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武汉市洪山高级中学 2027 届高一第一学期 9 月考试
数 学 试 卷
命题人： 试题分值：150分 考试时长：120分钟 2024.09.19
★祝考试顺利★
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题p：∀x∈R，−x2 +4x+3>0，则命题p的否定为( )
A. ∀x∈R，−x2 +4x+30 B. ∀x∈R，−x2 +4x+3<0
C. ∃x∈R，−x2 +4x+30 D. ∃x∈R，−x2 +4x+3<0
2.下列各组函数是同一函数的是（ ）
x
A. y = 与 y =1 B. y = (x−1)2 与y=x−1
x
x2 x3+x
C. y = 与y = x D. y = 与y = x
x x2 +1
b
3. “a>b”是“ <1”的（ ）
a
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 若a>b，d >c，且 ， ，则( )
A. b0的解集为 x −2< x<1 ，则函数 y=ax2 −bx+c的图象大致为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
7. 关于x的不等式x2−(1+2a)x+2a<0的解集中恰有2个整数，则实数 的取值范围是( )
A． { a −2≤a<−1或30,b>0,ab+2(a+b)=14，则下列正确的是（ ）
3 3
A．ab的最大值为11−6 2 B． + 的最小值为 2
a+2 b+2
学科网（北京）股份有限公司C．(a+1)b最大值为8 D．2a+b的最大值为6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合A={x|x>1}，B={x|x>a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是______.
1
13. 函数 f(x)= + 1−x 的定义域是_________．
x
1
14. 定义集合P={x|a≤x≤b}的“长度”是b−a，其中a，b∈R．已如集合M ={x|m≤x≤m+ }，
2
3 6
N ={x|n− ≤x≤n}，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，则集合M ∩N 的“长度”的最小值是 ；若m= ，
5 5
3
集合M ∪N 的“长度”大于 ，则n的取值范围是 .
5
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
2x−1 { }
15. (13分)已知R为全集，集合A=x| ≤1,x∈R，集合B= x a−1≤ x≤a+1 ．
x+1
(1)求集合A；
(2)若B∩C Α= B，求实数a的取值范围．
R
16.（15分）已知集合A= { x x2−5x−6<0 } ，B={ x m+10， 且a+2b+3c=4．
(2b+3c)2 (a+3c)2 (a+2b)2
(1)证明: + + ≥8．
a+2b 2b+3c a+3c
1 1 a
(2)若2b=3c， 求 − + 的最小值．
2a+1 2b+3 3c+3
学科网（北京）股份有限公司18. （17分）LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年
固定成本为 4 万元，每生产 x万件该产品，需另投入变动成本W(x)万元，在年产量不足 6 万件时，
1 100
W(x)= x2 +x，在年产量不小于6万件时，W(x)=7x+ −39.每件产品售价为6元．假设该产品每年的
2 x
销量等于当年的产量．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式．(注：年利润=年销售收入-固定成本-变动成
本)
(2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？
1 2 1 2 1 2 b
19. (17分) 问题：正实数a，b满足a+b=1，求 + 的最小值.其中一种解法是： + = + (a+b)=1+
a b a b a b a
2a b 2a
+ +2≥3+2 2，当且仅当 = 且a+b=1时，即a= 2−1且b=2− 2时取等号.学习上述解法并解决
b a b
下列问题：
2 3
(1)若正实数x，y满足x+y=1，求 + 的最小值；
x y
(2)若实数a，b，x，y满足
x2
−
y2
=1，求证：a2−b2 ≤(x−y)2；
a2 b2
(3)求代数式M = 3m−5− m−2的最小值，并求出使得M最小的m的值.
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