平面
C．三棱锥 的表面积为 D．三棱锥 的体积为
三、填空题（每小题5分，共计20分）
13． ， ， ，则 在 上投影的数量为______．
14．一个数字不重复的三位数的百位、十位、个位上的数字依次记为 ， ， ，当且仅
当 ， ， 中有两个不同数字的和等于剩下的一个数字时，称这个三位数为“有缘数”
（如213，341等）．现从1，2，3，4这四个数字中任取三个数组成一个数字不重复的三
位数，则这个三位数为“有缘数”的概率是______．
15．如图，要测量底部不能到达的某铁塔 的高度，在塔的同一侧选择C，D两观测点，
且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为 ．在水平面上测得 ，C，D两
地相距 ，则铁塔 的高度是_______m．
16．有一个封闭的正三棱柱容器，高为 ，内装水若干（如图1，底面处于水平状态），
将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点 、 、 、 分
别为所在棱的中点，则图1中水面的高度为_______．四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，共70分）
17．已知复数 （ 是虚数单位）， .
(1)若 是纯虚数，求 的值；
(2)若复数 在复平面内对应的点位于第一象限，求 的取值范围.
18．已知向量 ， ．
(1)求向量 ， 的夹角的余弦值；
(2)若 ，且 与 的夹角为钝角，求 的取值范围．
19． 内角A，B，C的对边分别为 ， ， ，且 .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值.
20．如图，一个几何体由圆锥和圆柱组合而成，且圆锥与圆柱的底面半径均为2，圆锥的
高为2，圆柱的高为3．
(1)求该几何体的表面积；
(2)求该几何体的体积．
21．我国是世界上严重缺水的国家之一，为提倡节约用水，我市为了制定合理的节水方案，
对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了2021年 100个家庭的月均用水量（单位：
t），将数据按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求全市家庭月均用水量不低于 4t的频率;
(2)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估
计值（精确到0.01）;
(3)求全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值（精确到0.01）.
22．如图，在平行六面体ABCD﹣ABC D 中，底面ABCD为菱形，AC 和BD 相交于点
1 1 1 1 1 1
O，E为CC 的中点
1
(1)求证：OE∥平面ABCD；
(2)若平面BDD B⊥平面ABCD，求证：DE＝BE．
1 1 1
