文档内容
2024—2025 学年度第一学期开学考试
数学试题
第八届贯通实验班数学组
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
一、单选题（本大题有 8个小题，每小题 5分，共 40分）
M ={ x∣−1≤ x≤3 } N = { x∣x=2k−1,k∈N* }
1. 集合 和 关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集
合中的元素有（ ）
A. −1 B. 0 C. 1 D. 5
2. 命题“∃x∈R，x2 +lnx>0”的否定是（ ）
A. ∃x∈R，x2 +lnx≥0 B. ∃x∈R，x2 +lnx<0
C. ∀x∈R，x2 +lnx≥0 D. ∀x∈R，x2 +lnx≤0
3. “不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海.”此句话是出自荷子的《劝学》，由此推断，其中最后
一句“积小流”是“成江海”的（ ）
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知OA=a，OB=b，C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三
{ }
等分点，则OD在基 a,b 下的坐标为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司4 5 9 7 2 1 3 1
A. , B. , C. , D. ,
9 9 16 16 3 3 4 4
π 1
5. 已知α∈( 0,π ) ，且cos α+ = ，则cos2α=（ ）
4 3
4 2 4 2 7 7
A. B. ± C. D. ±
9 9 9 9
π
6. 如图，在ABC中，已知∠BAC = ,AB= AD=2BD=2，则sinC为（ ）
3
15− 3 15+ 3 3− 3 3+ 3
A. B. C. D.
8 8 8 8
7. 如图,O是坐标原点,M,N是单位圆上的两点,且分别在第一和第三象限,则|OM +ON|的范围为( )
A. [0, )
√2
B. [0,2)
C. [1, )
D. [1,√2)2
8. 奔驰定理：已知O是 内的一点，∆BOC，∆AOC，∆AOB的面积分别为S ，S ，S ，则
A B C
𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥
S ⋅OA+S ⋅OB+S ⋅OC =0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图
A B C
形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O是锐角 内的一
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点，A，B，C是 的三个内角，且点O满足OA⋅OB=OB⋅OC =OC⋅OA，则必有（ ）
𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥
A. sinA⋅OA+sinB⋅OB+sinC⋅OC =0
B. cosA⋅OA+cosB⋅OB+cosC⋅OC =0
C. tanA⋅OA+tanB⋅OB+tanC⋅OC =0
D. sin2A⋅OA+sin2B⋅OB+sin2C⋅OC =0
二、多选题（本大题有 3个小题，每小题 6分，全部选对得 6分，错选不得分）
9. （多选）下列命题中，正确的是（ ）
A. 在ABC中，A> B，则sinA>sinB
B. 在锐角ABC中，不等式sin A>cosB恒成立
C. 在ABC中，若acosA＝bcosB，则ABC必是等腰直角三角形
D. 在ABC中，若B=60°，b2 =ac，则ABC必是等边三角形
x+ y x− y
10. 定义域为 的函数 f ( x ) 满足：∀x,y∈R, f ( x ) f ( y )= f 2 − f 2 ，当x>0时，
2 2
𝑅𝑅
f
(
x
)<0，则下列结论正确的有（
）
A. f
(
0
)=1
B. y = f ( x+1 )−2的图象关于点 (−1,−2 ) 对称
f
(
2023
)+
f
(
2025
)
f
(
2024
)
C. =
f
(
2022
)+
f
(
2024
)
f
(
2023
)
( )
D. f x 在 上单调递增
11. 围棋是我
(0国,+发∞明 )
的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一.现代围棋棋盘共有19行19列，361个格
点，每个格点上可能出现黑子､白子､空三种情况，因此整个棋盘上有3361种不同的情况，下面对于数字
3361的判断正确的是（ ）
（参考数据：lg3≈0.4771）
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学科网（北京）股份有限公司A. 3361的个位数是3 B. 3361的个位数是1
C. 3361是173位数 D. 3361是172位数
三、填空题（本题共 3题，每题 5分，共 15分）
12. f
(
x
)
的周期为2，值域为
[
0,1
]
，且为偶函数，则 f
(
x
)
的解析式 f
(
x
)=__________.（写出一个即
可）
13. 用M 表示函数y =sinx在闭区间I上的最大值．若正数a满足M ≥2M ，则a的最大值为
I [0,a] [a,2a]
________．
14. 如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5
米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），
小明应在距离大屏幕所在的平面_________米处观看?（精确到0.1米）.
四、解答题（本题共 5题，共 77分）．
15. 设a=( sinx,cosx ) ,b=( cosx,cosx ) x∈R，函数 f(x)=a•（a+b）．
（1）求函数 f(x)的最小正周期及最大值；
（2）求 f(x)的单调递增区间．
16. 已知函数 f(x)=
mx+n
是定义在[−1,1]上的奇函数，且 f ( 1 )=1.
x2 +1
（1）求m，n的值：
（2）试判断函数 f(x)的单调性，并证明你的结论；
（3）求使 f ( a−1 )+ f ( a2 −1 ) <0成立的实数a的取值范围.
17. 在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2bcosC =2a+c．
（1）求角B的大小；
（2）若b=2 3，D为AC边上的一点，BD=1，且______，求ABC的面积．
①BD是∠B的平分线；②D为线段AC的中点．（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并
作答）．
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学科网（北京）股份有限公司 π
18. 已知函数 f(x)= Asin(ωx+ϕ)+BA>0,ω>0,|ϕ|< 的某一周期内的对应值如下表：
2
π π 5π 4π 11π
x −
6 3 6 3 6
f(x) −1 1 3 1 −1
（1）根据表格提供的数据求函数 f(x)的解析式；
2π π
（2）根据（1）的结果，若函数y = f(nx)，n>0的最小正周期为 ，当x∈
0,
时，方程
3 3
f(nx)=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
19. 如图，矩形ABCD中，AB=2 3，BC =4，点M ，N 分别在线段AB，CD(含端点)上，P为
AD的中点，PM ⊥PN ，设∠APM =α.
（1）求角α的取值范围；
（2）求出PMN 的周长l关于角α的函数解析式 f(α)，并求PMN 的周长l的最小值及此时α的值.
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