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辽宁省名校联盟 2024-2025 学年高一第一次月考—数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．给出下列关系式，其中正确的是（ ）。
A、0∈∅ B、{0}⊆{x|x2 =x}
x+2y=5
C、{0}⊆ N D、{1，2}⊆{(x，y)| }
+ 3x−y=1
2．已知命题 p：∀x∈[0，+∞)，x2 +1≥1，则命题 p的否定为（ ）。
A、∃x∉[0，+∞)，x2 +1<1 B、∃x∈[0，+∞)，x2 +1<1
C、∀x∉[0，+∞)，x2 +1<1 D、∀x∈[0，+∞)，x2 +1≤1
3．已知a、b、c∈R，则下列命题正确的是（ ）。
1 1
A、若ab≠0且a B、若00）。若命题q是命题 p的充分不必要条件，则实数
m的取值范围为（ ）。
1 1 1 4 1 4
A、(0，) B、(0，] C、( ，) D、[ ，]
3 3 3 3 3 3
1 1 a(b+2c)
8．若关于x的不等式 x2 +bx+c<0（ab>1）的解集为空集，则T = + 的最小值为（ ）。
a 2(ab−1) ab−1
A、 2 B、2 C、2 2 D、4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，
部分选对的得部分分，有选错的得0分。
1
学科网（北京）股份有限公司9 ．已知集合P={(x，y)|x−y=0}、集合Q={(x，y)|x⋅y=1}，则下列说法正确的是（ ）。
A、PQ=R B、PQ={(1，1)，(−1，−1)}
C、PQ={(x，y)|x=±1，y=±1} D、PQ有3个真子集
10．已知条件 p：{x|x2 +x−6=0}，条件q：{x|mx+1=0}，且 p是q的必要条件，则实数m的值可以是（ ）。
1 1 1
A、− B、0 C、 D、
2 3 2
x x+1 4x+a
11．已知关于x的方程 + = 只有一个实数根，则实数a的可能取值为（ ）。
x+1 x x(x+1)
1
A、 B、1 C、0 D、5
2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知实数a满足：a+a−1 =3，则a3+a−3 = 。
b
13．若两个正实数a、b满足4a+b=ab，且存在这样的a、b使不等式a+ 0
14．已知关于x的不等式组 仅有一个整数解，则实数k 的取值范围为 。
2x2 +(2k+7)x+7k <0
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）某光伏企业投资144万元用于太阳能发电项目，经计算n（n∈N∗）年内的总维修保养费用为
4n2 +20n万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入。假设到第n年年底，该项目的纯利润为y万元。（纯利润=
累计收入-总维修保养费用−投资成本）
（1）写出纯利润y的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利；
（2）若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：
①年平均利润最大时，以72万元转让该项目；②纯利润最大时，以8万元转让该项目；
你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由。
2
学科网（北京）股份有限公司16．（本小题满分15分）根据要求完成下列问题：
（1）已知x+ y=4，是否存在正实数x、y使得x⋅y=5？若存在，求出x、y的值；若不存在，请说明理由；
（2）已知a、b、c、d∈R，比较(a2 +b2)(c2 +d2)与(ac+bd)2的大小并说明理由；
（3）利用（1）的结论解决下面问题：已知m、n均为正数，且m2 +n2 =5，求2m+n的最大值。
17．（本小题满分15分）根据要求完成下列问题：
x−4
（1）已知命题 p： <0，命题q：x2 −(a+1)x+a<0（a∈R），且命题 p是命题q的必要不充分条件，求实数a
x+3
的取值范围。
（2）已知不等式|2x−1|<2的解集与关于x的不等式−x2 − px+q>0（ p、q∈R）的解集相同，若实数a，b∈R 满
+
1 4
足a+b= p+4q，求 + 的最小值。
a b
3
学科网（北京）股份有限公司18．（本小题满分17分）根据要求完成下列问题：
（1）已知函数y=(k2 +4k−5)x2 +4(1−k)x+3的图像都在x轴上方，求实数k 的取值范围；
（2）关于x的不等式(m−2)⋅x2 −mx−1≥0的解集为[x，x ]，且1≤|x −x |≤3，求实数m的取值范围。
1 2 1 2
19．（本小题满分17分）根据要求完成下列问题：
（1）已知集合A={x|ax2 +x+1=0}、集合B={x|x≥0}，且满足AB=∅，求实数a的取值范围；
1
（2）设数集C 满足：1∉C，又若实数m是数集C 中的一个元素，则 一定也是数集C 中的一个元素，求证：
1−m
①若2∈C，则集合C 中还有其他两个元素；
②集合C 不可能是单元素集合。
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